Matemática do zero com Valdimar Saize

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Estudo completo da função :f(x)=x⁴-(9x²/4)

a) Domínio da função

Df: x∈R✔️

b)zeros da função:

x⁴-(9x²/4)=0

x²(x²-9/4)=0

x²=0 v x²-9/4=0

x=±√(0) v x²=9/4

x=0 v x=±√(9/4)

x=±3/2

x₁=-3/2 v x₂=3/2

Zeros da função:-3/2;0 e 3/2 ✔️

C) Ordenada na origem:

f(x)=x⁴-(9x²/4)

f(0)=0⁴-(9•0²)/4

f(0)=0-0/4

f(0)=0✔️

D) Equação das Assimptotas: Uma função polinomial não possue Assimptotas.✔️

e) Paridade:

Vamos verificar se é par.

É par se: f(x)=f(-x)

x⁴-(9x²/4)=(-x)⁴-(9•(-x)²)/4

x⁴-(9x²/4)=x⁴-(9x²/4)

Logo ,a função é par.✔️

f) Extremos relativos(Máximo e mínimo)

f(x)=x⁴-(9x²/4)

Para determinarmos os extremos relativos ,temos que achar a primeira derivada da função,igualar o resultado da primeira derivada a zero e depois resolver a equação.

f(x)=x⁴-(9x²/4)

f'(x)=x⁴'-(9x²/4)'

f'(x)=4x³-[(9x²'•4-9x²•4')]/4²

f'(x)=4x³-(18x•4-9x²•0)/16

f'(x)=4x³-(18x•4)/16

f'(x)=4x³-(18x/4)

f'(x)=4x³-(9x/2)

Se f'(x)=0

4x³-(9x/2)=0

x(4x²-9/2)=0

x₃=0 v 4x²-9/2=0

4x²=9/2

4x²•2=9

8x²=9

Dividir ambos membros por 8

8x²/8=9/8

x²=9/8

x=±√(9/8)

x=±3/√(8)

x=±3√(8)/8

x=±3•2√(2)/8

x=±3√(2)/4

x₁=-3√(2)/4

x₂=3√(2)/4

Para achar os extremos relativos temos que substituir às raízes da primeira derivada na função original

f(x)=x⁴-(9x²/4)

f(3√(2)/4)=(-3√(2)/4)⁴-[9•(3√(2)/4)²]/4

f(3√(2)/4)=

=(81/64)-(81/32)

f(3√(2)/4)=-81/64

f(-3√(2)/4)=-81/64

f(0)=0⁴-(9•0²)/4

f(0)=0

Mín(±3√(2)/4);-81/64)

Máx(0;0)✔️

g)Intervalos de monotonia

De ]-∞;-3√(2)/4[ U ]0;3√(2)/4[,decresce

De ]-3√(2)/4;0[ U]3√(2)/4;+∞[ ,cresce ✔️

h) Sentido da concavidade

Temos que achar a segunda derivada da função original,igualar a zero e resolver a equação

f(x)=x⁴-(9x²/4)

f'(x)=4x³-(9x/2)

f''(x)=(4x³)'-(9x/2)'

f''(x)=12x²-[(9x'•2-9x•2')]/2²

f''(x)=12x²-(18-9x•0)/4

f''(x)=12x²-(18/4)

f''(x)=12x²-9/2

se f"(x)=0

12x²-9/2=0

12x²=9/2

12x²•2=9

24x²=9

Dividindo ambos membros por 24

(24x²)/24=9/24

x²=9/24

x=±√(9/24)

x=±3/√(24)

x=±3√(24)/24

x=±3•2√(6)/24

x=±√(6)/4

x₁=-√(6)/4 v x₂=√(6)/4


O gráfico tem :

•a concavidade é virada para cima em ]-∞;-√(6)/4[U]√(6)/4;+∞[

•a Concavidade virada para cima em ]-√(6)/4;√(6)/4[

I) Pontos de Inflexão:

Temos que substituir os zeros da segunda derivada na função original

f(x)=x⁴-(9x²/4)

f(±√(6)/4)=(±√(6)/4)⁴-(9•(±√(6/4))²/4

f(±√(6)/4)=(36/256)-(9•(6/16)/4

f(±√(6/4)=(36/256)-(27/32)

f(±√(6)/4)=(-45/64)✔️

PI: (-√(6)/4;-45/64) e (√(6)/4;-45/64)

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