Related Rates المعدلات المرتبطة

تتحرك نقطة على منحنى الاقتران f(x)=x^2-6، إذا كان معدل تغير الإحداثي x في لحظة معينة هو 1/40، ومعدل تغير الإحداثي y في نفس اللحظة هو 0.3، جد موضع النقطة في تلك اللحظة.
الحل في التعليق الأول:

يتزايد قطر أسطوانة افتراضية بمعدل 2 m/h، ويتناقص ارتفاعها بمعدل 4 m/h. في لحظة معينة كان نصف قطر القاعدة 5 m والارتفاع 8 m. ما معدل تغير حجم الأسطوانة في هذه اللحظة؟
الحل في التعليق الأول:

في الشكل المجاور تتحرك النقطة A(x,y) في الربع الأول على منحنى الاقتران f(x)=√x+5 بحيث يزداد الإحداثي x لها بمعدل 3 cm/min، ما معدل التغير في مساحة المستطيل ABOC عندما x=4 "cm" ؟
الحل في التعليق الأول:

بدأت النقطتان B, C الحركة معاً من نقطة الأصل A بحيث تتحرك النقطة B على محور السينات الموجب مبتعدة عن نقطة الأصل، وتتحرك النقطة C في الربع الأول على منحنى الاقتــــران f(x)=x^2 بحيث يبقى طول AC يساوي طول BC، وكان معدل تغير الزاوية θ المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم AC يساوي 1/2 rad/s، أجد معدل التغير في مساحة المثلث ABC عندما θ=π/3.
الحل في التعليق الأول:

يتزايد قطر أسطوانة بمعدل 2 m/h ويتناقص ارتفاعها بمعدل 4 m/h، في لحظة معينة كان نصف قطر القاعدة 5 m وارتفاع الأسطوانة 8 m. ما معدل تغير حجم الأسطوانة في هذه اللحظة؟
الجواب في التعليق الأول:

دائرتان متحدتان في المركز طولا نصفي قطريهما 7 cm، 24 cm، ابتدأت الدائرة الصغرى تتسع محافظة على شكلها ووضعها بحيث يزداد طول نصف قطرها بمعدل 3 cm/min، وفي اللحظة نفسها أخذت الدائرة الكبرى تتسع محافظة على شكلها ووضعها بحيث يزداد طول نصف قطرها بمعدل 1 cm/min، أجد معدل التغير في المساحة المحصورة بين الدائرتين في اللحظة التي تكون فيها مساحة الدائرة الكبرى تساوي 4 أمثال الدائرة الصغرى.
الحل في التعليق الأول:

يمثل الشكل المجاور المثلث ABC متطابق الضلعين، فيه AB = AC = 17 cm، BC = 16 cm، القطعة المستقيمة DH // BC. إذا تحركت القطعة المستقيمة DH للأسفل مبتعدة عن A بمعدل 1/3 cm/min فأجد معدل التغير في مساحة الشكل الرباعي DBCH عندما تكون D، H في منتصف كل من الضلعين AB، AC على الترتيب.

يرتكز سلم طوله 5 متر على جدار، بدأ السلم بالانزلاق بحيث يبقى الجزء العلوي ملامساً للجدار. إذا كان الجزء العلوي من السلم ينزلق بمعدل 8/y m/sec ، حيث y هي المسافة بين الأرض وأعلى السلم. ما سرعة انزلاق قاعدة السلم على الأرض حين تكون القاعدة على بُعد 4 متر من الجدار؟
الحل في التعليق الأول:

دائرتان متحدتان في المركز، نصف قطر الدائرة الصغرى 3 cm، ونصف قطر الدائرة الكبرى 18 cm، يزداد نصف قطر الدائرة الصغرى بمعدل 2 cm/s، ويتناقص نصف قطر الكبرى بمعدل 3 cm/s، جد معدل التغير في المساحة المحصورة بينهما بعد مرور 3 s.
الحل في التعليق الأول:

يبين الشكل المجاور مستطيلاً مرسوماً داخل منحنى الاقتران: f(x)=e^(-x^2/2). إذا كان x يتغير مع الزمن، مغيراً معه موضع المستطيل، فأجيب عن السؤالين الآتيين تباعاً:
1) أجد مساحة المستطيل بدلالة x
2) أجد معدل تغير مساحة المستطيل عندما x=4 cm، وعندما dx/dt=4 cm/min

الحل في التعليقات:

يسحب عامل بناء لوحاً خشبياً طوله 5 m إلى الأعلى بجانب مبنى لم يكتمل إنشاؤه بعد، وذلك باستعمال حبل رُبط به أحد طرفي اللوح كما في الشكل المجاور. إذا افترضت أن طرف اللوح المربوط بالحبل يتبع مساراً عمودياً على جدار المبنى، وأن العامل يسحب الحبل بمعدل 0.15 m/s، بحيث يظل الطرف العلوي من اللوح ملامساً للجدار، فما سرعة انزلاق الطرف الآخر للوح على الأرض عندما يكون على بُعد 3 m من جدار المبنى؟
الحل في التعليق الأول:

حلقت طائرة على ارتفاع 6 km، ومرت في أثناء تحليقها مباشرةً فوق رادار كما في الشكل المجاور. وعندما أصبح البُعد بينها وبين الرادار 10 km، رصد الرادار معدل تغير البُعد بينه وبين الطائرة، فكان 300 km/h. أجد سرعة الطائرة في هذه اللحظة.
الحل في أول تعليق: