Sekolah ini diwujudkan pada tahun 1970. Pada awal penubuhannya, sekolah ini sebenarnya tidak mempunyai bangunan sendiri, sebaliknya hanya menumpang di SRJK(C) Cheng Ming, Sandakan sehingga tahun 1971. Pada tahun 1972, bangunan sendiri SK.Sungai Anib telah dibina atas usaha dan cadangan Encik Mohd. Aslie bin Luttah yang ketika itu merupakan Pegawai Pendidikan Bahagian Sandakan. Menurut kajian sejarah oleh Encik Mohd.Aslie bin Luttah nama sekolah ini adalah berasal daripada nama sebatang anak sungai yang mengalir di tepi kawasan sekolah yang dinamakan Sungai Anib. Sungai Anib berasal daripada bahasa Suluk ‘Maganib’ yang bererti sungai tempat bersembunyi. Bersembunyi di sini bermaksud sungai ini telah dijadikan tempat orang bersembunyi ketika lanun-lanun datang menyerang Sandakan suatu masa dahulu. Pada masa lalu, kawasan ini juga terkenal sebagai kawasan tempat 'pengait' (pemotong kepala). Kawasan ini juga merupakan tempat menjalankan hukuman pancung ke atas orang yang didapati bersalah. Bangunan baru sekolah yang pertama telah siap dibina pada pertengahan tahun 1972. Ia mempunyai dua buah bilik darjah dan sebuah bilik pentadbiran. Pada 8 Ogos 1972, sekolah ini telah digunakan secara rasmi dengan bilangan muridnya 14 orang dan 3 orang guru sahaja. Dalam tempoh dua tahun sahaja, bilangan murid telah meningkat kepada 1101 orang dan pertambahan tenaga pengajar seramai 36 orang. Oleh sebab bilik darjah yang ada hanya dapat menampung 7 buah kelas, 17 buah kelas yang lain telah ditumpangkan di SRJK(C) Cheng Ming. Kekurangan bilik darjah ini telah dapat diatasi dengan terbinanya sebuah bangunan konkrit pada tahun 1979. Bangunan 3 tingkat ini mengandungi 12 buah bilik darjah. Pada tahun yang sama, kelas yang menumpang di SRJK(C) Cheng Min telah ditempatkan semula di SK. Sungai Anib. Pada tahun 1980, dua buah bangunan rumah pangsa empat tingkat telah dibina untuk kediaman guru-guru. Pada tahun 1984, Jabatan Pendidikan Sabah telah membina empat buah bangunan projek kilat bagi menampung pertambahan pesat murid-murid namun masih juga tidak mencukupi. Pada tahun 1984/1985 sebuah lagi bangunan konkrit 3 tingkat yang mengandungi 18 buah bilik untuk pengajaran dan pembelajaran, pentadbiran dan stor telah siap dibina. Bangunan ini dibiayai oleh UNHCR(United Nation High Commissioner for Refugees). Pada tahun 1990, pentadbiran sekolah ini telah dibahagi kepada dua pentadbiran iaitu SK.Sungai Anib 1 pada sesi pagi manakala SK. Sungai Anib 2 pada sesi petang. Usaha ini adalah bagi melancarkan lagi pengurusan pentadbiran sekolah. Pada tahun 1997 sekali berlaku perubahan di mana SK. Sungai Anib 1 dan SK. Sungai Anib 2 telah dibahagikan kepada kawasan tertentu dengan masing-masing menjalankan proses pengajaran dan pembelajaran serta pentadbiran mengikut sesi pengajaran masing-masing. Meskipun pada satu ketika jumlah bilangan pelajar SK. Sungai Anib 1 hampir mencecah 1400 orang, faktor persekitaran di samping peraturan baru ke atas pelajar warga asing yang telah ditetapkan oleh Kementerian Pendidikan telah mengubah senario ini. Pengurusan pentadbiran serta penyusunan semula bilangan murid dalam kelas juga turut mempengaruhi keadaan ini. Sehingga kini bilangan terkini pelajar ialah kira-kira 1164 orang, sementara jumlah tenaga pengajar ialah 50 orang termasuk Guru Besar, 3 orang Penolong Kanan dan seorang Penyelia Petang di samping 7 orang KTBM.
