20/03/2026
你知道嗎？
讀完這篇文章，或許你就掌握了自然界的基本法則！
幾個世紀以來人類對自然科學的探索發展出了物理這門學問，讓人們對生命中一切現象的了解從哲學辯證到用數學建立模型與預測。隨著我們可以用數學解釋的事情越來越多，我們開始探索這些現象背後是否有共通點，是否有一個自然界的「基本法則」或是「底層邏輯」，掌控著每一個事件的發生。
這樣的「信仰」在每個時代的科學偉人的接力之下形成所謂的「最小原理（Minimal principles）」，也就是我們相信當某個物理事件發生時，大自然喜歡將其中的某些物理量趨於最小，或者是說，一個事件有上百種可能的走向，例如一顆蘋果在樹上成熟並掉落樹梢，在落地之前，它有可能螺旋下降、有可能上下左右來回彈射、甚至有可能越過樹梢飛出大氣層然後永遠消失在我們的視線中，但是這顆蘋果事實上卻遵守「作用量」最小的路徑運動：向著地心直線落下。至於這個所謂「作用量」到底是什麼呢？繼續看下去就知道了！
關於「最小原理」的探索最早可以追溯到公元前二世紀，亞歷山大港的希羅（Hero of Alexandria）提出光線在平面鏡反射時，總是走最短的路徑。通過簡單的幾何作圖，可以直接從這個「最短路徑原理」推導出「反射定律」，即入射角等於反射角。不過，碰到光穿越不同介質時發生的「折射」現象時，就比較難用最短路徑解釋了。光的運動規律直到1657年，費馬發表「最短時間原理」才得到完整的解釋，和字面上的意思相同，費馬提出光並非走最短的路徑，而是會選擇一條用時最短的路徑。當光在不同介質中行進時，光速並不一樣，如果要從一個介質穿梭到另一個介質，可以想象最短的路徑應該是讓光在速度快的介質裡面多走一點，在速度慢的介質裡面少走一點，因此光在穿越介質時會發生折射而非沿直線前進。「最短時間原理」不但可以解釋反射定律，也可以進一步推導出「司乃耳折射定律」。
「最小原理」從光學被運用到力學上的基礎是17世紀後半葉微積分與變分法等數學工具的突破。關於微積分的發明，最重要的兩位貢獻者是牛頓（Newton）以及萊布尼茲（Leibniz），其中「微分」可以幫我們找到函數的極大值或極小值，可想而知，在研究「最小原理」上微積分不可或缺。變分法是以微積分為基礎，把「變數」升級成未知函數，研究什么函數可以使其組成的「泛函積分」達到極值，欸，你説你聽不懂？舉個例子，微分可以告訴我們從家裡出發，走到外婆家的時候，哪裡是上坡，走得最慢最費力；哪裡是下坡，走得最快最輕鬆，而變分法則是可以找出走光復路過地下道，或者走忠孝路接東光天橋，哪一條路到外婆家最快。
變分法的發展過程中，發生了一場科學家之間的明爭暗鬥，而這一切都要從一個名爲「最速降線」的難題開始。1696年，約翰·白努利發現一個物體從高處受重力驅使移動到低處時，最快的路徑並不是直接連接兩點的斜直線（注：斜直線是最短路徑），而是一條奇特的曲線，這條讓下降過程最快完成的曲線就被稱為「最速降線」。等等，你説「白努利」這個名字聽起來很熟悉？其實約翰·白努利就是提出流體力學中非常重要的「白努利定律」的丹尼爾·白努力的爸爸哦。白努利將這個問題發表到《學者學報》中徵集科學家們解出最速降線的數學形式，之後的半年裡卻一直沒有收到滿意的解答。白努利將這個問題寄給時任英國皇家鑄幣廠廠長的牛頓，並在信中影射牛頓的微積分研究抄襲萊布尼兹的論文，白努利認爲刊登問題的這半年沒有收到牛頓的解答，或許是因爲題目成功難到牛頓了，沒有想到在某天的下午四點，從倫敦塔工作回來的牛頓收到信件後，在書桌前一路坐到了隔天的凌晨四點，僅僅花了十二個小時就解出了最速降線的數學形式並匿名回寄給白努利。白努利被信中的數學震撼，不用多想就知道這封匿名文件的作者只能是大數學家牛頓，白努利因此留下了科學史上的千古名言：「Tanquam ex ungue leonem（我從利爪認出了這頭雄獅）。」
隨著微積分和變分法逐漸壯大，物理學家們多了許多有力的數學工具幫助他們尋找物理系統中的「最小」。在 1834 到 1835 年間，哈密頓發表了哈密頓原理，也就是我們前面提到的「最小作用量原理」：在特定的時間區間內，系統從一點移動到另一點的所有可能路徑中，真實遵循的路徑會使「作用量」達到最小，其中的「作用量」是動能與位能之差（即拉格朗日量）的時間積分。最小作用量原理能夠作爲力學系統甚至大部分古典物理的基礎原理，就像是大自然的基本法則一樣，規定著各種物理現象如何發生。
參考文獻：
1. Thornton, S. T., & Marion, J. B. (2004). Classical dynamics of particles and systems (5th ed.). Cengage Learning.
2. Westfall, R. S. (1980). Never at rest: A biography of Isaac Newton. Cambridge University Press.
