Spelen met Wiskunde

03/06/2026

Een van mijn berichten heeft in de afgelopen week meer dan 10 reacties opgeleverd. Bedankt allemaal voor jullie betrokkenheid! Bekijk mijn website tinekeleert.nl voor hulp bij stress tijdens wiskunde toetsen. Ik help graag!🎉

20/04/2026

Hoi, mijn website is geheel vernieuwd om beter aan te sluiten met mijn activiteiten om wiskunde te leren en leuk te maken.

Kijk op https://tinekeleert.nl om een indruk te krijgen. Er staat ondermeer een online cursus over de stelling van Pythagoras in, waarbij je door knippen en schuiven en een beetje rekenen een bewijs kunt maken.

Tot daar!

Tineke

Versterk Je Wiskundige Vaardigheden Zonder stress de wiskunde toets in met Tineke Leert Bij Tineke Leert helpen we je om zelfverzekerd en zonder stress wiskunde te begrijpen en toe te passen. Leer in een veilige omgeving waarin je fouten mag maken en ontdek hoe leuk en toegankelijk wiskunde kan zijn...

14/02/2024

Dit is een weergave van de 'einstein'. Hij heeft niets met Einstein te maken, maar is zo genoemd omdat hij de ene steen is waarmee je het hele vlak tot in het oneindige kunt vullen zonder overlap en zonder herhaling te vertonen in het vulpatroon.
Hier waren wiskundigen al jaren naar op zoek en in 2023 is hij gevonden door een amateur. Deze zocht contact met drie wiskundigen en die hebben het bewijs geleverd!

30/08/2023

In tip 11 over fractals zijn de plaatjes weggevallen. Omdat dat jammer is en ook de constructie van de sneeuwvlok niet zonder kan, voeg ik ze hier nog eens toe. Sorry hiervoor.
Liefs, Tineke

29/08/2023

Wiskunde tip nr. 11: Fractals

Tip van Tineke om zelfvertrouwen in wiskunde te vergroten

Door te spelen en te puzzelen (alleen of samen) kom je tot inzichten en oplossingen.
Geniet daarna van het gevoel dat het je toch maar is gelukt en krijg steeds meer plezier in wiskunde.

Zo, en nu zijn de fractals echt aan de b***t.

Een fractal is een figuur die opgebouwd is uit delen die gelijkvormig zijn met de figuur zelf. Deze delen zijn kleiner dan de figuur zelf, zodat inzoomen op een detail de oorspronkelijke figuur onthult. Vaak worden ze gemaakt door 'oneindig vaak' herhaald toepassen van een bewerking.

Voorbeelden van fractals hebben we al gezien in tips 9 en 10, waar de constructie van spiralen werd gegeven door herhalen van steeds hetzelfde procedé.
Bijvoorbeeld de gulden spiraal werd geconstrueerd door een gulden rechthoek te verdelen in een vierkant en een nieuwe, kleinere gulden rechthoek, waarna met cirkelbogen tegenoverliggende punten in het vierkant werden verbonden. Dit kun je herhalen met de kleinere gulden rechthoek. Enzovoort.

Veel fractals worden met behulp van computerprogramma’s onderzocht. Juist door de herhaling van het procedé, zijn computer programma’s heel geschikt. Het procedé wordt dan omgezet in een algoritme dat door een computer willekeurig vaak kan worden herhaald en eventueel kan worden weergegeven als een film of in een kleurenpalet. Sommige plaatjes hieronder zijn ontstaan door computer bewerkingen te herhalen en sommige zijn zelf getekend.

We bespreken twee speciale fractals: de sneeuwvlok van Helge von Koch en de Mandelbrot verzameling. Omdat de Mandelbrot verzameling zich per definitie afspeelt in het complexe vlak, en dit wat nadere introductie vraagt, zullen we deze apart behandelen in tip 12. We geven hier wel alvast wat plaatjes en een idee hoe deze zijn gemaakt.

Sneeuwvlok van Koch

Deze fractal is genoemd naar de Zweedse wiskundige Niels Fabian Helge von Koch (1870 – 1924). Hij construeerde een kromme door herhaald een lijnstuk in drie gelijke delen te verdelen en op de middelste een gelijkzijdige driehoek te maken en dit daarna voor alle kleinere lijnstukken te herhalen. De sneeuwvlok krijg je door te beginnen met een gelijkzijdige driehoek in plaats van met een lijnstuk.

Pak hiervoor zelf een A4-papier met ruitjes of niet, net wat je handig vindt. Teken hierop een gelijkzijdige driehoek met hulp van een geo-driehoek, of passer en lineaal. De hoeken zijn alle drie 60 graden en de zijden zijn even lang. De driehoek hoeft maar een kleine marge te hebben tot de rand van het papier, want de sneeuwvlok die we gaan maken, komt niet voorbij de rand van het vierkant om de driehoeken uit de eerste iteratie.

Verdeel de zijden van de driehoek in 3 gelijke delen en markeer de punten die je krijgt. Teken nu nog een driehoek als spiegelbeeld van de eerste driehoek, door de gemarkeerde punten. Je krijgt dan 6 kleinere gelijkzijdige driehoeken als hoekpunten. Dit is de eerste iteratie.

Herhaal dit daarna voor alle 6 driehoeken. Dan krijg je 6 x 6 = 36 nog kleinere driehoeken. Verwijder alle binnenste lijnen en houd alleen de buitenrand over. En zo ga je door, hoewel je met de hand niet zo ver komt.

Een alternatieve methode om de sneeuwvlok te maken, is ieder lijnstuk waaruit de buitenrand is opgebouwd in drieën te delen en op het middenstuk een kleine gelijkzijdige driehoek te maken die met zijn punt naar buiten wijst.
Dan moet je nog het middenstuk weg gummen zodat je alleen de buitenrand over laat. In de bijgevoegde figuur zie je de 4de iteratie en dan nog de 5de voor de helft. De middenstukken heb ik laten staan, omdat je zo de constructie beter kunt zien.

Vervolgens kleur je de buitenrand van de figuur, en dan heb je een benadering van de sneeuwvlok van Koch.

De totale lengte van de rand van de figuur neemt met iedere herhaling toe met 4/3. Immers in plaats van drie gelijke delen van een lijnstuk heb je vier gelijke delen gekregen omdat je er een gelijkzijdige driehoek bovenop hebt gezet. De totale lengte van de sneeuwvlok is dus de limiet van n naar oneindig van (4/3)n. Dat is dan ook oneindig omdat 4/3 groter is dan 1.

De oppervlakte die de sneeuwvlok inneemt is niet groter dan het vierkant dat de eerste twee driehoeken omvat. Dat is toch heel bijzonder: een oneindig lange kromme die in een vierkantje past.

De Mandelbrot verzameling

Een andere bekende fractal is de Mandelbrot verzameling. Hiervoor bekijk je het gedrag van een punt wanneer je daarop herhaaldelijk een wiskundige bewerking uitvoert. Sommige punten leiden tot een zich herhalende rij. Andere punten ‘lopen weg’ naar oneindig. Vervolgens kleur je de punten zwart die leiden tot een zich herhalende rij en je geeft ze andere kleuren naarmate ze sneller of langzamer een zich herhalende rij vormen.
De afbeelding hierbij komt uit het Shutterstock programma.

Je kunt zelf spelen met fractals in computerprogramma’s die verzameld zijn in:
Fractal programma’s: https://www.webmasterij.nl/fractals

Meer over de Mandelbrot verzameling zal ik vertellen in tip 12.

Gratis abonneren op deze tips kan eenvoudig op de website: www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Of stuur me een mailtje: [email protected] dan krijg je een bevestigingsmail, en na je bevestiging kom je op de mailinglijst van de nieuwsbrief.

01/08/2023

Wiskunde Tip- 9 en 10

Omdat in tip 9 door verkeerde lay-out sommige plaatjes en vergelijkingen niet goed werden weergegeven, heb ik dat verbeterd in tip 10. Hieronder volgt de goede weergave van SPIRALEN. in Wiskunde.

De formules voor spiralen laten zich het makkelijkst uitdrukken in poolcoördinaten, waarmee ook cirkels om de oorsprong kunnen worden beschreven.

1. Poolcoördinaten
Naast de beschrijving van een punt in een coördinatenstelsel als een paar (x, y) kun je een punt ook beschrijven in poolcoördinaten: (r, φ), voor de straal r en de hoek phi. Je kunt deze coördinaten in elkaar omzetten:

r = √(x2 + y2) (stelling van Pythagoras)
φ = arctan(y/x) (definitie van tangens)
of:

x = r cos (φ) (definitie van cosinus)
y = r sin (φ) (definitie van sinus)

Hieronder staat een plaatje van de relatie tussen poolcoördinaten en coördinaten in het assenstelsel.

Je kunt een baan beschrijven in het vlak met r als functie van φ, of met y als functie van x. Net wat het beste uitkomt. Om een spiraal te beschrijven zul je vaak kiezen voor r als functie van φ.
Vanaf φ = 0 tot φ = 2π heeft de spiraal een volledige winding gemaakt.
Verder naar φ = 4π is de tweede winding voltooid. Het gedrag van de spiraal bij kleine veranderingen van φ wordt dan uitgedrukt als verband tussen r’(φ) en r(φ). Daarmee is de formule van een spiraal een oplossing van een differentiaalvergelijking geworden.

De spiralen in de volgende paragrafen zijn hier voorbeelden van.

Nu heb ik het oplossen van differentiaalvergelijkingen altijd als lastig gezien. Niet zoals bij het differentiëren van functies, waarbij je een vast patroon van regels kan volgen om de oplossing te vinden, is er voor het oplossen van differentiaalvergelijkingen niet een manier die altijd werkt. Gelukkig hebben de spiralen die hier worden beschreven relatief eenvoudige differentiaalvergelijkingen.

2. De Archimedes- spiraal
Archimedes van Syracuse (ca. 287 v.Chr – ca. 212 v. Chr) was een Griekse wiskundige met een brede belangstelling en veel ideeën. Hij schreef een boek over spiralen in 225 v. Chr waarin hij onder meer de eenvoudigste spiraal beschreef: de Archimedes-spiraal.

Een spiraal is een vloeiende lijn die om een middelpunt draait en zich er tegelijkertijd van verwijdert of juist zich er steeds dichter naartoe beweegt.
De Archimedes-spiraal heeft de eigenschap dat de onderlinge afstand van de snijpunten van een lijn door het middelpunt loodrecht op de spiraal-kromme steeds overal gelijk is. De onderlinge afstand neemt dus niet af of toe als je vanuit het middelpunt naar de windingen kijkt.
De formule voor de Archimedes-spiraal in poolcoördinaten is :
r = b. φ
waarin r de straal aan geeft en φ de hoek (in radialen) met de positieve x-as.
Hierbij is aangenomen dat het middelpunt van de spiraal in de oorsprong (0,0) ligt.
De parameter b is een maat voor de afstand tussen de windingen.
Opeenvolgende windingen bevinden zich op een afstand van b.2π van elkaar.

Een andere karakterisering van de Archimedes-spiraal is, dat hij zich verwijdert van de oorsprong met een gelijke snelheid als de hoeksnelheid. Dit betekent dat de spiraal voldoet aan de differentiaalvergelijking:
r’ (φ) = b, waarbij b een constante is.

Hieruit volgt r = b. φ + c, waarin c de verschuiving is ten opzichte van de oorsprong in positieve x-richting. In geval c = 0, is het middelpunt van de spiraal (0,0).
Een schets van een Archimedes spiraal vind je hier, samen met het hart van een zonnebloem

3. De Logaritmische spiraal
Bij een logaritmische spiraal groeit de afstand tussen de snijpunten van de windingen gekeken vanuit het middelpunt.
De toename van de lengte van de voerstraal (dat is de verbindingslijn van het middelpunt naar een punt op de spiraal) is evenredig met de lengte van de voerstraal zelf.

Dus voldoet de logaritmische spiraal aan de differentiaalvergelijking:
r’(φ) = b.r(φ), waarbij b een constante is.

Hieruit volgt de formule voor de logaritmische spiraal:
r = a . e^(b.φ)
met a de initiële radius, e de basis van de natuurlijke logaritme, ^ geeft 'tot de macht' aan en b is een constant getal. Het getal b geeft de mate van verandering van de straal aan.
Dit is equivalent met:
φ = ln(r/a) / b

Een bijzonder geval van de logaritmische spiraal is de gulden spiraal. Hier hebben we een notatie-probleem, want φ is in gebruik als de hoek-variabele in het poolcoördinaten-stelsel en als het gulden getal uit de gulden snede. We spreken hier af dat het (constante) gulden getal aangegeven wordt met Gc.

In poolcoördinaten heeft de gulden spiraal de formule:
r = Gc(2φ /π) waarin Gc het gulden getal is uit de gulden snede.
Dit komt overeen met een logaritmische spiraal met
a = 1 en b = (ln φ) /(π/2)
Dit betekent dat de gulden spiraal met elke draaiing over π/2 met φ toeneemt.
Een schets van een gulden spiraal vind je hieronder, en een foto van een schelp waar een logaritmische spiraal in voorkomt.


4. De Fibonacci spiraal
De Fibonacci spiraal wordt iets anders geconstrueerd dan de logaritmische spiraal of de Archimedes spiraal. De afstand tussen de snijpunten van de voerstraal en de windingen van de spiraal nemen toe en daarom is het geen Archimedes spiraal. Het is ook geen gulden spiraal, want de gulden spiraal is een logaritmische spiraal met groeifactor gelijk aan het gulden getal, terwijl de Fibonacci spiraal gevormd wordt door cirkelbogen in vierkanten te trekken waarbij deze vierkanten als zijden de Fibonacci getallen hebben. De gulden spiraal en de Fibonacci spiraal liggen wel heel dicht bij elkaar, omdat de verhoudingen tussen de Fibonacci getallen nadert naar de gulden ratio. Als ik de constructie van de Fibonacci spiraal begin met een heel grote rechthoek, is de verhouding bijna gelijk aan het gulden getal.

In het plaatje hieronder is de grootste rechthoek 34 x 21 hokjes. De verhouding is dan 34/21 = 1.619047619 terwijl het gulden getal gelijk is aan ongeveer 1.618033989 een verschil van 0.00101363.
Bij de constructie, waarbij een reeks vierkanten worden gemaakt volgens de gulden rechthoeken of volgens de rij van Fibonacci, is er weinig verschil tussen
de gulden spiraal en de Fibonacci spiraal, maar helemaal gelijk zijn ze niet.

Deze spiraal komt voor in de natuur, cultuur en bij compositie van foto’s. Hierboven staan foto’s van de constructie en van de staart van een kameleon.

Hiermee zijn drie spiralen behandeld. Er zijn er veel meer, en deze kunnen in een aantal gevallen afgeleid worden van een van deze drie spiralen. Zoek in wikipedia naar “spiraal wiskunde” voor een overzicht.

Als je deze spiralen ‘oneindig’ voortzet door de constructie voort te zetten en de schaal te veranderen, krijg je fractals.
In de volgende nieuwsbrief gaan we het hebben over fractals.

Gratis abonneren op deze nieuwsbrief kan eenvoudig op de website: www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Of stuur me een mailtje: [email protected] dan krijg je een bevestigingsmail, en na je
bevestiging kom je op de mailinglist van de nieuwsbrief.

30/05/2023

Wiskunde Tip 8: Fibonacci en de gulden snede.

Tip van Tineke om zelfvertrouwen in wiskunde te vergroten
Door te spelen en te puzzelen (alleen of samen) kom je tot inzichten en oplossingen.
Geniet daarna van het gevoel dat het je toch maar is gelukt en krijg steeds meer plezier in wiskunde.

In Tip 7 stond een nieuwe opgave over de rij van Fibonacci.

De rij van Fibonacci (Leonardo van Pisa, boek: Liber abaci , 1202) is:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Elke term in de rij is de som van zijn twee voorgangers, waarbij de rij begint met een 0 en een 1.
De rij houdt verband met de gulden snede (zie Tip 7), en wel als volgt:
De rij heeft als eigenschap dat de limiet van de verhouding van twee opvolgende getallen in de rij nadert naar de gulden snede.
De n-de term in de rij kan uitgedrukt worden in het gulden getal phi:
Fn= (phi^n – (1 – phi)^n) / √5 waarbij phi het gulden getal is: phi = ( 1+ √5)/2 en dat is bij benadering: 1.618033989…. Hier is phi^n de n-de macht van phi.
Dit is bijzonder, want de recursie waarin een term uitgedrukt wordt in vorige termen kan blijkbaar in dit geval omgezet worden in een direct verband.
De opgave is deze verbanden aan te tonen.

Leonardo Pisano (Fibonacci) leefde van 1170 tot 1250 (ongeveer). In 1202 verscheen zijn boek Liber Abaci (het rekenboek). Hierin gaf hij een raadsel op over het fokken van konijnen. Als elk konijnenpaartje elke maand één paar jongen baart die na een maand volwassen zijn, hoeveel konijnen heb je dan na een jaar? Dit is niet realistisch, want ook konijnen gaan dood, en ze krijgen niet één nieuw paartje in de maand.

Maar eerst de uitwerking van de opgave.
De verhouding Ln tussen Fn+1 en Fn is voor een aantal waarden van n:
L1 = 1; L2 = 2; L3 = 1,5; L4 = 1.6; L5 = 1.625; L6 = 1.61538…; L7 = 1.61905….; L8 =1.61765….
Dit leidt tot het vermoeden dat de limiet van Ln voor n →∞ bestaat en dat de rij {Ln} convergeert en zijn limiet waarde insluit in opvolgende termen.
Neem aan dat L de limiet waarde is. Dan volgt uit Fn+1 = Fn + Fn-1 dat Fn+1 /Fn = 1 + Fn-1/Fn en dit betekent dat L = 1 + 1/L. Oftewel: L^2 – L – 1 = 0 en
dus is L = ( 1+ √5)/2 als positieve wortel uit deze vierkantsvergelijking.
Hieruit volgt: L = phi, het gulden getal.

De recursieve formule die het n+1ste getal van de Fibonacci reeks uitdrukt in het nde getal en het n-1ste getal kan omgezet worden in een direct verband tussen n
en het nde getal. Deze formule staat bekend als Binet’s formula, naar de Franse wiskundige Jaques Philippe Marie Binet. Het bewijs volgt hier:
Voor het getal phi geldt dat phi^2 = phi + 1 en voor (1 – phi) geldt ook
(1 – phi)^2 = (1 – phi) + 1 immers
(1 – phi)^2 = 1 – 2phi + phi^2 = 1 – 2phi + phi + 1 = 2 – phi = (1-phi) + 1.
Dus is (phi)^(n+2) = phi^2 * phi^(n-1) = (phi + 1) * phi^n = phi^(n+1) + phi^n
dit geldt ook voor (1 – phi). Daaruit volgt dat voor alle a en b combinaties als
a*phi + b * (1-phi) de Fibonacci eigenschap hebben. Als we a en b nu zo kunnen kiezen dat het begin goed gaat, dwz de eerste term is 0 en de tweede is 1, dan is, voor die a en b de rij a * phi^n + b * (1-phi)^n gelijk aan de Fibonacci rij.
Deze a en b zijn op te lossen uit het stelsel vergelijkingen: a + b = 0 (eerste term), en a * phi + b * (1-phi) = 1 (tweede term). Dit geeft b = -a en a * phi -a * (1-phi) = 1.
Dus b = -a en a = 1 / (phi –(1-phi))= 1 / ( (1+ √5)/2 – (1 - ( 1+ √5)/2))= 1 / √5. Hieruit volgt: Fn = (phi^n – (1 – phi)^n) / √5 .
Hoe zit het nu met die konijnen? Het plaatje hieronder geeft wat inzicht.
Uitwerking: Stel er zijn Vn volwassen paren na de n-de maand en Jn jonge paren.
Dan zijn er na maand n+1: Vn + Jn volwassen konijnenparen, want de jongen zijn volwassen geworden. En er zijn Vn jonge paren, voortgebracht door de volwassen paren.
Dus V(n+1) = Vn + Jn en J(n+1) = Vn .
Na maand n+2 is V(n+2) = V(n+1) + J(n+1) = V(n+1) + Vn en
J(n+2)= V(n+1) = Vn + Jn = J(n+1) + Jn.
Allebei de rijen {Vn} en {Jn} gedragen zich volgens de Fibonacci formule en dat
doet de som ook. Het begin controleren geeft dat { Vn + Jn} overeenkomt met de Fibonacci rij.

De spiralen houden jullie te goed.

Opgave: Vergelijk de Fibonacci spiraal en de Gulden spiraal.
Zoek de Fibonacci spiraal op in Wikipedia.

Tot slot voeg ik een plaatje bij van mijn bloeiende cactus, met 13 bloemetjes rondom, volgens het Fibonacci getal F7 met F0 = 0 en F1 = 1.

Gratis abonneren op deze nieuwsbrief kan eenvoudig op de website: www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Of stuur me een mailtje: [email protected] dan krijg je een bevestigingsmail, en na je bevestiging kom je op de mailinglist van de nieuwsbrief.

28/04/2023

Spelen met Wiskunde TIP-7

Tip van Tineke om zelfvertrouwen in wiskunde te vergroten

Door te spelen en te puzzelen (alleen of samen) kom je tot inzichten en oplossingen.
Geniet daarna van het gevoel dat het je toch maar is gelukt en krijg steeds meer plezier in wiskunde.

In Tip 6 stond een nieuwe opgave:
Opgave: construeer de gulden snede met passer en lineaal, en maak een gulden spiraal.

In deze tip wordt de gulden snede behandeld en de constructies van een verdeling van een lijnstuk volgens de gulden snede uitgelegd.
Ook wordt getoond hoe je een gulden spiraal kunt construeren.
Voor een uitvoeriger behandeling van de gulden snede, verwijs ik naar Wikipedia:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede
Overigens geeft Wikipedia vaak een goede eerste uitleg van wiskundige termen, dus ook van de “gulden snede”.

De gulden snede is de verhouding a/b van een lijnstuk dat verdeeld is in een kort stuk b en een langer stuk a, zodat de verhouding van a tot b gelijk is aan de verhouding van de totale lengte tot a.
Dus a / b = (a+b) / a. Deze verhouding is het gulden getal ҩ (phi).
Er geldt phi = 1 + 1/phi, dus phi^2= phi + 1, ofwel
phi^2 – phi – 1 = 0. Nu hebben we een vierkantsvergelijking,
die we met de abc-formule op kunnen lossen:
phi1,2 = ( 1 ± √5)/2.
Dit geeft een positieve en een negatieve oplossing,
waarbij we alleen geïnteresseerd zijn in de positieve oplossing:
phi = ( 1+ √5)/2
De rekenmachine geeft: phi = 1,618033989….
Dit betekent dat phi een irrationaal getal is.
De gulden snede is dus een ratio, een speciale verhouding tussen twee lengtes van lijnstukken.

In de verdeling van lijnstukken in de juiste verhouding van de gulden snede, speelt √5 een grote rol.
Volgens Pythagoras is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 1 en 2 gelijk aan √(1+ 4) = √5.

Een voorbeeld van een constructie met lineaal en passer volgt hier.
Teken een rechthoekige driehoek ABC met rechthoekszijden AB met lengte 2 en BC met lengte 1. Dan heeft AC als lengte √5.
Teken met de passer een cirkelboog met middelpunt C en 1 als straal. Deze snijdt AC in punt D.
Teken met de passer een cirkelboog met middelpunt A en de lengte van AD als straal. Deze snijdt AB in punt E.
AB is nu verdeeld door E volgens de gulden snede. Immers:
AE = AD = √5 – 1 en BE = 2 – (√5 – 1) = 3 - √5. Dus
AE / BE = (√5 – 1) / (3 - √5) = (√5 – 1) x (3 + √5) / (9 – 5) =
(2 + 2√5) / 4 = (1 + √5) / 2
Het plaatje wat hierbij hoort, staat hieronder.

Een andere manier om in te zien dat E het lijnstuk AB verdeeld volgens de gulden snede, is aantonen dat
AE / EB = AB / AE. Of: AE2 = AB x BE of AE2 = 2 x BE.
Dit volgt uit AE2 = (√5 – 1)2 = 5 – 2√5 + 1 = 6 – 2√5 = 2 x BE.

Je kunt een lijnstuk met gulden snede verdeling ook construeren vanuit een vierkant:
1. Teken een vierkant van 2 x 2, met hoekpunten A,B,C,D
2. Bepaal het midden M van AB, en teken MC. Dan is MB = 1 en MC = √5
3. Teken met de passer een cirkelboog met middelpunt M en MC al straal.
Deze snijdt het verlengde van AB in punt G.
Dan is AB / BG = 2 / (√5 – 1) = 2 x (√5 + 1)/ 4 = (√5 + 1) / 2 en
AG / AB = (√5 + 1) / 2.
Hieruit volgt dat B het lijnstuk AG verdeelt volgens de gulden snede.
Het plaatje hierbij is het begin van de constructie van de gulden spiraal, zoals hieronder aangegeven

Voordat we de gulden spiraal gaan construeren, bewijzen we eerst dat je een gulden rechthoek met zijden a+b en a kunt verdelen
in een vierkant met a als zijde en een rechthoek met a en b als zijden.
Dan is de kleine rechthoek weer een gulden rechthoek, immers de zijden zijn a en b en de verhouding a/b = a+b/a wat volgt uit de
oorspronkelijke gulden rechthoek.
Kortom, de zijden van de kleine rechthoek verhouden zich ook volgens het gulden getal.

Je kunt dit procedé herhalen en een kleiner vierkant met b als zijde en een kleinere gulden rechthoek met b en a-b als zijden krijgen.
Zo ga je door met het maken van steeds kleinere vierkanten en gulden rechthoeken die geheel bevat zijn in de vorige gulden rechthoek.
Met cirkelbogen in de geconstrueerde vierkanten maak je er een spiraal van, waarbij het eindpunt van de cirkelboog bepaalt waar het
volgende vierkant moet komen om aansluitende cirkelbogen te krijgen.
De gulden snede wordt gebruikt in architectuur, schilderkunst, muziek, design, fotografie, en ook in de natuur zijn veel voorbeelden
te vinden. Verklaringen worden gezocht in streven naar harmonie en leiden van het oog in een bepaalde richting.
In de natuur lijkt efficient omgaan met bronnen als licht en ruimte en voedsel belangrijk.
Opgave: Rij van Fibonacci


De gulden spiraal wordt ook wel de Fibonacci spiraal genoemd, naar de rij van Fibonacci (Leonardo van Pisa, boek: Liber abaci , 1202):
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
Elke term in de rij is de som van zijn twee voorgangers. Deze rij houdt verband met de gulden snede.
De rij heeft als eigenschap dat de limiet van de verhouding van twee opvolgende getallen in de rij nadert naar de gulden snede.
De n-de term in de rij kan uitgedrukt worden in het gulden getal: fn= (phin – (1 – phi)n) / √5
waarbij phi het gulden getal is: phi = ( 1+ √5)/2
De opgave is deze verbanden aan te tonen.

In de volgende Wiskunde tip zal het bewijs van 1. en 2. worden gegeven, en wordt ook de Fibonacci spiraal besproken en vergeleken met de gulden spiraal.

Gratis abonneren op deze nieuwsbrief kan eenvoudig op de website: www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Of stuur me een mailtje: [email protected] dan krijg je een bevestigingsmail, en na je
bevestiging kom je op de mailinglist van de nieuwsbrief.

26/03/2023

In deze zesde wiskunde tip geef ik eerst een oplossing voor de n vredelievende koninginnen op een n x n bord. Daarna laten we de schaakstukken en het schaakbord even voor wat het is, en gaan we het hebben over de gulden snede, een speciale verhouding van lijnstukken die in de natuur veel voorkomt en harmonie geeft in architectuur, mode, design, muziek enz. Er is een korte introductie en een opgave om een gulden snede en een gulden spiraal te construeren, met passer en lineaal. Daar wordt in de zevende tip uitgebreid op in gegaan.

De uitwerking van het koninginnen probleem staat hieronder. Mocht het niet goed leesbaar zijn, dan raad ik je aan je te abonneren op de nieuwsbrief, waar de tips als mail-attachments in verschijnen. Dit kan eenvoudig via de website:
www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Je kunt ook een mailtje sturen naar [email protected]

De opgave is: Plaats 8 koninginnen op een schaakbord van 8 bij 8 zonder dat ze elkaar bedreigen.
Koninginnen kunnen horizontaal, verticaal en diagonaal over een willekeurige afstand elkaar slaan.
Om elkaar niet te bedreigen, mogen ze dus niet horizontaal, verticaal of diagonaal een andere koningin
kunnen bereiken.
Hierbij kun je verschillende technieken gebruiken, variërend van algebra tot het schrijven van een
computerprogramma.
Voor een deel is dit behandeld in tip 5.
We herhalen het hier kort:
Bij een bordje van 2 x 2 kun je geen twee koninginnen plaatsen zonder dat ze elkaar bedreigen.
En het gaat ook niet voor een bordje van 3 x 3 en drie koninginnen.
Voor een bord van 4 x 4 lukt het wel om vier koninginnen zo te plaatsen dat ze elkaar niet bedreigen.
Je kunt dan in de eerste kolom een koningin zetten in de tweede rij, en dit aanvullen met onbedreigde
koninginnen zodat je (2, 4, 1, 3) krijgt.

Hiermee is ook een schrijfwijze voor mogelijke oplossingen gegeven: in kolom 1 komt de koningin op de 2de plek, in kolom 2 op de 4de plek, in kolom 3 op de 1ste plek en in kolom 4 op de 3de plek. Je geeft van links naar rechts de plek van de koningin aan in een rij getallen van 1 t/m 4, zonder herhaling. Dat heet een permutatie van 1 t/m 4.

Voor een bord van n x n geeft iedere permutatie van 1 t/m n een plaatsing van de koninginnen zodat ze elkaar niet horizontaal of verticaal bedreigen. Er zijn n! verschillende permutaties voor een n x n bord, dus bijvoorbeeld voor een schaakbord van 8 x 8 zijn er 8! = 40320 mogelijkheden.
Omdat de permutaties afvallen die twee koninginnen op dezelfde diagonaal opleveren, worden dit er veel minder, maar het is een boel rekenwerk om deze permutaties uit te sluiten.
Hiervoor zijn computerprogramma's geschreven die de permutaties doorzoeken gebaseerd op zoekalgoritmes en backtracking.

Wij beperken ons hier tot het vinden van een oplossing voor een bord van n x n met n ≥ 4.
Een manier om een oplossing voor een bord van n x n te vinden, gaat als volgt:
- begin met de rij van even getallen kleiner of gelijk aan n:
(2, 4, ….n) voor even n, en (2, 4, ….n-1) voor oneven n
- zet daarna de oneven getallen kleiner of gelijk aan n in volgorde erachter:
(1, 3, …. n) voor oneven n, en (1, 3, … n-1) voor even n
- vorm zo de permutatie:
P= (2, 4, …n, 1, 3, …, n-1) voor even n en P = (2, 4, … n-1, 1, 3, … n) voor oneven n
Het is niet handig om met de oneven getallen te beginnen, en daarna de even getallen, want dan krijg je (1, 1) en (n, n) op dezelfde diagonaal, dus een conflict, als n even is.
Voor oneven n krijg je de gespiegelde, en dus dezelfde oplossing.
Zo krijg je een kandidaat voor een oplossing voor plaatsen van n koninginnen op het n x n bord.
Met paardensprongen tussen naastgelegen koninginnen, behalve wanneer je bij rij 1 bent aangekomen.
Voor n = 8 krijg je als kandidaat oplossing: (2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7). Dit kan nog geen oplossing zijn in dit geval
want (2, 4) en (5, 1) liggen op dezelfde diagonaal. Maar lees vooral door.
We zullen laten zien dat als n geen veelvoud is van 6 met rest 2 of rest 3, dan bedreigen de koninginnen
elkaar niet diagonaal, en is P een oplossing voor het n x n bord.
Dit betekent dat we voor n = 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25,….
een oplossing hebben gevonden.
Eerst geven we de posities van de koninginnen gebaseerd op P wanneer n even is:
P geeft de posities {(p, 2p) voor 1≤ p ≤½n} en {( (½n) + m, 2m-1 ) voor 1≤ m ≤½n}.
Punten (x1, y1) en (x2, y2) liggen op diagonaal als x2 – x1 = y1 – y2.

Twee punten: (p, 2p) en ((½n) + m, 2m-1) liggen op een diagonaal als (½n) + m – p = 2p – 2m + 1.
Dit betekent dat (½n) = -3m + 3p +1, waaruit volgt: n = 6(p-m) + 2, en n is een veelvoud van 6 met rest 2.

Voor n = 8 geeft p = 2 en m = 1 dat (2, 4) en (5, 1) op een diagonaal liggen.
Voor alle even n ≥ 4 die geen veelvoud zijn van 6 met rest 2, geeft P een oplossing.

Voor oneven n is de redenering vergelijkbaar:
P geeft de posities {(p, 2p) voor 1≤ p ≤½(n-1)} gevolgd door {(½(n-1) + m, 2m-1 ) voor 1≤ m ≤½(n-1) + 1}.
Twee punten: (p, 2p) en (½(n-1) + m, 2m-1 ) liggen op een diagonaal als:
½(n-1) + m – p = 2p – (2m – 1). Dit betekent dat ½(n-1) = 3p – 3m + 1.
Hieruit volgt: n – 1 = 6(p-m) + 2 dus n = 6(p-m) + 3, en n is een veelvoud van 6 met rest 3.
Voor alle oneven n > 4 die geen veelvoud zijn van 6 met rest 3, geeft P een oplossing.
Voor een bord van 8 x 8 levert de manier waarop we voor 4, 5, 6, en 7 een oplossing kregen een conflict op.
Immers (2, 4, 6, 8, 1, 3, 5, 7) geeft twee punten op dezelfde diagonaal: (2, 4) en (5, 1).
Dit kan opgelost worden door de volgorde van de oneven getallen te veranderen in 3, 1, 7, 5. Je wisselt 1 en 3 om, en je zet 5 achteraan, anders wordt koningin in kolom 7 bedreigd door de koningin in kolom 5.
Dit geeft als oplossing: (2, 4, 6, 8, 3, 1, 7, 5).
Dit recept werkt voor alle n waarbij deling door 6 een rest oplevert van 2: wissel 1 en 3 om, en zet 5 achteraan.
In het geval dat n een veelvoud van 6 is met 3 als rest, zul je iets meer moeten corrigeren: verplaats 2 naar het eind van de even lijst,
en verplaats 1 en 3 naar het eind van de oneven lijst.
Voor n = 9 geeft dit als oplossing: (4, 6, 8, 5, 7, 9, 1, 3).

Naast het vinden van een oplossing is het ook interessant te zoeken naar alle mogelijke oplossingen. Dit kan door een computerprogramma te schrijven dat alle permutaties systematisch doorzoekt, en ze goedkeurt als er geen diagonaal-conflict is.
Er zijn 12 fundamenteel verschillende oplossingen van het probleem (rotatie en reflectie niet meegeteld)
op een schaakbord van 8 x 8.

Dit en meer staat in:
https://gaz.wiki/wiki/nl/Eight_queens_puzzle

Voor de volgende tip verlaten we het schaakspel, en gaan we het hebben over de gulden snede. De gulden snede is de verhouding a/b van een lijnstuk dat verdeeld is in een kort stuk b en een lang stuk a, zo dat de verhouding van a tot b gelijk is aan de verhouding van de totale lengte tot a. Dus a : b = (a+b) : a. Hieruit kun je berekenen dat a : b ongeveer gelijk is aan 1,618. Deze verhouding is het gulden getal ҩ (phi).

Opgave: construeer de gulden snede met passer en lineaal, en probeer een gulden spiraal te maken.
Hier komen we in tip 7 uitgebreid op terug.

Gratis abonneren op deze nieuwsbrief kan eenvoudig op de website: www.tinekespelenmetwiskunde.nl
Of stuur me een mailtje: [email protected] dan krijg je een bevestigingsmail, en na je
bevestiging kom je op de mailinglist van de nieuwsbrief.