Luminous - Maths Zone, Between 50th & 51st Streets, Manawhari St, Mandalay (2026)

18/08/2026

Trigonometry သည် အထက်တန်းသင်္ချာတွင် အရေးပါသော အခန်းကဏ္ဍတစ်ခုကို ပိုင်ဆိုင်ထားသည့် ဘာသာရပ်တစ်ခုဖြစ်သည်။ အထူးသဖြင့် Grade 10 အဆင့်မှစ၍ Grade 11 အထိ ကြုံတွေ့ရသော Trigonometry ၏ အခြေခံ Definition များနှင့် Concept များ၊ Trigonometric Ratio များ၊ Identity များနှင့် Formula များကို နားလည်အသုံးချနိုင်ခြင်းသည် Grade 12 အတွက် မရှိမဖြစ်လိုအပ်သော အခြေခံတစ်ရပ် ဖြစ်လာသည်။

သို့သော် လက်တွေ့တွင် ကျောင်းသားအများအပြားသည် Trigonometry ကို လေ့လာရာ၌ အခြေခံအကြောင်းအရာများကို သေချာစွာ နားလည်မထားဘဲ Formula များကိုသာ မှတ်သားအသုံးပြုရသည့် အခြေအနေမျိုးနှင့် ကြုံတွေ့ရတတ်ပါသည်။ အတန်းကျော်လာခြင်း၊ သင်ယူရမည့် အခြေခံအကြောင်းအရာအချို့ကို ပြည့်စုံစွာ မလေ့လာခဲ့ရခြင်းတို့ကြောင့် Trigonometry ၏ အခြေခံ Concept များ မခိုင်မာဘဲ Grade 12 သို့ ရောက်ရှိလာသည့် ကျောင်းသားများလည်း မနည်းလှပါ။

ထိုသို့သော အခြေအနေတွင် “ဘယ် Formula သုံးရမလဲ” ဟူသော မေးခွန်းထက် “ဒီ Formula က ဘယ်ကနေ ပေါ်လာတာလဲ”၊ “ဘာကြောင့် ဒီလိုဖြစ်တာလဲ” နှင့် “ဘယ်လိုအခြေအနေမှာ အသုံးချရမလဲ” ဟူသော မေးခွန်းများကို နားလည်နိုင်ရန် ပိုမိုအရေးကြီးသည်ဟု ယုံကြည်မိပါသည်။

ထို့ကြောင့် အထက်တန်းကျောင်းသားများအတွက် လိုအပ်သော Trigonometry အခြေခံများကို A မှ Z အထိ စနစ်တကျ ပြန်လည်တည်ဆောက်ပေးနိုင်ရန် ရည်ရွယ်၍ Basic Trigonometry for High School Students စာအုပ်ကို ရေးသားပြုစုဖို့ အကြောင်းဖန်လာပါတော့သည်။

ဤစာအုပ်တွင် Trigonometry ၏ အခြေခံ Definitions နှင့် Concepts များမှစ၍ Identities နှင့် Formula များ၊ ထို Formula များ၏ Derivation များအထိ အဆင့်ဆင့် ရှင်းလင်းဖော်ပြထားသည်။ Formula များကို အလွတ်ကျက်မှတ်ရုံသာမက ထို Formula များ မည်သို့ရရှိလာသည်၊ အဘယ်ကြောင့် မှန်ကန်သည်နှင့် မည်သို့အသုံးချနိုင်သည်တို့ကို နားလည်နိုင်စေရန် အထူးအလေးထားထားပါသည်။

ရည်ရွယ်ချက်မှာ Trigonometry နှင့် ပတ်သက်၍ အထက်တန်းကျောင်းသားတစ်ဦးအနေဖြင့် သိထားသင့်သော အခြေခံအကြောင်းအရာများကို တစ်နေရာတည်းတွင် ပြည့်ပြည့်စုံစုံ လေ့လာနိုင်စေရန် ဖြစ်ပါသည်။ ထို့အပြင် အခြေခံအားနည်းနေသည့် ကျောင်းသားများအတွက် အခြေခံကို ပြန်လည်တည်ဆောက်ပေးနိုင်သကဲ့သို့၊ အခြေခံရှိပြီးသား ကျောင်းသားများနှင့် ဝမ်းစာဖြည့်တင်းလိုသော ဆရာ၊ ဆရာမများအတွက်လည်း မိမိသိထားသည့် အကြောင်းအရာများကို ပိုမိုနက်ရှိုင်းစွာ နားလည်စေရန် အထောက်အကူပြုနိုင်မည်ဟု မျှော်လင့်ပါသည်။

ဤစာအုပ်ကို လေ့လာပြီးသည့်အခါ Trigonometry သည် Formula များကိုသာ မှတ်သားအသုံးချရသော ဘာသာရပ်တစ်ခုအဖြစ်မဟုတ်ဘဲ အကြောင်းရင်းနှင့် အဓိပ္ပာယ်ကို နားလည်၍ ဆင်ခြင်အသုံးချနိုင်သော သင်္ချာဘာသာရပ်တစ်ခု အဖြစ် မြင်လာနိုင်ကြမည်ဟု ယုံကြည်မိသည်။

အထက်တန်းကျောင်းသားများ၏ Trigonometry အခြေခံကို ပိုမိုခိုင်မာစေပြီး ခိုင်ခံ့သော အခြေခံအုတ်မြစ်တစ်ခု ဖြစ်လာစေရန် ဤစာအုပ်က တစ်စိတ်တစ်ပိုင်းတစ်ရပ်အဖြစ် အထောက်အကူပြုနိုင်ပါစေကြောင်း ဆုမွန်ကောင်း တောင်းအပ်ပါသည်။

စာရေးသူ
ဦးဝေယံဖြိုး

မကြာမီ လာမည် ... မျှော်

17/08/2026

Volume 1 အုပ်ရေ 1000
ထပ်ရောက်ထားပါတယ်။

ဒါပြီးရင် အချိန်အတော်ကြာမှ ထပ်ထုတ်ဖြစ်တော့မှာမို့

မိတ်ဆွေစာအုပ်ဆိုင်များအနေနဲ့ ယူမယ့်အရေအတွက်လေးကို အမြန်လာပြောပေးကြပါခင်ဗျာ။

16/08/2026

ဆရာကြီး ဦးကျော်ဆွေ ရဲ့ မေးခွန်းကို

ဆရာကြီး ဦးမောင်မောင်ဌေးက
Auxiliary Angle Method နဲ့ တွက်ပြထားပါတယ်။

ကျနော်လည်း စမ်းကြည့်ဖို့ စိတ်ကူးပေါ်လာတာရယ်၊ ဆန်းသစ်ချင်တာရယ်ကြောင့်

Method 1 အဖြစ်
Cauchy-Schwarz Inequlity

Method 2 အဖြစ်
Dot Product of Vectors တို့ကို အသုံးချကာ

တွက်ပြလိုက်ပါတယ်။

သင်္ချာဟာ သိပ်ကိုလှပပြီး အနှောင်အဖွဲ့ကင်းလေရဲ့။

13/08/2026

No.11 ဟာ တိကျမှု မရှိတဲ့မေးခွန်းပါ။

မေးခွန်းမှာပါသော symbol တွေဟာ well-defined မဖြစ်ပါ။

omega တွေကို roots တွေရယ်လို့ အလိုလို ဖြည့်တွေးရမှာဖြစ်ပါတယ်။

ဒါ့အပြင် omega 0 မှ omega k အထိ ပေါင်းလဒ် [sum of (k+1)th roots] ကို လိုချင်သော်လည်း ဘယ် number ရဲ့ roots တွေလဲဆိုတာကို ထည့်သွင်းဖော်ပြမထားပါ။

မေးခွန်းတစ်ခုမှာ ကျောင်းသားက မေးသူရဲ့ intended meaning ကို ဖြည့်တွေးပြီးမှ ဖြေရတာ မဖြစ်သင့်ပါဘူး။

13/08/2026

Solve x^2 + 2x + 5 = 0.

ဒီမေးခွန်းကို

Find all the solutions of x^2 + 2x + 5 = 0.
Find all roots of x^2 + 2x + 5 = 0.
Find all zeros of the polynomial x^2 + 2x + 5.

ဒီလိုပြောင်းပြီး မေးလို့ရကြောင်း ပြောထားရတယ်။

ဒီအထဲမှာ
Find all zeros ကတော့ နည်းနည်း စိမ်းသလို ဖြစ်နေတာပေါ့လေ။

11/08/2026

Stay tuned, learners

11/08/2026

ရေတွက်ခြင်းအနုပညာကို အလှပဆုံးဖော်ကျူးဖို့

ဒီစာအုပ်လေး တတိယအကြိမ်မြောက် ထွက်ရှိလာပါပြီ။

10/08/2026

Chapter 5 အတွက် သိထားသင့်သော

Stars and Bars Method

In how many ways can 8 identical books be distributed among 3 students?

စာအုပ် 8 အုပ် = ⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐⭐

၄င်းစာအုပ်များကို အုပ်စု 3 အုပ်စုခွဲပေးနိုင်ရန် bars 2 ချောင်း
= ⬆️⬆️

ဥပမာ

⭐⭐⭐⬆️⭐⭐⭐⬆️⭐⭐

Bars 2 ချောင်းကို နေရာအမျိုးမျိုးထားကြည့်ပါ။ Bars 2 ချောင်းကို ထားနိုင်တဲ့နည်းလမ်းအရေအတွက်ဟာ ကျောင်းသား 3 ယောက်ကို စာအုပ် 8 အုပ် ခွဲဝေပေးနိုင်မယ့် နည်းလမ်းအရေအတွက်နှင့် အတူတူပဲဆိုတာ သတိပြုမိလာပါလိမ့်မယ်။

Stars 8 လုံးနှင့် bars 2 ချောင်းအတွက် စုစုပေါင်း positions = 10 ခု

၄င်း positions 10 ခုအနက် bars 2 ချောင်းအတွက် positions 2 ခုရွေးနိုင်သည့်နည်းလမ်းအရေအတွက်
= 10C2
= 45

သို့မဟုတ်

Stars 8 လုံးနှင့် bars 2 ချောင်း (စုစုပေါင်း items 10ခု) ကို arrange လုပ်နိုင်သည့်နည်းလမ်းအရေအတွက်
= 10! / (8! × 2!)
= 45

ဥပမာ

⭐⬆️⭐⭐⭐⬆️⭐⭐⭐⭐

အထက်ပါ distribution သည် ပထမကျောင်းသား စာအုပ် 1အုပ်ရခြင်း၊ ဒုတိယကျောင်းသား စာအုပ် 3 အုပ်ရခြင်းနှင့် နောက်ဆုံးကျောင်းသား စာအုပ် 4 အုပ်ရခြင်းကို ရည်ညွှန်းသည်။

အထက်ပါစဥ်းစားနည်းကို Stars and Bars Method ဟု ခေါ်၏။

09/08/2026

သတိမမူ ဂူမမြင်ဘဲ၊ သတိမူက မြူပါမြင်၏။

မေးခွန်း

Find the range of f(x) = x^2 e^x.

တွေးပုံ၊ တွက်ပုံ၊ ယူဆပုံ

ဒီပုစ္ဆာမှာ range ရှာဖို့ critical points များကို ရှာကြည့်တဲ့အခါ x = -2 နဲ့ x = 0 ဆိုပြီး နှစ်မှတ် ထွက်လာတယ်။

၄င်းတို့အတွက် သက်ဆိုင်ရာ y - coordinate များဟာ

f(-2) = 4 / e^2
f(0) = 0

ဖြစ်ပါတယ်။

ထို့နောက် အထက်ပါ critical points များကို second derivative test ဖြင့် classify လုပ်ကြည့်တဲ့အခါ

f"(-2) < 0 နဲ့ f"(0) > 0 ဖြစ်တာကို တွေ့ရပါမယ်။

f'(-2) = 0 ဖြစ်ပြီး f"(-2) 0 ဖြစ်တာကြောင့် the function f is increasing on x < -2.

-2 < x < 0 မှာ f'(x) < 0 ဖြစ်လေရာ function f is decreasing on -2 < x < 0.

တစ်ဖန် x > 0 မှာတော့ f'(x) > 0 ဖြစ်သောကြောင့် the function f is increasing on x > 0.

x = -2 မှာ f'(x) ရဲ့ လက္ခဏာဟာ အပေါင်းမှ အနုတ်သို့ ပြောင်းသွားသောကြောင့် x = -2 မှာ local maximum ရှိနေတာ အသေအချာဖြစ်သလို

x = 0 မှာ f'(x) ရဲ့ လက္ခဏာဟာ အနုတ်မှ အပေါင်းသို့ ပြောင်းသွားသောကြောင့် x = 0 မှာတော့ local minimum ရှိနေတာ အသေအချာပါ။

သို့သော် x = -2 မှစ၍ x သည် negative infinity သို့ရောက်သွားလေလေ y သည် 0 အနားသို့ တဖြည်းဖြည်းချဥ်းကပ်သွားလေလေ ဖြစ်သည်။

အဓိပ္ပာယ်မှာ

f(x) တွင် (0,0) မှလွဲ၍ တခြားသော minimum point မရှိဘဲ f(x) ရဲ့ minimum value သည် 0 ဖြစ်သည်။

x = 0 မှစ၍ x သည် positive infinity သို့ ရောက်သွားလေလေ y သည်လည်း positive infinity သို့ အဆုံးအစမရှိ ဆက်သွားသည်ကို တွေ့ရသည်။

ဆိုလိုသည်မှာ

f(x) တွင် maximum value မရှိ (upper bound မရှိပေ)။

ထို့ကြောင့် f(x) = x^2 e^x ၏ range သည်
{ y | y >= 0 } ဖြစ်သည်။

သေချာမစဥ်းစားရင် မှားနိုင်တဲ့အပုဒ်ပါ။
Local maximum at x = -2 ကိုကြည့်ပြီး range ကို အမှတ်မှားတတ်ပါတယ်။ x > 0 မှာ f(x) ဟာ + infinity သို့ အဆုံးမရှိရောက်သွားသောကြောင့် upper bound လုံးဝမရှိတော့တာကို သတိထားမိရပါမယ်။ ဒါကြောင့် ဒီလိုအပုဒ်မျိုးဟာ local minimum နဲ့ local maximum သိရုံနဲ့တင်မလုံလောက်တော့ဘဲ lower bound နဲ့ upper bound ရှိမရှိပါ ထပ်ကြည့်ရပါတော့တယ်။ ဒီပုစ္ဆာမှာတော့ x=-2 မှာ local maximum ရှိပေမယ့် အဲ့ဒီ local maximum ဟာ upper bound မဟုတ်သလို curve တစ်ခုလုံးမှာ upper bound မရှိဘဲ lower bound သာရှိတယ်ဆိုတဲ့သဘောဆောင်သည့် စာသားမျိုးထည့်ရေးပေးမှသာ သူ့အရပ်နဲ့ သူ့ဇာတ်ကိုက်မှာပါ။

အဖြေအမှန်ရဖို့တစ်ခုတည်းဆိုလျှင် ဒီလိုလည်း အမြန်စဥ်းစားနိုင်ပါတယ်။

When x = 0,

x^2 = 0 and e^x = 1
x^2 e^x = 0

When x is not equal to 0,

x^2 > 0 and e^x >0
x^2 e^x > 0.

ထို့ကြောင့်

The range of f(x) = x^2 e^x is

{ y | y > = 0 }.

07/08/2026

ဒီစာအုပ်လေး ပြန်ရပါပြီ။

အုပ်ရေ ၁၀၀၀ ပဲ ထပ်ထုတ်ထားပါတယ်။

Luminous - Maths Zone

18/08/2026

17/08/2026

16/08/2026

13/08/2026

13/08/2026

11/08/2026

11/08/2026

10/08/2026

09/08/2026

07/08/2026

Address

Telephone

Website

Alerts

Shortcuts

Share

Category

Listing takedown request