18/07/2023
[Vật Lý nghiên cứu] Đạo hàm và Tích phân
Trong chương trình Toán học bậc THPT, đạo hàm chỉ là "thủ công" còn tích phân là "nghệ thuật". Đạo hàm của một hàm số sơ cấp cũng là một hàm số sơ cấp nhưng tích phân của một hàm số sơ cấp không phải lúc nào cũng vậy, và có lẽ chính vì điều này mà phần lớn các bạn đều cảm nhận rằng đạo hàm rất dễ còn tích phân rất khó.
Thế, tồn tại hay không những hàm số mà tích phân trở thành "thủ công" còn đạo hàm mới là "nghệ thuật"?
Có.
Nhan nhản là đằng khác :v !
Có thể bạn sẽ bất ngờ, phần lớn các hàm số Vật Lý thu được từ kết quả thí nghiệm đều có thể tích phân trực tiếp (ngay và luôn theo phép cộng tổng) nhưng đạo hàm thì thường sẽ thực hiện gián tiếp (qua rất nhiều bước xử lý số liệu trung gian). Lý do là, bất cứ bố trí thí nghiệm Vật Lý nào thì cũng đều sở hữu sai số và tồn tại nhiễu, và định tính thì khi tích phân thì những thăng giáng ngày sẽ được trung bình hóa khiến kết quả đẹp còn khi đạo hàm (nếu chỉ đơn giản là lấy hiệu) thì những thăng giáng này sẽ bi khuếch đại làm kết quả xấu. Khi ấy -- và trong thực tế thì gần như là luôn luôn -- chúng ta sẽ cần làm mượt hàm số trước khi tính đạo hàm, và việc chọn phương pháp làm mượt như thế nào, ái chà, thực sự là cả một "nghệ thuật" đấy :v !
Dành cho các bạn học sinh muốn tìm hiểu sâu thêm và đã có vốn kiến thức của hsg Vật Lý bậc THPT, để định lượng, xét một tín hiệu dao động F(t) với tần số f được thu thập số liệu sau mỗi khoảng thời gian Δt, chịu ảnh hưởng bởi tác động nhiễu là η(t) tại mỗi lần đo đạc, có phân bố Gaussian ngẫu nhiên với giá trị trung bình ⟨η⟩=0 và độ lệch chuẩn ⟨(η-⟨η⟩)²⟩¹ᐟ²=σ:
F(t) = F₀ sin(2πft) + η(t) .
Nếu không có nhiễu (tương ứng với giới hạn σ=0), giá trị đạo hàm và tích phân theo thời gian của tín hiệu này (tính từ 0 tới t) sẽ là:
d/dt F(t) = 2πfF₀ × cos(2πft) ,
∫dt F(t) = F₀/2πf × ( 1- cos(2πft) ) .
Xét phép đạo hàm đơn giản và phép tích phân đơn giản (thông qua tổng hình thăng, với t=NΔt):
d/dt F(t) = 1/2Δt × ( F(t+Δt) - F(t-Δt) ) ,
∫dt F(t) = Δt × ( F(0)/2 + F(Δt) + … + F((N-1)Δt) + F(NΔt)/2 ) .
Trong chương trình dành cho hsg Vật Lý THPT, phần thực nghiệm, chúng ta đã được học rằng có thể ước tính được sai số khi tính tổng và hiệu theo căn bậc 2 của tổng bình phương các sai số thành phần. Sai số do các nhiễu tuân theo phân bố Gaussian gây ra tuân theo tính chất này, nên từ đó ta có ước tính rằng sai số của đạo hàm d/dt F(t) được định nghĩa như trên sẽ là như nhau tại mọi thời điểm và bằng với:
1/2Δt × 2¹ᐟ²σ = 1/Δt × σ/2¹ᐟ² ,
còn sai số của tích phân ∫dt F(t) được định nghĩa như trên sẽ khuếch đại dần dần theo thời gian và bằng với:
Δt × N¹ᐟ²σ = Δt¹ᐟ² × t¹ᐟ²σ .
Quan sát các kết quả này, có thể nhận ra được rằng, nếu thời gian thu tập số liệu là quá vội vàng, thì đạo hàm d/dt F(t) bị khuếch đại sai số theo tỉ lệ ∝Δt⁻¹, còn tích phân ∫dt F(t) thì sẽ càng khớp theo tỉ lệ ∝Δt¹ᐟ². Nhiễu thống trị đạo hàm khi:
1/Δt × σ/2¹ᐟ² ≳ 2πfF₀ ⟹ Δt ≲ σ/8¹ᐟ²πfF₀ ,
còn nó sẽ chỉ thống trị tích phân khi thời gian khảo sát T (với 0
