27/05/2018
>> ہمارے پاس ہیں Whole Numbers یعنی {.......W={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6
>> اس کے بعد آجائیں Integers پر (یعنی positive اور negative نمبرز کی طرف)
یعنی {....., Z = { ...., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5, +6
(یعنی Whole numbers بھی اصل میں Integers کا ہی حصّہ ہیں). Integers اصل میں direction یا flow کو ظاہر کرنے کے لئے استعمال ہو سکتے ہیں.
>> اب اگر ہم کوئی بھی دو Integers لیں، اور ان کو ایک دوسرے سے divide کر دیں (اور یہاں شرط یہ ہے کہ zero سے divide نہیں کرنا ہے) تو ہمیں Rational Numbers مل جائیں گے، یعنی کوئی بھی نمبر جسے ہم a/b کی form میں لکھ سکیں، Rational Number کہلاتا ہے، اور Rational numbers کو ہم fraction کی صورت کے ساتھ ساتھ decimal point کی صورت میں بھی لکھ سکتے ہیں مثلاً، 1/2، 1/3، 3/2، 22/7-، 5/1، 1/4- وغیرہ کو ہم 0.5، .......0.333333، 1.5، ....3.1428571428571428-، 5.0، 0.25- کی صورت میں لکھ سکتے ہیں. Rational numbers کی نشانی یہ ہوتی ہے کہ point والی صورت میں point کے بعد یا تو digits اختتام پذیر ہوجاتے ہیں جیسا کہ 0.25=1/4 یا پھر ایک ہی pattern مسلسل repeat ہوتا رہتا ہے، جیسا کہ .....3.1428571428571428=22/7 یا .....0.33333=1/3 وغیرہ.
اور سارے integers بھی Rational numbers کا ہی حصّہ ہیں کیوں کہ کسی بھی integer کو 1 سے divide کرکے لکھا جا سکتا ہے مثلاً 5/1=5 وغیرہ.
>> اور finally، اب آجاتے ہیں Irrational numbers پر. کوئی بھی ایسے numbers جن کو fraction یعنی a/b کی form میں نہ لکھا جاسکے، وہ کہلاتے ہیں Irrational numbers. Irrational numbers کی مثال میں 2√، 3√، 7√، π وغیرہ شامل ہیں. ان کی decimal point والی صورت میں پہچان یہ ہوتی ہے کہ point کے بعد نہ تو ان کے digits ختم ہوتے ہیں اور نہ ہی کوئی خاص pattern سے repeat ہوتے ہیں. یعنی point کے بعد digits چلتے جاتے ہیں لیکن بلکل random طریقے سے، مثلاً، ....3.1415926535897932384626433832795=π یعنی کسی بھی irrational number کو decimal والی form میں مکمل طور پر کبھی بھی نہیں لکھا جاسکتا.
اور Irrational numbers کی تعداد Rational numbers کی تعداد سے کہیں زیادہ ہے.
>> اور پھر اگر سارے Rational اور Irrational نمبرز کو ایک ساتھ اکٹھا کرکے consider کرلیں، تو یہ سب پھر کہلاتے ہیں Real Numbers. یعنی اوپر جتنے بھی numbers کا ذکر ہوا، وہ سب Real Numbers ہیں.
اور اب آجاتے ہیں، ایک بالکل مختلف طرح کے نمبرز کی طرف.
جب بھی ہم کسی نمبر کا square نکالتے ہیں تو ہم اصل میں اس ہی نمبر کو خود اپنے آپ سے ہی multiply کر رہے ہوتے ہیں. اس وجہ سے جب ہم کسی نمبر کا square لیتے ہیں تو چاہے وہ positive نمبر ہو یا negative نمبر، اس کا square ہمیشہ ہی positive نمبر بنتا ہے.
مثلاً ²(2+)=(2+)*(2+) کا جواب ہوتا ہے 4+
اور ²(2-)=(2-)*(2-) کا جواب بھی 4+ ہی ہوتا ہے. یعنی دوسرے الفاظ میں 4+ کے دو square roots ہمارے پاس 2+ اور 2- ہیں. (اور کسی number کا square root نکالنا یہ ہوتا ہے کہ ایسا نمبر ڈھونڈا جائےکہ جسکو اس ہی سے multiply کیا جاۓ تو وہ نمبر آجاۓ جس کا square root ڈھونڈا جا رہا ہے.)
یعنی اگر ve+ اور ve- والے Real Numbers دونوں ہی کی squaring سے ہمیں ایک ve+ نمبر مل رہا ہے تو ذرا یہ سوچیں کہ ایسا کونسا نمبر ہوگا جس کی squaring کرنے سے ہمیں ایک ve- یا منفی نمبر مل جاۓ؟ یا دوسرے الفاظ میں یہ کہ کسی negative نمبر کے square root لینے پر ہمیں کیا جواب ملیگا؟ یہ arithmetic میں ایک ایسی problem تھی جس کا کئی صدیوں تک کوئی جواب نہیں تھا کسی کے پاس، کیوں کہ کسی بھی ایسے real number کا وجود نہیں جس کو اس ہی multiply کریں تو ہمیں ایک negative نمبر مل جاۓ. بالآخر یہ فرض کر لیا گیا کہ ایسے نمبر کو imaginary نمبر کہا جاۓ گا اور اسے i سے show کیا جاۓ، اور اس طرح منفی 1 یعنی 1- کے square root کو i کہا گیا: 1-√=i یعنی اب اگر i کو i سے multiply کریں گے یا دوسرے الفاظ میں 1-√ کا square لینگے تو ہمیں جواب ایک 1- مل جاۓ گا. اسی طرح 4- کا square root ہمیں ملیگا 2i یا 81- کا square root ہوگا 9i. یعنی جب کسی negative نمبر کا square root لیا جائے گا تو اس نمبر کی sign کو نظر انداز کرکے اس نمبر کے square root کی value لکھی جائے گی اور پھر اسے i سے multiply کر دیا جاۓ گا. Imaginary numbers ایک الگ ہی breed کے numbers ہوتے ہیں، اور بھلے ہی ان کو شروع میں imaginary یا خیالیاتی نمبرز کا نام دیا گیا لیکن یہ بھی اتنے ہی اصل ہیں اور اتنے ہی کائنات کی حقیقت کا حصّہ ہیں جتنے Real numbers جن سے ہم زیادہ آشنا ہیں. Imaginary numbers کی arithmetic سے جو نتائج ملے اس سے ان نمبرز کو تصور کرنے کیلئے کچھ یوں سوچا جا سکتا ہے کہ جس طرح positive اور negative اصل میں دائیں اور بائیں direction کو show کرتے ہیں (یعنی ایک dimension میں ایک سمت یا اسکی opposite سمت میں جانے کو ظاہر کرتے ہیں)، اسی طرح اگر ایک dimension کے 90 degrees پر ایک اور line کھینچ لی جاۓ یعنی ہمارے پاس دو dimensions آجائیں، تو positive اور negative والے real نمبرز اگر دائیں اور بائیں کو show کریں گے تو positive اور negative والے imaginary نمبرز پھر آگے اور پیچھے (یا پھر اوپر اور نیچے کی سمت) کی سمت کو show کریں گے.
یعنی اگر آپ صرف دائیں یا بائیں جائیں گے تو آپ real numbers والی line پر ہیں. اگر آپ صرف آگے یا پیچھے جائیں گے تو آپ صرف imaginary numbers والی line پر ہیں، لیکن اگر آپ ان کے درمیان کسی جگہ پر ہونگے تو آپ Complex Number پر ہیں. یعنی اگر ایک real number لیا جاۓ اور اس کو ایک imaginary نمبر کے ساتھ add کر لیا جاۓ تو جو number وجود میں آئے گا اسے ہم Complex number کہتے ہیں یعنی کوئی بھی ایسا نمبر جو a+bi کی form میں لکھا گیا ہو (جہاں a اور b کوئی بھی real نمبر ہیں). اس کا مطلب یہ کہ Real numbers بھی اصل میں Complex Numbers ہیں (یعنی جن کا imaginary والا حصّہ zero ہے) اور Imaginary numbers بھی اصل میں Complex Numbers ہیں (جن کا real والا حصّہ zero ہے).
اور ہم بھلے ہہی Imaginary اور Complex نمبرز سے ناآشنا محسوس کرتے ہوں، لیکن scientific fields میں ان کی بیشمار applications ہیں.
