Clases Particulares de Matemática Física y Química Profesor Paul UNI

Calculo multivariable Métodos Matemáticos para la Empresa Universidad Autónoma de Madrid 1
1. Considere los vectores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1,−1, 0) y v3 = (0, 0, 2). Entonces se verifica que:
a) El vector v1 es unitario.
b) v1 y v2 son perpendiculares.
c) El vector 1/3v1 es unitario.
d ) El vector v3 es combinación lineal de v1 y v2.
2. Sea q1(x, y ) y q2(x, y ) dos formas cuadráticas. Entonces se verifica que:
a) Si q1 es definida positiva y q2 indefinida entonces q1 +q2 es indefinida.
b) Si q1 es definida negativa y q2 es semidefinida negativa entonces q1 +q2 es definida negativa.
c) Si q1 es definida positiva y q2 es definida negativa entonces q1 +q2 es indefinida.
d ) q1(x, y )·q2(x, y ) es una forma cuadrática.
3. Sea f (x, y ) una función diferenciable tal que el plano tangente a su gráfica en el punto (3, 4, f (3, 4)) es z =−1+5x−2y.
Entonces se verifica que:
a) f (3, 4) =−1.
b) ∇f (x, y ) = (5 ,−2) ∀(x, y ).
c) f (0, 0) =−1.
d ) ∇f (3, 4) = (5 ,−2)4. Sea f (x, y ) una función de tipo C1 (continua y con derivadas parciales continuas) de la que sabemos que f (1, 1) = 2 y que el gradiente en ese punto es ∇f (1, 1) = (3, 5). Sea df⃗u (a, b) la derivada direccional de f en la dirección del vector ⃗u en el punto (a, b). Entonces se verifica que:
a) 0 ≤df⃗u (1, 1) ≤6 para todo⃗ u de R2.
b) El vector (3, 5) y la recta tangente a la curva de nivel 2 en el punto (1, 1) forman un ángulo de 90◦.
c)−5 ≤df⃗u (1, 1) ≤5 para todo⃗ u de R2.
d ) Si⃗ u = (0, 1) entonces df⃗u (1, 1) = 5.
5. En la figura siguiente se representan las curvas de nivel de una función f diferenciable correspondientes a los valores indicados y con el sentido de crecimiento indicado por éstos. Se verifica que:
a) ∂f∂y (0,−2) = 0
b) ∂f∂x (0,−2)·∂f∂y (0,−2) > 0
c) ∂f∂x (0,−2)·∂f∂y (0,−2) < 0
d) f (0,−2) > f (0,−1)

Física Solenoide Campo Magnético fem ind Ejercicio 12 2002 Bachillerato Internacional
Un solenoide de 2 m de longitud está enrollado alrededor de un núcleo de madera. El solenoide tiene 3000 espiras y un radio de 0.02 m. Alrededor del solenoide se encuentra una bobina de cuatro vueltas de radio 0.15 m., conectada a un Resistor. Es un instante determinado, la corriente en el solenoide es de 25 A en
la dirección mostrada. Pero está disminuyendo a una tasa de 40 A/s.
A) determina el campo magnético del solenoide en ese instante.
B) Calcule el flujo magnético a través de la bobina de cuatro vueltas en ese instante.
C) Halla la fem inducida en la bobina de cuatro vueltas en ese instante.
D) indica la dirección de la corriente a través del Resistor (de izquierda, a derecha o derecha a izquierda) y explica brevemente tu razonamiento.

Física Campo Magnético Fem inducido Fuerza Magnética Potencia Eléctrica Ejercicio 11 2002
Una barra metálica puede utilizarse y lateralmente sobre dos rieles metálicos, paralelos y sin fricción, separados 0.6 m. Un Resistor R completa el circuito. La resistencia total del circuito es de 2Ω. Todo el sistema está inmerso en un campo magnético uniforme de 0.8 T, dirigido hacia dentro del plano de la hoja. Una persona aplica una fuerza constante hacia la derecha sobre la barra y la barra se desliza hacia la derecha a una velocidad constante de 10 m/s.
a) determina la fem inducida en el circuito e indica si el punto A o el punto C está a mayor potencial. Explica brevemente tu razonamiento..
B) Calcula la magnitud de la fuerza F, que la persona ejerce para mantener la barra en velocidad constante..
C) demuestra con cálculos que la potencia mecánica suministrada por la persona es igual a la potencia eléctrica, disipada en el circuito.
d) Supón ahora que el Resistor se quema abriendo el circuito, la persona continúa ejerciendo la misma fuerza. Describe cómo se mueve la barra y explica por qué se mueve así.

Física Campo Magnético creado por un alambre infinito Ejercicio 10 2002 IB
Dos alambres largos y paralelos transportan corrientes I1=2A e I2=3A, dirigidas perpendicularmente al plano de la hoja como se muestra en la figura. La figura muestra la separación entre los alambres y la distancia desde el alambre 1 hasta el origen. Determina el campo magnético total en el origen. Primero expresa tu respuesta en notación vectorial, luego halla la magnitud y dirección del campo.

Física Campo Eléctrico Campo Magnético Ejercicio 9 2002 Bachillerato Internacional
Un haz de protones se mueve en la dirección +X a una velocidad de 10 km/s a través de una región (delimitada por un rectángulo punteado en la figura) que contiene un campo eléctrico uniforme y un campo magnético uniforme. El campo magnético es de 0.8 T y está dirigido hacia dentro del plano de la hoja. Ambos campos están dispuestos de modo que no haya desviación de los protones.
a) Encuentre la magnitud y dirección del campo eléctrico necesario.
b) A la derecha de la región punteada el campo eléctrico es cero, pero el campo magnético sigue existiendo. Calcula el radio de la trayectoria circular que seguirán los protones. ¿Se moverán en sentido horario o antihorario?
c) Cómo cambiaría tus respuestas en los apartados a y b si las partículas fueran deuterones (un deuteron está formado por un protón y un neutrón ambos de igual masa).

Física Circuitos Eléctricos Ejercicio 8 2002 Bachillerato Internacional
a) En el circuito mostrado en la figura, encuentra la corriente I1 a través del Resistor de 1 ohm y la corriente a través del Resistor de 3 ohm. Indica si cada corriente está dirigida hacia arriba o hacia abajo en la figura. Además, determina la fem desconocida ε.
b) Demuestra mediante cálculo directo que la potencia total producida en este circuito es igual a la potencia total consumida.

Física Campo Eléctrico Corriente Resistencia dentro de un alambre Ejercicio 7 2002 Bachillerato internacional.
Un alambre cilíndrico de radio tiene una resistividad de 1.72x10^-8 ohm-m a 20C y α=3.9x10-3 C-1. El alambre conduce una densidad de corriente uniforme de 2x10^5 A/m2.
a) encuentra el campo eléctrico dentro del alambre.
B) Calcula la corriente la parte exterior de la alambre entre la distancias radiales r/2 y r.
C) halla la resistencia de un tramo de alambre de 8 m de longitud
d) ¿A que temperatura la resistencia de este tramo sería cuatro veces mayor?

Física Capacitor Resistencia Curcuito RC Ejercicio 6 2002 Bachillerato Internacional
En el circuito mostrado, supone que el interruptor ha estado cerrado el tiempo suficiente para que el capacitor esté completamente cargado. Determina:
a) la corriente en estado estacionario a través de cada uno de los tres Resistores
b) la carga en el capacitor. En t=0 se abre el interruptor. Halla
c) el tiempo en el que la carga del capacitor es una cuarta parte de su valor original
d) la corriente a través del Resistor de R3 en ese mismo instante.

Física Capacitor Potencial Energía Eléctrica Ejercicio 5 2002 Bachillerato Internacional
Los capacitores C1= 6 𝝁F y C2= 3 𝝁F se cargan por separado conectando cada uno a una batería de 250. Luego se desconectan de la batería.
a) hay la energía potencial total almacenada en los dos capacitores. Después, los capacitores se conectan entre sí, cerrando los interruptores del diagrama. Observa que la placa positiva de cada uno se conecta la placa negativa del otro. Calcula
B) la carga en cada capacitor
c) la diferencia de potencial en cada capacitor
d) la energía potencial total almacenada en los dos capacitores.

Física Potencial Eléctrico Capacitancia Ejercicio 4 2002 Bachillerato Internacional
Un contador de Geiger-Müller es un detector de radiación que consiste esencialmente en un cilindro metálico hueco (el cátodo) de radio interno a y, en su interior, un alambre cilíndrico macizo (el ánodo) de radio B. La carga por unidad y longitud en el anodo es 𝜆 mientras que en el cátodo es -λ.
a) usa el resultado del problema dos para demostrar (mostrando todos los pasos) que la diferencia de potencial entre el alambre y el cilindro viene dado por Vab=2kλln(a/b)
B) encuentra una expresión para la capacitancia por unidad de longitud de este dispositivo.