19/03/2022
Answer to the Ultimate Question of Life, The Universe, and Everything is …
-The Hitchhiker's Guide to the Galaxy
ในวิชาคณิตศาสตร์ มีนิยาม, ทฤษฎีบท, และข้อคาดการณ์ที่มีชื่อแปลกประหลาดอยู่มากมาย หลาย ๆ ชื่อนั้น เมื่อฟังผ่าน ๆ เราคงไม่คิดว่ามันเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ ไม่ว่าจะเป็น จำนวนเป็นเพื่อนกัน, จำนวนมีสุข, ความย้อนแย้งหรือปฏิทรรศน์ของวันเกิด ไปจนถึงทฤษฎีบทลูกบอลขนดก
วันนี้แอดจะขอนำเสนอแคนดิเดตเข้าชิงตำแหน่งชื่อประหลาดแห่งวงการคณิตศาสตร์ นั่นคือ
“หายนะไส้กรอก” (Sausage Catastrophes) และ “ข้อคาดการณ์แห่งไส้กรอก” (Sausage Conjecture)
ก่อนอื่นต้องเกริ่นตรงนี้เสียหน่อยว่า ไส้กรอกที่กล่าวถึงในที่นี้เป็นไส้กรอกทรงกลมนะ ไม่ใช่ไส้กรอกแบบยาว ๆ หรือคนไทยอย่างเรา ๆ อาจจะนึกถึงไส้กรอกอีสานกลม ๆ หรือลูกชิ้นแทนก็ได้ ส่วนภาพประกอบที่แอดเอาไส้กรอกทั่วไปมาก็เพราะว่าหารูปไส้กรอกกลมที่มันดูดีไม่ค่อยได้อะนะครับ
ว่าแต่หายนะแห่งไส้กรอกมันคืออะไรกัน? ก่อนที่จะไปเล่าถึงตรงนั้น ซึ่งเป็นปัญหาใน 3 มิติ เราลองย้อนกลับมาดูในโลก 2 มิติกันก่อน
ถ้าเกิดว่าเรามีเหรียญบาทอยู่ 19 เหรียญ เราพยายามเรียงมันบนแผ่นกระดาษแล้ววาดกรอบนูนล้อมบริเวณที่เราวางเหรียญเอาไว้ คำถามคือ เราควรจะวางเหรียญอย่างไร จึงจะสามารถวาดกรอบนูนปิดล้อมที่มีพื้นที่เล็กที่สุดได้?
คงไม่ใช่เรื่องน่าแปลกใจ หากแอดจะบอกว่าคำตอบของคำถามนี้คือ เรียงเหรียญทั้ง 19 ให้เป็นรูปหกเหลี่ยม (ดังภาพ) เพราะมันดูเหมือนเป็นการจัดเรียงที่อัดแน่นที่สุดเท่าที่เป็นไปได้
ที่จริงแล้วนักคณิตศาสตร์คนหนึ่งชื่อว่า Wegner ได้พิสูจน์เอาไว้ว่า ถ้าจำนวนของเหรียญอยู่ในรูป 3k^2+3k+1 ซึ่งเป็นจำนวนที่เราสามารถเอามาเรียงเป็นรูปหกเหลี่ยมด้านเท่ามุมเท่าได้พอดี แล้วไซร้ การเรียงเป็นรูปหกเหลี่ยมก็จะให้พื้นที่นูนปิดล้อมที่เล็กที่สุด นอกจากนี้หากจำนวนเหรียญของเราน้อยกว่า 120 แม้ว่าเราจะเรียงเป็นหกเหลี่ยมไม่ได้พอดี แต่หากเราพยายามเรียงให้ใกล้เคียงหกเหลี่ยมให้มากที่สุด เราก็จะได้ผลลัพธ์ที่ให้พื้นที่นูนปิดล้อมที่เล็กที่สุด
ในกรณีที่เป็น 3 มิติ เราอาจแทนที่เหรียญด้วยลูกบอลทรงกลมจำนวนหนึ่ง แต่ด้วยเหตุบางประการที่ท่านผู้อ่านจะได้เข้าใจในเมื่ออ่านต่อไป ในที่นี้เราขอแทนลูกบอลด้วย “ไส้กรอก” แบบกลม ๆ แทน (ลองนึกว่าเป็น “ไส้กรอกอีสาน” กลม ๆ ก็ได้นะ) ที่นี้เราพยามยามเรียงไส้กรอกจำนวนหนึ่งแล้วเอาพลาสติกห่ออาหารมาพันล้อมให้เกิดรูปทรงที่มีปริมาตรน้อยที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ โดยจะเรียงอย่างไรก็ได้ใน 3 มิติ
ไม่แปลกที่คุณจะคิดว่า คำตอบน่าจะคล้าย ๆ ในกรณีของ 2 มิติ นั่นคือพยายามกองไส้กรอกเหล่านี้เข้าให้ชิดกันที่สุด เช่นอาจก่อเป็นทรงพีระมิด
แต่คำตอบกลับไม่เป็นเช่นนั้น กลับกลายเป็นว่าถ้าเรามีไส้กรอกอยู่น้อยกว่า 56 ชิ้น ทางที่ดีที่สุดคือเอามันมาเรียงเป็นเส้นตรง! นึกง่าย ๆ ก็คือไส้กรอก (หรือไส้กรอกอีสาน) ที่ถูกร้อยเชือกเข้าด้วยกันแล้ววางไว้ตรง ๆ
ในทางกลับกัน หากจำนวนชิ้นของไส้กรอกมีเพิ่มมากขึ้นถึงจำนวนหนึ่ง การเรียงที่ดีที่สุดจะกลายเป็นการกระจุกกลุ่ม (cluster) คล้าย ๆ กับกรณี 2 มิติ ทีนี้คำถามคือจำนวนไส้กรอกที่น้อยที่สุดที่เป็นจุดเปลี่ยนจากการเรียงเป็นเส้นตรง สู่การเรียงแบบกระจุกตัวคือเท่าไหร่? ผลปรากฏว่าในกรณีที่เรามีไส้กรอก 56 ชิ้น เราควรเรียงแบบกระจุกตัว แต่ถ้าเรามี 57 ชิ้น เราต้องเรียงแบบเป็นเส้นตรง และหลังจากนั้น หากเรามีอย่างน้อย 58 ชิ้น เราต้องเรียงแบบกระจุกตัว
56 คือจำนวนแห่งหายนะที่ทำให้การเรียงตัวแบบเส้นตรงพังทลายลง และนี่เองคือที่มาของชื่อ “หายนะไส้กรอก”
ปรากฏการณ์ที่คล้ายคลึงกันเกิดขึ้นในกรณี 4 มิติ ที่การเรียงตัวเป็นเส้นตรงจะให้ผลลัพธ์ที่ดีทีสุดไปถึงจำนวนจำนวนหนึ่งแล้วการเรียงตัวแบบกระจุกจะเข้ามาทำหน้าที่แทน ต่างจากกรณี 3 มิติ เรายังไม่ทราบว่าจำนวนหายนะของ 4 มิติคือเท่าไหร่ เท่าที่รู้คือถ้าเรามีไส้กรอก 4 มิติอยู่มากเกิน 375,769 ลูก เราต้องเรียงมันแบบกระจุกตัว
แต่ที่น่าแปลกไปกว่านั้น มีนักคณิตศาสตร์นามว่า Fejes Toth ตั้งข้อคาดการณ์ว่า สำหรับมิติที่มากกว่าหรือเท่ากับ 5 ไม่ว่าเราจะมีทรงกลมในมิตินั้นอยู่กี่ลูกก็ตาม การเรียงตัวเป็นแนวเส้นตรง จะให้ผลลัพธ์ที่ดีที่สุดเสมอ!
ข้อคาดการณ์นี้ถูกตั้งขึ้นในปี 1975 และถูกขนานนามนับแต่นั้นว่า “ข้อคาดการณ์แห่งไส้กรอก” และจนถึงทุกวันนี้ก็ยังไม่มีใครพิสูจน์หรือหาข้อคัดค้านข้อคาดการณ์นี้ได้
คำตอบที่ดีที่สุดเท่าที่เรามีในตอนนี้คือผลงานในปี 1998 ของ Betke และ Henk ที่สามารถแสดงได้ว่าข้อคาดการณ์ข้างต้นเป็นจริงในกรณีของมิติที่มากกว่าหรือเท่ากับ 42 (ก่อนหน้านั้นในปี 1994 Betke และคณะได้แสดงในกรณีที่มิติอย่างน้อย 13,387) นอกจากนี้ยังมีข้อสรุปน่าแปลกอีกอย่าง กล่าวคือ สมมติเราพิจารณาใน d มิติ เราสามารถวัดมิติของรูปแบบการเรียงชนิดต่างได้ตั้งแต่ 1 ถึง d เช่น การเรียงเป็นเส้นตรงนั้น เป็นเสมือนการเรียงแบบ 1 มิติ ในขณะที่การเรียงเป็นระนาบเปรียบเสมือนการเรียงแบบ 2 มิติ ส่วนแบบกระจุกตัวนั้นนับเป็นการเรียงแบบ d มิติ ข้อคาดการณ์แห่งไส้กรอกกล่าวว่า ในกรณีที่ d มากกว่าหรือเท่ากับ 5 การเรียงตัวที่ดีที่สุดต้องเป็นการเรียงตัวแบบ 1 มิติ ตอนนี้กรณีที่น่าสนใจจึงคือกรณีที่ d เท่ากับ 3 หรือ 4 ซึ่งนักคณิตศาสตร์ก็ได้แสดงว่า การเรียงตัวที่ดีที่สุดจะต้องเป็นแบบ 1 มิติ (เส้นตรง) หรือ d มิติ (กระจุกตัว) เท่านั้น ไม่สามารถเป็นการเรียงตัวแบบ 2 มิติ (ระนาบ)
อ่านถึงตรงนี้ท่านผู้อ่านอาจจะเริ่มสงสัยว่า แล้วเราจะต้องมารู้เรื่องพวกนี้ไปทำไมกันนะ? ความจริงแล้วเรื่องโจทย์ปัญการการจัดเรียงให้ดีที่สุดนั้นมีประโยชน์ต่อการจัดส่งพัสด่าง ๆ เพราะมันช่วยให้เราจัดส่งได้มากขึ้นต่อหนึ่งรอบ ลดทั้งระยะเวลาที่ใช้ และค่าใช้จ่ายในการขนส่ง ในระดับเล็ก ๆ อาจจะไม่ได้เห็นผลอะไรมาก แต่ในระดับสเกลที่ใหญ่ การลดจำนวนรอบในการขนส่งก็อาจลดค่าใช้จ่ายและพลังงานลงไปได้มาก ปัญหาการจัดเรียงในชีวิตจริงนั้นมีความซับซ้อนยิ่งขึ้นไปกว่าแค่ทรงกลมเสียอีก ถึงกระนั้นแม้รูปทรงง่าย ๆ อย่างทรงกลม ปัญหาก็มีความซับซ้อนให้เราประหลาดใจกันไปไม่ใช่น้อย
และจนกว่าที่จะมีใครได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่า ตอนนี้ก็ดูเหมือนว่าตัวเลข 42 จะมีความศักดิ์สิทธิ์บางประการ (อย่าเอาไปซื้อหวยกันล่ะ) หรือบางที 42 อาจคือคำตอบของคำถามสุดลี้ลับแห่งชีวิต, จักรวาล, และทุกสรรพสิ่ง... ก็เป็นได้
ใครที่มีชื่อทฤษฎีบทหรือข้อคาดการณ์แปลก ๆ ก็อย่าลืมเอามาคอมเมนท์แบ่งปันกันด้วยนะครับ
อ้างอิง
-Weisstein, Eric W. "Sausage Conjecture." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/SausageConjecture.html
-Croft, H. T.; Falconer, K. J.; and Guy, R. K. Problem D9 in Unsolved Problems in Geometry. New York: Springer-Verlag, 1991.
-Henk, M. and Wills, J. M. "Packings, sausages and catastrophes." Beitr Algebra Geom (2021) 62:265–280, 2020. https://doi.org/10.1007/s13366-020-00502-x
รูปภาพจาก
https://freepngimg.com/png/18866-sausage-picture
