Cafe Mathematics کافه ریاضی- جایی برای آشتی با ریاضی

رفع اشکال درس ریاضی به صورت آنلاین از طریق واتساپ و کاملا رایگان.
برای دانش آموزان دبیرستان، هنرستان و دانشجویان.
لطفا این پیام را در اختیار علاقه مندان قرار دهید، شاید کمکی به درس ریاضی آنها شود.
شماره تماس:09363892142

مهم‌ترین اعداد گنگ :
شاید اولین عدد گنگی که بشر کشف کرد، ۲√ بوده باشد. کشف این عدد منتسب به فیثاغورثیان (شاگردان فیثافورث) است و گفته می‌شود در رقابتهای علمی که در آن زمان بین گروه‌های مختلف درجریان بود، این عدد نقش یک برگ برنده‌ی بزرگ را برای فیثاعورثیان ایفا کرد. این عدد طول قطر مربعی به ضلع یک است که به راحتی از رابطه‌ی فیثاعورث(a^2 + b^2 = c^2) به دست می‌آید.در ریاضیات کلاسیک هم ۲√ رایج‌ترین گزینه برای اثبات وجود اعداد گنگ است.د ر واقع ثابت می‌شود که عدد گویایی موجود نیست که به توان 2 برابر با 2 شود. اهمیت کشف اعداد گنگ در آنجا بود که نوعی عدم قطعیت به ریاضیات می‌داد؛ بدین معنا که برخلاف ذات ریاضی یعنی قطعی بودن آن، در عمل اعداد گنگ را نمی‌توان بطور قطعی بیان کرد، مثلاً بسط اعشاری همین عدد ۲√ نامختوم و غیر تکراریست و برای نمایش آن مجبوریم به چند رقم اعشار آن اکتفا کنیم و بقیه را نادیده بگیریم؛ مثلا بنویسیم 1.4142=۲√
یکی دیگر از اعداد گنگ مهم و تاریخی، عدد پی( 3.1415 = ∏ ) می‌باشد. بازهم پای عدم قطعیت به میان می‌آید. شما دایره‌ای به قطر یک رسم می‌کنید، اما محیط این دایره عددیست با بسط اعشاری بی‌انتها و غیر تکراری!!! عدد پی در بسیاری از معادلاتی که با نوسان و تناوب سر و کار دارند، ظاهر می‌شود. بنا به شواهد تاریخی، نخستین بار عدد پی توسط بابلیان (3.125) و مصریان (3.1604) در 1900 سال قبل از میلاد محاسبه شد که هر دو تا یک رقم اعشار صحیح است. همچنین در متون هندی این عدد 3.139 تقریب زده شده که حدوداً تا دو رقم اعشار صحیح می‌باشد. اولین کسی که عدد پی را با دقت قابل قبول تخمین زد، ارشمیدس در قرن سه قبل از میلاد بود. او به کمک روش تقریب دایره با چند ضلعی‌های منتظم و به کمک 96 ضلعی منتظم عدد پی را 3.1519 تخمین زد که تا سه رقم اعشار صحیح است.همچنین دانشمندی چینی بنام زو چانگ ژی در قرن 5 میلادی عدد پی را 3.14159292 محاسبه کرد که تا 6 رقم اعشار صحیح است. تا هزاره‌ی دوم میلادی کمتر از ده رقم اعشار عدد پی به طور صحیح محاسبه شده بود. (به کمک عدد پی تا 11 رقم اعشار می‌توان محیط کره زمین را با دقت میلیمتر تخمین زد!!!) . رفته رفته و با پیشرفت ریاضیات و ابداع روش سریهای نامتناهی تخمین‌های بهتر و بهتری برای عدد پی بدست آمد؛ بطوریکه امروزه با استفاده از کامپیوترهای شخصی میتوان این عدد را تا میلیاردها رقم اعشار صحیح تخمین زد.!!!
پرکاربردترین عدد گنگی که بشر تا بحال کشف کرده عدد نپر ( 2.7182 = e) است.کشف این عدد منتسب به جان نپر (John Napier) دانشمند اسکاتلندی و معرف لگاریتم است. البته اهمیت این عدد بیشتر مرهون کارهای لئونارد اویلر (Leonhard Euler) دانشمند سوییسی است. چه، بسیاری نیز معتقدند انتخاب حرف e برای عدد نپر بخاطر اولین حرف از نام خانوادگی اویلر بوده است. البته عده‌ای نیز می‌گویند این حرف نخستین حرف کلمه‌ی نمایی (exponential) است. در واقع توابع نمایی بصورت f(x)=a^x هستند و در بین تمام اعداد حقیقی ممکنی که می‌توانند بجای a قرار گیرند، عدد نپر تنها عددییست که باعث می‌شود تابع نمایی در نقطه‌ی صفر دقیقاً شیبی برابر با یک داشته باشد. (مشتق تابع e^x برابر است با e^x و لذا شیب این تابع در صفر برابر است با e^0=1) عدد نپر در جاهای دیگر هم ظاهر می‌شود. مثلاً فرض کنید در بانک مبلغ یک دلار قرار داده‌اید و بانک به شما 100درصد سود در سال پرداخت می‌کند، یعنی در پایان سال شما دو دلار خواهید داشت.(n=1) حال اگر بانک بجای صد در صد در سال شش ماه اول 50 درصد سود پرداخت کند، (یک و نیم دلار در پایان شش ماه) و در شش ماه دوم نیز 50 درصد سود پرداخت نماید، (به ازای یک و نیم دلار پس انداز شما) در پایان سال 1.5+0.75=2.25 دلار خواهید داشت. (n=2) اگر این بار بانک هر سه ماه یک بار به شما 25 درصد سود پرداخت کند، در پایان سال مبلغ 1.25+0.3125+0.390625+0.488281=2.44141 در حساب خود خواهید داشت. (n=4) اگر این روند ادامه پیدا کند، یعنی بانک در تعداد دفعات بیشتری به شما سود کمتری پرداخت کند و این تعداد دفعات یعنی n به بینهایت میل کند، شما در پایان سال به اندازه‌ی 2.7182 = e دلار در بانک خواهید داشت!!! همچنین اگر احتمال برنده شدن شما در یک بازی
n^ -1باشد و شما این بازی را n بار انجام دهید و n به سمت بینهایت میل کند، احتمال اینکه شما هر n بازی را ببازید برابر است باe^ -1 .

پنج واقعیت در مورد عدد موهومی i:
1- ریشه‌ی دوم i هم قسمت حقیقی و هم موهومی دارد.
2- هر ریشه‌ی دلخواه از i، چند جواب منحصر به فرد دارد.
3- در یک کسر مختلط، مهم است که i در صورت باشد یا در مخرج! (یعنی ممکن است که حاصل کسر عدد حقیقی یا مختلط شود.)
4- اعداد نپر (e) ، پی (π) و i به یکدیگر وابسته‌اند.
5- عدد i به توان i یک عدد صد در صد حقیقی است!!!

بهینه سازی و بهینه سازی عددی
1- فرض کنید شرکتی تأسیس کرده‌اید و به دنبال موفقیت در یک بازار پررقابت اقتصادی هستید. برای موفقیت باید تلاش کنید تا هزینه‌ی شرکت خود را حداقل (یا کمینه یا مینیمم) و درآمد شرکت خود را حداکثر (یا بیشینه یا ماکزیمم) نمایید. طبیعتاً هزینه‌ی شرکت شما وابسته به عواملی مانند تعداد پرسنل، میانگین حقوق پرسنل، هزینه‌ی مواد اولیه، هزینه‌ی اجاره‌ی ساختمان و انبار، هزینه‌ی آب و برق و گاز و تلفن، هزینه‌ی تبلیغات و مالیات وابسته است. همچنین درآمد شرکت شما به عواملی مانند تعداد محصولات فروخته شده و قیمت هر واحد فروخته شده دارد. هر یک از این عوامل دارای یک دامنه است؛ مثلا شرکت می‌تواند بین 250 تا 500 نفر پرسنل داشته باشد یا میانگین حقوق پرسنل بین یک میلیون تا دو میلیون می‌تواند باشد.
2- شاید به نظر برسد که ساده‌ترین راه برای حداقل کردن هزینه‌ها اینست که تک تک عوامل موثر در هزینه‌ها را مینیمم کنیم، مثلا حداقل تعداد پرسنل را استخدام کنیم و به پرسنل حداقل حقوق را پرداخت کنیم و یا برای حداکثر کردن درآمد، کیفیت محصولات را افزایش دهیم تا فروش افزایش یابد یا قیمت محصولات را بالا ببریم تا درآمد زیاد شود. اما قضیه به این سادگی نیست. بسیاری از این عوامل بر روی یکدیگر تاثیر دارند. مثلاً حداقل کردن پرسنل مساویست با حجم کار بیشتر برای هر یک از کارکنان و این می‌تواند منجر به فشار کاری بیشتر، خستگی بیشتر و افت کیفت محصولات شود. کاهش درآمد هم می‌تواند انگیزه‌ی کارکنان و به طبع آن کیفیت محصولات را کاهش دهد و منجر به افت فروش شود. از طرف دیگر افزایش کیفیت - اگرچه موجب رضایت مشتری و افزایش فروش خواهد شد - اما از سوی دیگر قیمت محصولات را نیز بالاتر خواهد برد و مقدار فروش را کاهش خواهد داد. پس مسأله پیچیده تر از آنست که به نظر می‌رسد.
3- اما راه چاره چیست؟ بهترین راه حل، مدل کردن کلیه‌ی عوامل موثر بر هزینه و درآمد به کمک فرمول‌های ریاضیست. در واقع اگر هر یک از عوامل موثر را به عنوان یک متغیر با دامنه‌ای مشخص در نظر بگیریم، هزینه و درآمد توابعی از این متغیرها خواهند شد. همچنین فراموش نمی‌کنیم که متغیرها نیز ممکن است با هم در ارتباط باشند و بر یکدیگر تاثیر گذار باشند، در نتیجه، این ارتباطات و تأثیرات را نیز توسط فرمول‌های ریاضی مدل می‌کنیم و نهایتاً به یک مدل جامع و کامل دست خواهیم یافت. هدف نهایی، حداکثر کردن تابع درآمد و حداقل کردن تابع هزینه با توجه به قیود و محدودیت‌های مشخص است. حتی می‌توان دو تابع درآمد و هزینه را در قالب تابع سود ترکیب کرد و هدف را حداکثر کردن تابع سود (تابع درآمد منهای تابع هزینه) تعریف کرد.
4- شاخه‌ای از ریاضی که به حل چنین مسائلی می‌پردازد، بهینه‌سازی نام دارد. بهینه‌سازی کاربردهای فراوانی در علوم پایه و کامپیوتر، علوم مهندسی، صنعت، اقتصاد و مدیریت دارد. از شاخه‌های بهینه سازی می توان به تحقیق در عملیات، برنامه‌ریزی صحیح، برنامه‌ریزی خطی، برنامه‌ریزی غیرخطی، برنامه‌ریزی ترکبیاتی، برنامه‌ریزی تصادفی و برنامه‌ریزی پویا اشاره نمود.
5- همانند بسیاری از شاخه‌های ریاضی، حل تحلیلی مدل‌های بهینه سازی کاری ساده نیست و حتی ممکن است جواب تحلیلی وجود نداشته باشد. در نتیجه روش‌های بهینه سازی عددی، روش‌هایی کارآمد و مفید به حساب می‌آیند. در روش‌های بهینه‌سازی عددی، جواب اولیه‌ای درنظر گرفته می شود (با حدس یا تخمین) و این جواب اولیه با استفاده از تکنیک‌های تکرار شونده بهتر و بهتر می‌شود تا به حد مطلوب برسد.

به مناسبت امتحان ریاضی مهندسی و بحث اعداد مختلط...

مسأله دستمزد کارگر با کمک دنباله ها

تصمیم گرفتم مطالب قدیمی تر رو برای بچه هایی که به تازگی به این پیج پیوستن، بازنشر کنم.

درونیابی و تقریب
1- سرشماری جمعیت،کار عظیم و وقت گیر و پرهزینه‌ایه، مخصوصاً برای کشورهایی با ده‌ها میلیون جمعیت، انجام دادن سرشماری در هر سال هم کار غیر معقولیه. به همین خاطر این کار رو هر ده سال یک بار انجام می‌دن. اطلاعات حاصل از سرشماری بسیار ارزشمنده و برای برنامه‌ریزیهای کلان یک کشور یا بررسی روندی که اون کشور در مورد مسائل مختلف در حال طی کردنشه یا پیش‌بینی اتفاقات آینده، مورد استفاده قرار می‌گیره.حالا اگر بتونیم بجای اینکه این اطلاعات رو ده سال به ده سال داشته باشیم،سال به سال یا حتی ماه به ماه داشته باشیم، این مسأله می‌تونه در روند رو به رشد جامعه بسیار بسیار مفید باشه، اما همونطور که گفته شد، انجام سرشماری با بازه‌های زمانی کمتر از ده سال به دردسرهاش نمی‌ارزه. آیا راهی نیست که سرشماری رو ده سال یکبار انجام بدیم، اما از همون اطلاعات برای بدست آوردن اطلاعات سالیانه یا حتی ماهیانه استفاده کنیم؟

2- اجازه بدید کمی دقیق‌‌تر به این مسأله نگاه کنیم. فرض کنید یک نمودار داریم که محور x اون سالها رو نشون میده و محور y اون جمعیت یک کشور رو در هر سال. سرشماری انجام شده در هر ده سال یک نقطه رو روی اون نمودار مشخص میکنه. فرض کنید طی 50 سال، 5 سرشماری انجام شده؛ پس ما 5 نقطه روی این نمودار داریم. اما اگه بتونیم به نوعی این نقاط رو به هم وصل کنیم، می‌تونیم تابع جمعیت در سال رو پیدا کنیم و با کمک اون تابع، جمعیت رو در هر سال یا ماهی (خارج از زمان سرشماری) مشخص کنیم. به این اتصال نقاط به هم برای ساختن تابع، درونیابی (Interpolation) میگن.

3- درونیابی در جاهای مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیره. مثلاً فرض کنید شرکتی می‌خواد در یک مناقصه‌ی سود آور جهت ساخت یک بزرگراه شرکت کنه. مسیر طولانی و هزینه‌ها در حد چندین میلیارد تومانه. این شرکت از کجا می‌تونه بفهمه که برای ساخت این بزرگراه چه مقدار خاکبرداری و خاکریزی لازمه تا هزینه‌ها رو مشخص کنه و هزینه‌ی پیشنهادیش رو در مناقصه ارائه کنه؟ تنها راه استفاده از درونیابیه. متخصصان نقشه‌برداری اون شرکت، طول و عرض و ارتفاع چندین نقطه از مسیر رو محاسبه می‌کنن و به کمک این اطلاعات و درونیابی، به یک نقشه‌ی سه بعدی از مسیر دست پیدا می‌کنن که دیگه با اون به راحتی میشه هزینه‌ها رو برآورد کرد و در مناقصه برنده شد!!!

به نظرتون این راه برای حفظ جدول نسبتهای مثلثاتی چطوره؟
اگه خوبه، لطفاً تلاش کنید برای حفظش...

Dattaraya Ramchandra Kaprekarرياضيدان هندي (1905–1986) كه در

زمينه‌ی نظريه اعداد کار می‌کرده، چند نظريه‌ی جالب را بيان كرده است.

اعداد کاپرکار

عدد كاپركار به عدد صحيح غير منفي گفته مي‌شود كه مربع عدد را

می‌توان به دو قسمت به نحوي تقسيم كرد كه جمع آن دو قسمت عدد

اصلي شود.به مثال‌هاي زير توجه كنيد:

81=2^9 9=1+8
2025=2^45 45=20+25
88209=2^297 297=88+209
23804641=2^4879 4879=238+4641

سری کاپرکار:

یك عدد 4 رقمي را در نظر بگيريد كه ارقام آن تكراري نباشد، بزرگترین و

کوچکترین عددهایی را که می‌توان با ارقام آن عدد ساخت، در نظر گرفته

و آنها را از هم کم کنید. حاصل تفريق را نگه داريد و همين عمل را بر روي

حاصل تفريق انجام دهيد تا به يك عدد ثابت برسيد. مشاهده مي‌كنيد كه

به عدد 6174 خواهید رسید. عدد 6174 را هسته عمل كاپركار مي‌ناميم.

توجه كنيد كه مراحل تكرار تا رسيدن به عدد 6174 بيشتر از 7 مرحله

نمي‌شود.

به عنوان مثال عدد 3124 را در نظر بگيريد، بزرگترین عدد ساخته شده با

رقمهای این عدد، 4321 و کوچکترین عدد، 1234 می‌باشد.

3087=1324-4321
8352=0387-8730
6174=2358-8532

این عمل را مي‌توان بر روي اعداد سه رقمي نيز انجام داد. در طي انجام

اين مراحل براي اعداد سه رقمي به عدد 495 مي‌رسيم. مثلاً اگر عدد

957 رو در نظر بگیریم، خواهیم داشت:
396=579-975
594=369-963
495=459-954