Luminous - Maths Zone

ငလျင်ကြီးကြောင့် ပြန်ဖြေခဲ့ရတဲ့ ကလေးများအတွက်
ရတဲ့အချိန်လေးမှာ ရသလောက် မောင်းတင်ခဲ့စဥ်က

Quadratic equation ax^2 + bx + c = 0 ကို
ဖြေရှင်းကြတဲ့အခါ

discriminant (b^2 - 4ac) ရဲ့ role

(1) b^2 - 4ac > 0 ဖြစ်လျှင် two real roots

(2) b^2 - 4ac = 0 ဖြစ်လျှင် only one real root

(3) b^2 - 4ac < 0 ဖြစ်လျှင် two complex solutions ဖြစ်ပြီး အဲ့ဒီ complex solutions နှစ်ခုက အပြန်အလှန် conjugates တွေ ဖြစ်ကြတယ်။

ဒါ့အပြင်

ax^2 + bx + c = 0 ကို ဖြေရှင်းလို့ ရလာတဲ့ roots တွေဟာ x = r1 နဲ့ x = r2 ဖြစ်တယ် ဆိုကြပါစို့။

ဒါဆိုရင်

ax^2 + bx + c = a (x-r1) (x-r2) ဖြစ်ပါလိမ့်မယ်။

သဘောက ax^2 + bx + c ကို factorize လုပ်တဲ့အခါ ရရှိလာတဲ့ factors တွေဟာ a(x-r1) နဲ့ (x-r2) ၊ သို့မဟုတ် (x-r1) နဲ့ a(x-r2) ဖြစ်ပါမယ်။

ဆိုတော့

ax^2 + bx + c = 0
a (x - r1) (x - r2) = 0
a (x^2 - x r2 - x r1 + r1 r2) = 0
a (x^2 - (r1 + r2)x + r1 r2)) = 0
ax^2 - a (r1 + r2) x + a r1 r2 = 0

နောက်ဆုံးရလာတဲ့ equation ကို

ax^2 + bx + c = 0 နဲ့ ပြန်ပြီး compare လုပ်ကြည့်တဲ့အခါ

-a (r1 + r2) = b နဲ့ a r1 r2 = c

ဒါကြောင့်

r1 + r2 = -b/a နဲ့ r1 r2 = c/a

ဆိုရရင်

roots တွေရဲ့

ပေါင်းလဒ် = - b/a
မြှောက်လဒ် = c/a ဖြစ်ပါတယ်။

ဒီအချက်ကို သိထားရင် အောက်ကလို မေးခွန်းတွေကို အလွယ်တကူ ဖြေရှင်းနိုင်သွားပါလိမ့်မယ်။

စာအုပ်အသစ်အတွက် 35% ပြီးစီး။

ထွက်သမျှစာအုပ်တွေထဲမှာ
သင်ထောက်ကူ ပုံ အများဆုံး စာအုပ်အဖြစ်
မျှော်လင့်ထား။

ဒါ့အပြင်

အချက်အလက်အစုံလင်ဆုံး စာအုပ်အဖြစ်လည်း
ရည်မှန်းထား။

စာမြည်းကိုတော့ အနားနီးမှ အဝတီးကြဗျာ။

အဓိကဇာတ်ကောင်ကို မေ့မထားသင့်။

အမှတ်တစ်မှတ်နဲ့ plane တစ်ခုကြား အကွာအဝေး၊

parallel planes နှစ်ခုကြား အကွာအဝေး၊

skew lines နှစ်ကြောင်းကြား အတိုဆုံးအကွာအဝေး၊

ဒါတွေအားလုံးကို သိထားသင့်ပါတယ်။ Shortcut တစ်ခုအနေနဲ့ ကျက်မှတ်ထားတာမျိုးမဟုတ်ဘဲ ပုံသေနည်းကို ကိုယ်တိုင် derive လုပ်နိုင်တဲ့အထိ သိထားရင် ပိုကောင်းပါတယ်။

ဒီအတွက် projection ဟာ အဓိက ဇာတ်ကောင်ပါ။ Projection ကိုသာ သိနားလည်ထားရင် အပေါ်မှာပြောခဲ့တဲ့ formula အားလုံးကို ခဏလေးအတွင်း လွယ်ကူစွာ တွက်ထုတ်နိုင်ပါလိမ့်မယ်။

အောက်မှာ နမူနာအဖြစ် အမှတ်တစ်မှတ်နဲ့ plane တစ်ခုကြားက အကွာအဝေးကို derive လုပ်ပြထားပါတယ်။ လေ့လာကြည့်ကြပါခင်ဗျာ။

Let A(x0, y0, z0) is a point on the plane ax+by+cz = d with normal vector n=(a b c).

Point B (not on the plane) be (x1, y1, z1).

vector AB = (x1-x0 y1-y0 z1-z0)

AB•n = a(x1-x0) + b(y1-y0) + c (z1-z0)
= ​ax1 - ax0 + by1-by0 + cz1 - cz0
= ax1 + by1 + cz1 - (ax0+by0+cz0)
= ax1+by1+cz1 - d

The distance D from point B to the plane is
the absolute value of the scalar projection of AB onto n.

D = || AB • n || / |n|
= || ax1+by1+cz1 - d|| / |n|

ဥပမာ၊ အမှတ် (1,2,3) မှ plane 3x-y+z=1 အထိ အကွာအဝေးသည်

D = ||(3)(1) + (-1)(2) + (1)(3)-1|| / (sqrt of 11)
= 3 / sqrt of 11

ကျေးဇူးတင်လွှာ

စာအုပ်ထုတ်ဖို့ အတင်းတိုက်တွန်း​ခဲ့ပြီး စာအုပ်ထုတ်ဝေရာမှာလည်း အစွမ်းကုန် ကူညီပေးခဲ့ပါသော ကျွန်တော့်ရဲ့ ချစ်ဇနီး Ju Lay

ပထမဆုံးစာအုပ်လေး ဖြစ်လာဖို့ အကောင်းဆုံးပုံနှိပ်ပေးပါသော ဟန်သစ် ပုံနှိပ်တိုက်

စာအုပ်ဖြန့်ချီရာတွင် အစအဆုံး ကူညီပေးပါသော ဆရာ D.Mo

စာအုပ်များကို ကူညီဖြန့်ဖြူးရောင်းချပေးပါသော အမြို့မြို့အနယ်နယ်က စာအုပ်၊ စာပေ အရောင်းဆိုင်ကြီးများ

ကျွန်တော့်ရဲ့စာအုပ်လေးအပေါ်မှာ အကောင်းဆုံးမှတ်ချက်များ ပေးခဲ့ပါသော ဆရာ Nyo Maung ၊ ဆရာ Aung Kyaw Myo တို့နှင့်တကွ တခြားသော ဆရာ၊ ဆရာမများ

Social Media ​ပေါ်မှာ Grade 12 သင်္ချာအတွက် ဘယ်အထူးထုတ်ဝယ်ရမလဲဆိုတဲ့ မေးခွန်းတိုင်းကို ဦးဝေယံဖြိုး စာအုပ်ကိုသာ ဝယ်ပါလို့ တိုက်တွန်းကြသည့်အပြင် ကျွန်တော့်ရဲ့စာအုပ်များအပေါ်မှာ အားရစရာ မှတ်ချက်များ ပေးခဲ့ကြပါသော ကျောင်းသား၊ ကျောင်းသူများ

အားလုံးကို အထူးပင် ကျေးဇူးတင်ရှိပါကြောင်းနဲ့

ကျွန်တော့်လို လူမသိ သူမသိ အညတရ ဆရာတစ်ယောက်ကို ဦးဝေယံဖြိုးရယ်လို့ လူသိ သူသိ အညတရဖြစ်အောင် ကူညီပေးခဲ့ကြပါသော

ကျေးဇူးတင်ထိုက်သူအားလုံးကို

ရင်ဘတ်ကြီးထဲက ကျေးဇူးတင်ပါသည်ခင်ဗျာ။

Skew lines နှစ်ကြောင်းကြားက အတိုဆုံးအကွာအဝေး

ဒါကိုရှာဖို့

projection ကို သိထားရင် အကောင်းဆုံးပေါ့လေ။

Shortest distance between two skew lines is actually the length of the projection of vector connecting fixed points on the lines onto the vector perpendicular to both direction vectors of the lines.

d = || AB • (d1 × d2) || / |d1 × d2|

Derivation ကိုတော့ စာအုပ်ထွက်မှ လှလှပပ ရှုစားကြဗျာ။

၅ မှတ်တန်ပုစ္ဆာတစ်ပုဒ်ကို စက္ကန့် (၃၀-၆၀) အတွင်း

အဖြေမှန်ရအောင် တွက်နည်း

ဒီလို မြန်ဆန်ထိရောက်စွာ ပုစ္ဆာတစ်ပုဒ်ကို ချဥ်းကပ်နိုင်စေမယ့် နည်းလမ်းတွေကို

မကြာခင်ထွက်ရှိမယ့် စာအုပ်အသစ်ထဲမှာ

ရှာတွေ့နိုင်ပါတယ်။

စကားပြောသော ပုံတစ်ပုံ သို့မဟုတ်

အနားပြိုင်စတုဂံ၏ area ရှာပုံတော်

Non-parallel side vectors နှစ်ခုကို cross product လုပ်ပြီး magnitude ရှာ၍ ရရှိလာသော parallelogram ၏ area သည်

side vector တစ်ခုနှင့် diagonal vector တစ်ခုတို့၏ cross product လုပ်ပြီး magnitudr ရှာ၍ ရရှိလာသော ရှာပြီး parallelogram ၏ area နှင့် အတူတူသာ ဖြစ်သည်။

Geometrical ရှုမြင်မှု။

Non-parallel side vectors နှစ်ခုနဲ့ define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram နဲ့

side vector နှင့် diagonal vector တို့ဖြင့် define လုပ်ထားသော parallelogram တို့သည် base လည်းတူ၊ altitude (height) လည်း တူသည်။

Vectors များဖြင့် သက်သေပြခြင်း။

AB×BC = zero vector + (AB×BC)
= (AB×AB) + (AB×BC)
= AB × (AB+BC)
= AB×AC

ထို့ကြောင့်

Area of a parallelogram ABCD is

|AB×BC| = |AB×AC|

ထို့အပြင် diagonoal vectors နှစ်ခု၏ cross product ကိုရှာပြီး ထို cross product ၏ magnitude ကို တစ်ဝက် ဝက်လိုက်လျှင်လည်း parallelogram ABCD ၏ area ကို ရရှိစေသည်။

AC×BD
= (AB+BC) × (BC+CD)
= (AB×BC)+(AB×CD)+(BC×BC)+(BC×CD)
= (AB×BC) + (BC×CD)
= (AB×BC) - (CD×BC)
= (AB×BC) + (DC×BC)
= (AB×BC) + (AB×BC)
= 2 (AB×BC)

|AC×BD| = 2 |AB×BC|
|AB×BC| = (1/2) |AC×BD|

ထို့ကြောင့်

Area of the parallelogram ABCD is

|AB×BC| = (1/2) |AC×BD|

အောက်ကပုံကို ကြည့်ပါ။

ABCD ဟာ vectors AB နဲ့ BC တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဖြစ်ပြီး

ACFD ကတော့ vectors AC နဲ့ AD တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဖြစ်ပါတယ်။

ဒီနေရာမှာ ABCD နဲ့ ACFD တို့ဟာ အခြေတူ၊ အမြင့်တူ parallelogram တွေ ဖြစ်ကြလို့ သူတို့ရဲ့ area တွေလည်း တူကြပါတယ်။

နောက်

ABCD ရဲ့ diagonal vectors တွေဖြစ်ကြတဲ့ vectors AC နဲ့ BD တို့က define လုပ်ထားတဲ့ parallelogram ဟာ BHFD ဖြစ်ပါတယ်။

အဲ့ဒီ parallelogram BHFD ရဲ့ area ကို တစ်ဝက် ဝက်လိုက်ရင် parallelogram BIJD ရဲ့ area ကို ရရှိစေပြီး အဲ့ဒီ area ဟာ ABCD ၊ ACFD တို့ရဲ့ area နဲ့ အတူတူပဲ ဖြစ်ပါတယ်။

ခက်တာကိုမှ ကြိုက်တယ်ဆိုသူများအတွက်

Permutations & Combinations စာအုပ်ထဲက final boss ဖြစ်တဲ့

miscellaneous & challenging problems (၅၅)ပုဒ်ကို တင်ပေးလိုက်ပါတယ်။

ခေါင်းစားလိုက်ကြပါဦး။

Vol 1 ရော Vol 2 ပါ ပြန်ရပါပြီခင်ဗျာ။

Vol 1 က 3rd edition ဖြစ်ပြီး
Vol 2 က 2nd edition ပါ။

တစ်နှစ်ကျော်အတွင်း အုပ်ရေ 18000 ရောင်းချခဲ့ပြီး

ကျောင်းသားများနှင့် ဆရာ၊ ဆရာမများရဲ့ အကောင်းဆုံးမှတ်ချက်တွေ ရထားတဲ့ စာအုပ်တွေဆိုရင်လည်း မမှားပါ။

အတွဲပြဿနာ ဖြေရှင်းတော်မူခန်း

Problem

Two couples (A and B, and C and D) and two singles (E and F) are lining up to be photographed. In how many ways can they stand if A and B must be together, but C and D refuse to stand next to each other due to a recent quarrel?

အတွဲ နှစ်တွဲနှင့် singles နှစ်ယောက်၊ စုစုပေါင်း လူ ၆ ယောက် အမှတ်တရဓါတ်ပုံ ရိုက်ကူးဖို့ တန်းစီနေကြလေသည်။ အတွဲတစ်တွဲဖြစ်သော A နှင့် B တို့သည် သိပ်ချစ်ကြလေတော့ မည်သို့သောအခြေအနေအနေမျိုးပဲရောက်ရောက် နှစ်ယောက်အတူတူသာ အမြဲရှိနေချင်ကြသည်။ အခုလည်း တစ်ယောက်လက်ကို တစ်ယောက်တွဲထားကာ ပူးကပ်စွာ ရပ်နေကြပြန်သည်။ နောက်တစ်တွဲဖြစ်သည့် C နှင့် D တို့အတွက်တော့ အခြေအနေတွေဟာ သိပ်မဟန်လှ။ စကားများ ရန်ဖြစ်ထားကြ၍ လောလောဆယ် ရန်သူတွေဖြစ်နေကြကာ မိန်းကလေးဖြစ်သူမှ "သွား ငါ့အနားမလာနဲ့" ဟု ဆိုလေသလား မသိ၊ သူတို့နှစ်ယောက် ဓါတ်ပုံထဲတောင် အတူတူရှိမနေချင်လောက်အောင် ဖြစ်နေကြရှာသည်။ အင်း .... ဟိုနှစ်ယောက်တော့ အတွဲတွေကြည့်ပြီး မျက်စိနောက်နေရောပေါ့။ ဓါတ်ဆရာလည်း ဒုက္ခရောက်နေဟန်တူသည်။ သူ့ခမျာ ကင်မရာလေးချိန်ပြီး ဓါတ်ပုံရိုက်မည်လုပ်ပြန်တော့လည်း ဟိုလူတွေက အခုထိ အစီအစဥ်တကျ မရှိသေးကိုး ဗျ။ ကဲ၊ ဓါတ်ဆရာကို ကူညီပေးလိုက်ကြရအောင်ဗျာ။

Block Method နှင့် Exclusion Principle ကို တွဲဖက်၍ အသုံးချမည်။ ပထမဦးစွာ သိပ်ချစ်ကြသောအတွဲအား အတူတူထား (တစ်ယောက်တည်းဟု မှတ်ယူ) ကာ တခြားလူများနှင့်အတူ စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သည့် နည်းလမ်းအရေအ တွက်ကို ရှာမည်။ Romeo နှင့် Juliet (အဲ မှားလို့) A နှင့် B တို့သည် တစ်ယောက်တည်းလို ဖြစ်နေလေတော့ လူ ၅ ယောက်ကို စီစဥ်မှုပြုလုပ်သည့်သဘော ဖြစ်သွားပြီး ထိုကဲ့သို့ လုပ်ဆောင်နိုင်ရန်မှာ 5! နည်း ရှိ၏။ ဆက်လက်၍ A နှင့် B တို့အား 2! နည်းဖြင့် အချင်းချင်း နေရာလဲနိုင်သေးသည်။ အထက်ပါဖြစ်ရပ်နှစ်ခုကို ဆက်တိုက်လုပ်ဆောင်သောအခါ A နှင့် B တို့ အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက် 5!∙2! ကို ရရှိသွားသည်။ သို့သော် ယခုရရှိလာသော 5!∙2! နည်းထဲတွင် ဟိုနှစ်ယောက် အတူတူရပ်မိသွားသော စီစဥ်မှုများလည်း ပါနေသေး၏။ တော်ကြာ၊ စိတ်ကောက်နေသော ကောင်မလေးမှ "အဲ့ဒီပုံတွေ အခုပြန်ဖျက်ပေး" ဆိုကာမှ ဒုက္ခ။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B အတူတူရပ်နေကြသော 5!∙2! နည်းထဲတွင် C နှင့် D တို့ အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက် မည်မျှပါဝင်နေမလဲဟူသောအချက်ကို အဖြေရှာရပေးဦးမည်။ ထိုအခါ A နှင့် B အတူတူရပ်၊ C နှင့် D လည်း အတူတူရပ်နေကြသော စီစဥ်မှုအရေအတွက်ကို ရှာကြည့်ရန် လိုအပ်လာသည်။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B ကို အတူတူထားကာ တစ်ယောက်တည်းအဖြစ်ယူဆ၊ C နှင့် D ကိုလည်း အတူတူထားကာ တစ်ယောက်တည်းအဖြစ် ယူဆပြီးနောက် FA နှစ်ယောက် (အဲ မဟုတ်ပေါင်) singles ၂ ယောက်နှင့်အတူ၊ စုစုပေါင်း လူ ၄ ယောက်ကို စီစဥ်မှုပြုလုပ်ကြည့်သော် 4! နည်းလမ်းရှိကြောင်း တွေ့ရသည်။ ထို့နောက် A နှင့် B ကို အချင်းချင်း နေရာလဲနိုင်သည်မှာ 2! နည်း၊ C နှင့် D အတွက်လည်း 2! နည်း ရှိနေသေးပြန်တော့ A နှင့် B ကို အတူတူထား၊ C နှင့် D ကိုလည်း အတူတူထားကာ စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက် ဖြစ်သည့် 4!∙2!∙2! ကို ရလာသည်။ ထိုအခါ C နှင့် D အတူတူရှိနေကြသော စီစဥ်မှု (မလိုချင်သော စီစဥ်မှု) 4!∙2!∙2! နည်းသည် A နှင့် B ကို အတူတူထားကာ ပြုလုပ်ခဲ့သော စီစဥ်မှုပေါင်း 5!∙2! ထဲတွင် ပါဝင်နေလေ၏။ မလိုချင်သော စီစဥ်မှုအရေအတွက်ကို သိရှိပြီးဖြစ်၍ ထိုအရေအတွက်ဖြစ်သော 4!∙2!∙2! အား 5!∙2! ထဲမှ ဖယ်ထုတ်ရန်သာ ရှိတော့သည်။

နောက်ထပ် မတူညီသောနည်းလမ်းတစ်ခုဖြင့် အဖြေထုတ်နိုင်သေးသည်။ Block Method နှင့် Gap Method ကို အသုံးချရန်ဖြစ်သည်။

အချင်းချင်းစိတ်ကောက်နေကြသည့် အတွဲကို ခေတ္တခဏဖယ်ထားပြီးနောက် A နှင့် B ကို အတူတူထားနိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရှာမည်။ ထို့ကြောင့် A နှင့် B ကို လက်ချင်းချိတ်ထားခိုင်း (အတူတူထား) ပြီး တစ်ယောက်တည်းဟုမြင်ကာ ကျန်သော တစ်ကိုယ်ရေ တစ်ကာယသမား ၂ ယောက် (E နှင့် F တို့) နှင့်အတူ စုစုပေါင်း လူ ၃ ယောက်အား စီစဥ်မှုပြုလုပ်သော် 3!∙2! နည်း ရှိမည်။ ယခုအခါ စိတ်ကောက်နေကြသည့်အတွဲကို နေရာချရန် စဥ်းစားတော့မည်။ လက်ချင်းမဖြုတ်နိုင်လောက်အောင် ချစ်ပြနေသော အတွဲနှင့် singles ၂ ယောက်တို့၏ ဘေးကပ်လျက်နေရာများတွင် နေရာလွတ် ၄ နေရာ ဖန်တီးနိုင်ပြီး ထိုနေရာလွတ်များထဲမှ ၂ နေရာကို ရွေးချယ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက်ကို ရှာကြည့်သောအခါ 4C2 ကို ရမည်။ ထို့ကြောင့် အသားချင်းတောင် မထိလိုကြသည့် အတွဲအတွက် နေရာများကို 4C2 နည်းလမ်းဖြင့် ရွေးချယ်နိုင်သည်ဟု ဆိုနိုင်သည်။ ဆက်လက်၍ အဆိုပါနှစ်ယောက် (C နှင့် D) အား စီစဥ်မှုပြုလုပ်နိုင်သော နည်းလမ်းအရေအတွက် 2! နည်း ရှိသေးသည်။ အထက်ပါဖြစ်ရပ်အားလုံးကို ဆက်တိုက်လုပ်ဆောင်ပါက နောက်ဆုံးတွင် လိုအပ်သောအဖြေကို ရရှိပါလိမ့်မည်။

Solution

The number of ways with A and B standing together =5!∙2!
The number of ways with A and B standing together, and C and D standing together =4!∙2!∙2!

Therefore, the required number of ways =(5!∙2!)-(4!∙2!∙2!)=144

Alternative approach

Consider A and B as a single person. Then the number of ways to arrange this person, E and F =3!

The number of ways to arrangement A and B =2!

Now, the number of ways to choose 2 positions for C and D from 4 available positions and arrange them = 4C2 ∙ 2!= 4P2

Therefore, the required number of ways
= 3! ∙ 2! ∙ 4P2=144

စာကြွင်း။

အထက်ပါပုစ္ဆာဟာ ကျနော်ရေးသားထုတ်ဝေထားတဲ့ Permutations & Combinations ဆိုတဲ့ စာအုပ်ထဲမှ e.g. 76 ဖြစ်ပါတယ်။