بحوث العمليات

باستخدام طريقة السمبلكس
🧩 صيغة التصغير (Minimization
المسألة (Problem)
صيغة التصغير (Minimization)
minz=2x
1
​
3x
2
​

القيود:

x
1
​

+x
2
​

≤4
x
1
​

−x
2
​

≤6
x
1
​

,x
2
​

≥0
🔄 الخطوة 1: تحويل Min إلى Max

نستخدم الفكرة الأساسية:

👉 نحول التصغير إلى تعظيم بضرب الدالة في -1

max(−z)=−2x
1
​

−3x
2
​

⚙️ الخطوة 2: تحويل إلى الصيغة القياسية

نضيف متغيرات Slack:

x
1
​

+x
2
​

+s
1
​

=4
x
1
​

−x
2
​

+s
2
​

=6
📊 الخطوة 3: إنشاء جدول السمبلكس الابتدائي
Basic -z x1 x2 s1 s2 RHS
-z 1 -2 -3 0 0 0
s1 0 1 1 1 0 4
s2 0 1 -1 0 1 6
🔍 الخطوة 4: اختيار المتغير الداخل

👉 نختار أكثر معامل سالب في الصف 0

x
1
​

=−2
x
2
​

=−3 ← الأكبر سالب

✅ إذن:
👉 المتغير الداخل = x
2
​

🧮 الخطوة 5: اختبار النسبة (Ratio Test)

نحسب فقط للصفوف التي معامل x
2
​

فيها موجب:

الصف 1:
1
4
​

=4
الصف 2:

المعامل = -1 ❌ (نهمله)

✅ إذن:
👉 الصف 1 هو الفائز

🎯 الخطوة 6: Pivot

نجعل x
2
​

متغير أساسي في الصف 1

الصف المحوري:
x
2
​

=4−x
1
​

−s
1
​

🔄 تحديث الجدول

بعد العمليات:

Basic -z x1 x2 s1 s2 RHS
-z 1 1 0 3 0 12
x2 0 1 1 1 0 4
s2 0 2 0 1 1 10
✅ الخطوة 7: اختبار الأمثلية

👉 جميع معاملات الصف 0 ≥ 0

✔ إذن:
👉 الحل أمثل

📈 الحل النهائي
x
1
​

=0
x
2
​

=4
🧮 قيمة الدالة
z=2(0)+3(4)=12

لكن تذكر:

كنا نحل:

max(−z)

إذن:

−z=12⇒z=−12
🎯 النتيجة النهائية
x1 = 0
x2 = 4
z = -12
⚠️ ملاحظة مهمة

🔹 الحل الرياضي أعطى z=−12 بسبب التحويل
🔹 القيمة الحقيقية لمسألة Min:

z=12
الخلاصة

✔ تحويل Min إلى Max هو تقنية أساسية في البرمجة الخطية
✔ الحل لا يتغير، فقط إشارة الدالة الهدف
✔ السمبلكس ينتقل بين حلول أساسية ممكنة حتى يصل للأمثل

Min z = 12
عند:
x1 = 0 , x2 = 4

تمثيل جدول السمبلكس (Simplex Tableau)
🎯 ما هو جدول السمبلكس؟

هو طريقة مختصرة ومنظمة لعرض القيود والدالة الهدف في خوارزمية السمبلكس بدل كتابة المعادلات كاملة.

👉 الهدف:

تبسيط الحسابات
تسهيل تحديد:
المتغيرات الأساسية
العنصر المحوري (Pivot)
الحل الأمثل
🧩 الشكل العام للجدول
Basic z x1 x2 s1 s2 RHS
z 1 3 1 0 0 6
s1 0 1 0 1 0 4
s2 0 2 1 0 1 3
🧠 كيف نقرأ الجدول؟
1️⃣ العمود الأخير (RHS)

➡️ يمثل:
👉 القيم الحالية للمتغيرات الأساسية

2️⃣ العمود "Basic"

➡️ يوضح:
👉 أي متغير هو أساسي (Basic Variable) في كل صف

3️⃣ الصف الأول (Row 0)

➡️ يمثل:
👉 الدالة الهدف (Objective Function)

🔍 كيف نحدد المتغيرات الأساسية؟

🎯 القاعدة:

👉 العمود الذي يحتوي على:

قيمة واحدة = 1
والباقي = 0

➡️ هذا العمود يمثل متغير أساسي
مثال:

العمود s1:

0
1
0

✔ متغير أساسي

العمود s2:

0
0
1

✔ متغير أساسي

⚙️ لماذا نستخدم Tableau؟

✔ يوفر وقت الحساب
✔ يسهل تطبيق:

Pivot
Ratio Test
✔ يساعد في تتبع الحل خطوة بخطوة
🔄 أثناء تنفيذ السمبلكس
✳️ في كل تكرار (Iteration):
نحدد:
المتغير الداخل (Entering Variable)
نطبق:
اختبار النسبة (Ratio Test)
نحدد:
العنصر المحوري (Pivot Element)
نحدث الجدول
🎯 العنصر المحوري (Pivot)

📌 يتم:

وضع دائرة حوله (في الشرح النظري)
أو تمييزه

👉 وهو العنصر المستخدم لإجراء التحويلات

⭐ الفائز في اختبار النسبة

📌 يتم تمييزه عادة بـ:
👉 (*)

➡️ وهو الصف الذي سيتم عليه Pivot

🧠 خلاصة
Simplex Tableau = تمثيل جدولي مبسط

✔ الصف 0 → الدالة الهدف
✔ الأعمدة → المتغيرات
✔ RHS → القيم الحالية
✔ العمود الأساسي → متغيرات الحل

🎯 الهدف: الوصول إلى الحل الأمثل بأقل خطوات

خوارزمية السمبلكس (The Simplex Algorithm)

سنقوم الآن بشرح كيفية استخدام خوارزمية السمبلكس لحل مسائل البرمجة الخطية (LP) التي يكون الهدف فيها تعظيم دالة الهدف. أما مسائل التصغير فسيتم تناولها في القسم (4.4).

خطوات خوارزمية السمبلكس:

الخطوة 1: تحويل نموذج البرمجة الخطية إلى الصيغة القياسية (Standard Form).
الخطوة 2: إيجاد حل أساسي ممكن (Basic Feasible Solution - BFS) إن أمكن.
الخطوة 3: التحقق مما إذا كان الحل الحالي أمثل (Optimal).
الخطوة 4: إذا لم يكن الحل أمثل، يتم تحديد:

المتغير غير الأساسي الذي سيدخل الأساس (Entering Variable)
والمتغير الأساسي الذي سيخرج منه (Leaving Variable)

وذلك للحصول على حل جديد أفضل.

الخطوة 5: استخدام عمليات الصفوف الابتدائية (Elementary Row Operations - EROs) لإيجاد الحل الجديد، ثم العودة إلى الخطوة (3).

صياغة دالة الهدف

تُكتب دالة الهدف بالشكل:

z=c
1
​

x
1
​

+c
2
​

x
2
​

+⋯+c
n
​

x
n
​

ثم تُحوَّل إلى ما يُعرف بـ صيغة الصف صفر (Row 0):

z−c
1
​

x
1
​

−c
2
​

x
2
​

−⋯−c
n
​

x
n
​

=0
مثال تطبيقي: شركة داكوتا للأثاث (Dakota Furniture Company)

تقوم الشركة بإنتاج:

مكاتب (Desks)
طاولات (Tables)
كراسي (Chairs)
الموارد المتاحة:
الخشب: 48 قدم لوحي
التشطيب: 20 ساعة
النجارة: 8 ساعات
الأرباح:
المكتب: 60 دولار
الطاولة: 30 دولار
الكرسي: 20 دولار
تعريف المتغيرات:
x
1
​

: عدد المكاتب
x
2
​

: عدد الطاولات
x
3
​

: عدد الكراسي
نموذج البرمجة الخطية:
تعظيم z=60x
1
​

+30x
2
​

+20x
3
​

القيود:

8x
1
​

+6x
2
​

+x
3
​

≤48(الخشب)
4x
1
​

+2x
2
​

+1.5x
3
​

≤20(التشطيب)
2x
1
​

+1.5x
2
​

+0.5x
3
​

≤8(النجارة)
x
2
​

≤5(الطلب)
x
1
​

,x
2
​

,x
3
​

≥0
التحويل إلى الصيغة القياسية

نضيف متغيرات فائض (Slack Variables):

s
1
​

,s
2
​

,s
3
​

,s
4
​

وتصبح دالة الهدف:

z−60x
1
​

−30x
2
​

−20x
3
​

=0
الحل الأساسي الأولي (Initial BFS)

بافتراض:

x
1
​

=x
2
​

=x
3
​

=0

نحصل على:

s
1
​

=48
s
2
​

=20
s
3
​

=8
s
4
​

=5

وقيمة الدالة:

z=0
اختبار المثالية (Optimality Test)

نقوم بإعادة كتابة:

z=60x
1
​

+30x
2
​

+20x
3
​

نلاحظ أن:

زيادة x
1
​

تزيد z بمقدار 60
زيادة x
2
​

تزيد z بمقدار 30
زيادة x
3
​

تزيد z بمقدار 20

➡️ إذن أفضل متغير للدخول هو:
x
1
​

(لأنه يحقق أكبر زيادة)

اختبار النسبة (Ratio Test)

نحسب الحد الأقصى لزيادة x
1
​

:

8
48
​

=6
4
20
​

=5
2
8
​

=4

➡️ أصغر قيمة = 4 → الصف الثالث هو الفائز

المحور (Pivoting)

ندخل x
1
​

ونخرج s
3
​

➡️ الحل الجديد:

x
1
​

=4
z=240
التكرار الثاني

نحدد المتغير الداخل:

➡️ x
3
​

(لأنه يحسن قيمة z)

نطبق اختبار النسبة:

0.5
4
​

=8

➡️ الصف الثاني يفوز

الحل الجديد:
x
1
​

=2
x
3
​

=8
z=280
اختبار المثالية النهائي
z=280−5x
2
​

−10s
2
​

−10s
3
​

جميع معاملات المتغيرات غير الأساسية سالبة أو صفر:

➡️ لا يمكن تحسين z

✅ الحل الأمثل:
x
1
​

=2 (مكتبين)
x
2
​

=0 (لا طاولات)
x
3
​

=8 (8 كراسي)
الربح الأقصى = 280 دولار
قاعدة المثالية (للمسائل التعظيمية):

يكون الحل أمثل إذا كانت جميع معاملات المتغيرات غير الأساسية في الصف صفر ≥ 0

متى يكون الحل أمثل في طريقة السمبلكس؟
✅ القاعدة الأساسية:

🔹 يكون الحل أمثل (Optimal) في مسألة التعظيم إذا:

👉 جميع معاملات المتغيرات غير الأساسية (Nonbasic Variables)
في الصف (Row 0) غير سالبة (≥ 0)

🧠 ماذا يعني ذلك؟
إذا كان هناك أي معامل سالب في الصف 0
➜ يمكن تحسين قيمة الدالة الهدف Z
إذا كانت كل المعاملات ≥ 0
➜ لا يمكن تحسين Z
➜ ✅ الحل الحالي هو الحل الأمثل
📊 مفهوم مهم: التكلفة المختزلة (Reduced Cost)
🔹 التعريف:

هي معامل المتغير في الصف 0

🔹 التفسير:

👉 تمثل مقدار التغير في Z عند زيادة المتغير بوحدة واحدة

💡 مثال:
إذا كانت التكلفة المختزلة لـ x
2
​

=5

👉 هذا يعني:
➡️ زيادة x
2
​

بمقدار 1
➡️ تؤدي إلى انخفاض Z بمقدار 5

⚠️ ملاحظات مهمة
1️⃣ المتغيرات الأساسية (Basic Variables)
دائمًا معاملها في الصف 0 = 0
لذلك:
👉 تكلفتها المختزلة = 0
2️⃣ تفسير الحل النهائي (مثال داكوتا)
x
1
​

=2 (مكاتب)
x
3
​

=8 (كراسي)
x
2
​

=0 (طاولات)

👉 إذن:

لا يتم إنتاج طاولات
الموارد المستخدمة بالكامل في بعض القيود
3️⃣ اختيار المتغير الداخل (Entering Variable)
القاعدة:
👉 اختر المتغير ذو أكثر معامل سالب

⚠️ لكن:

ليس شرطًا أن يكون الأسرع للوصول للحل الأمثل
أي متغير سالب سيقود في النهاية للحل
4️⃣ اختبار النسبة (Ratio Test)

🎯 الهدف:
تحديد أي صف سيتم عليه Pivot

📌 القاعدة:

نحسب النسبة فقط عندما:
👉 معامل المتغير الداخل > 0
نختار:
👉 أصغر نسبة موجبة
🔁 ملخص خوارزمية السمبلكس (تعظيم)
🧩 الخطوات:
تحويل النموذج إلى الصيغة القياسية
إيجاد حل أساسي ممكن (BFS)
فحص الصف 0:
إذا كل المعاملات ≥ 0 → ✅ الحل أمثل
إذا يوجد سالب → ننتقل للخطوة 4
اختيار:
المتغير الداخل (أكثر سالب)
الصف المحوري (Ratio Test)
تنفيذ Pivot (عمليات الصفوف)
🔁 تكرار حتى الوصول للحل الأمثل
🚨 تحذير مهم

❌ إذا ظهر:
👉 طرف أي قيد سالب (RHS < 0)

➡️ هذا يعني:

لا يوجد حل أساسي ممكن
غالبًا يوجد خطأ في الحسابات
🎨 تمثيل بصري سريع
Row 0 coefficients:

x1 x2 x3 s1 s2
0 5 0 0 0

✔ جميعها ≥ 0
➡️ الحل أمثل ✅

تحميل كتاب تطبيقات بحوث العمليات في إدارة الأعمال pdf - مكتبة طريق العلم تحميل كتاب تطبيقات بحوث العمليات في إدارة الأعمال pdf - مكتبة طريق العلم

https://drive.google.com/file/d/1aHiGdbxjlzISZcZ4XQwmyrzd9nxZLslq/view

مناهج و اساليب البحث العلمي النظريه و التطبيق.pdf

أفضل مـحـركـات الـبـحـث الـعـلـمـي
1_ RefSeek
موقع علمي يقوم بالبحث في مليار مقال وكتاب وبحث وليس هذا فقط، يمكنك معرفة المزيد عن مزايا الموقع من خلال الرابط :
🌐 الرابط :
https://goo.gl/jHm8aG
2_ Virtual LRC
هو محرك بحثي علمي يقوم بالبحث في أكثر من 10000 موقع علمي موثوق ومدقق بعناية لإخراج النتيجة العلمية الصحيحة النهائية لك.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/8m6tRS
3_ Google Scholar
هو محرك بحثي يقوم بالبحث في آلاف الأوراق البحثية والمؤسسات، والمراجع البحثية الموثوقة، بالإضافة إلى أنه خدمة مميزة جداً من شركة Google، يبلغ عدد زواره شهرياً ما يفوق 50 مليون زائر.
🌐 الرابط :
https://scholar.google.com.eg/
4_ Academic Index
هو محرك بحثي جامع وليس منفرد، فله القدرة على البحث على جميع محركات البحث حسب إختيارك.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/Y5n80i
5_ OALster
هي قاعدة بيانات تصل إلى ملايين الأبحاث العلمية.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/5VzfVh
6_ Science Direct
هو ليس فقط أحد المواقع الإخبارية البحثية، ولكنه يعمل أيضاً كمحرك بحثي قوي، حيث يصل نتيجة بحثه إلى أكثر من 10 آلاف ورقة بحثية و25 ألف كتاب علمي.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/nrmki6
7_ Internet Public Library
هي مكتبة كبيرة تضم عدد كبير من المصادر التي تم جمعها على مدار 20 عاماً.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/O8EqEL
8_ Microsoft Acadimic Research
هو محرك بحثي للأبحاث الأكاديمية للطلبة، والأساتذة تقدمها شر8ة Microsoft، حيث يقوم بالبحث في أكثر من 80 مليون بحث علمي في جميع المجالات.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/4gtNQa
9_ Archive Hub
هي مؤسسة بريطانية يمكنك البحث فيها. الموقع عبارة عن ثروة حقيقية من المعلومات للباحثين.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/ESCW1a
10_ High Beam Reasearch
موقع للأبحاث العلمية يقوم بالبحث في المواضيع المختلفة.
🌐 الرابط :
https://goo.gl/9QVRZx
11_ The writer
موقع رائع لفحص النصوص باللغة الإنجليزية لبيان الأخطاء اللغوية والمنهجية فيها ومدى قوتها وضعفها من حيث الصياغة، هذا الموقع لجميع الباحثين وطلاّب الدراسات العليا.
🌐 الرابط :
https://www.writermag.com/

RefSeek - Academic Search Engine Academic search engine for students and researchers. Locates relevant academic search results from web pages, books, encyclopedias, and journals.

https://books4arabs.com/B12/BORE04-4053.pdf?fbclid=IwY2xjawINtrZleHRuA2FlbQIxMAABHc5PTTBUyRp-V3lp-f9NcSfyz5_38gn6rd54cKjI91Hhdts0Rolb7xzj6Q_aem_TGiFJdxlIDN4jjhh-GupKw

books4arabs.com

https://industri.fatek.unpatti.ac.id/wp-content/uploads/2019/03/173-Optimization-in-Operations-Research-Ronald-L.-Rardin-Edisi-2-2015.pdf?fbclid=IwY2xjawHAeTRleHRuA2FlbQIxMAABHfIU28Kr1faeSKEcnc_0FKhiaUJQNH4IQjE_BVEX-4QerO9HUh0TV7YmMw_aem_LbJAUfSc-em1FTlRsw--LA

industri.fatek.unpatti.ac.id

https://books.google.co.in/books?id=6khDDAAAQBAJ&printsec=frontcover&fbclid=IwY2xjawHAeQpleHRuA2FlbQIxMAABHUJvIksReI4AfF44dua6chd0nMMALBLCddRdKKNj3gpXuuE8qmruqAxdxg_aem_2IokUkaPsAGKrQyg-ZIZdA =onepage&q&f=false

Operations Research, 4th Edition Operations Research is the discipline of applying advanced analytical methods to help make better decisions. It helps the management to achieve its goals by using scientific techniques, making the study and understanding of operations research even more important in the present day scenario. This bo...

https://bitshifters0.wordpress.com/wp-content/uploads/2015/03/intorduction-to-operations-research-7ed-hillier-lieberman-1240pp-mgh.pdf?fbclid=IwY2xjawHAeOxleHRuA2FlbQIxMAABHRHunGBPfrc3hL9MsDZksuYJifnp2tJGvZaDhubhGAeI9_T7p7IMRgBoiw_aem_3Qd5TbKbyprVg7U_vlhgVQ

bitshifters0.wordpress.com