DISHA MATHS

എല്ലാ വശങ്ങളും ചായം പൂശിയ ഒരു സമചതുരക്കട്ടയെ തുല്യ വലിപ്പമുള്ള ചെറിയ സമചതുരക്കട്ടകളായി മുറിച്ചാൽ

✓ മൂന്ന് വശം പെയിന്റായ ചെറിയ കട്ടകളുടെ എണ്ണം = 8
✓ രണ്ട് വശം പെയിന്റായ ചെറിയ കട്ടകളുടെ എണ്ണം =12(a-2)
✓ ഒരു വശം മാത്രം പെയിന്റാ ചെറിയ കട്ടകളുടെ എണ്ണം =6(a-2)^2
✓ ഒട്ടും പെയിന്റാകാത്ത ചെറിയ കട്ടകളുടെ എണ്ണം =(a-2)^3

*ജ്യാമിതീയരൂപങ്ങളുടെ Equations.*

🔼 1. *ത്രികോണം (Triangle)*

👉3 കോണുകളുടെ അളവുകളുടെ തുക180°
ചുറ്റളവ് = a + b + c _______

👉ആകെ,വിസ്തീ'ണം =√s(s-a)(s-b)(s-c)
S = a+b+c/2
2 അളവുകൾ മാത്രമായാൽ വിസ്.= ½xbh.
───────────────
────────────────────

🔼2. *സമഭുജ ത്രികോണം.*

👉ചുറ്റളവ് = 3a

👉വിസ്തീ'ണം = √3/ 4 × a²
√3 = 1.732
───────────────
────────────────────

⏹3. *ചതുരം(Rectangle)*

👉ചുറ്റളവ് = 2(നീളം+വീതി)

👉വിസ്തീ'ണം = നീളം x വീതി _____

👉വികർണങ്ങളുടെ നീളം = √നീളം²+വീതി²
───────────────
────────────────────
⏹4. *സമചതുരം(Square)*

👉ചുറ്റളവ് = 4a

👉വിസ്തീ'ണം = a² _

👉വികർണങ്ങളുടെ നീളം = √2a
───────────────
────────────────────
▶ *5. സാമാന്ത രികം (Parallogram)*

👉ചുറ്റളവ് = 2 (a+b)

👉വിസ്തീ'ണം = axh
───────────────
────────────────────

7. ലംബകം(Trapezium)
ചുറ്റളവ് = Sum of Total Sides.
വിസ്തീ'ണം =½(a+b)h
───────────────
────────────────────
8. വൃത്തം (Circle)
ചുറ്റളവ് = 2πr
വിസ്തീ'ണം = πr²
───────────────
────────────────────
9. വൃത്തസ്തൂപിക (Cone)
വ്യാപ്തം = ⅓πr²h
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം =πr (1+r)
───────────────
───────────────────
10. വൃത്തസ്തംഭം(Cylinder)
വ്യാപ്തം =πr²h
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 2πr (h+r)
───────────────
────────────────────
11. ഗോളം (Sphere).
വ്യാപ്തം = ⁴⁄₃πr³
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 4 πr²
───────────────
────────────────────
12. അർദ്ധഗോളം (Hemisphere)
വ്യാപ്തം = ²⁄₃ πr³
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 3 πr²
───────────────
───────────────────
13. ചതുരക്കട്ട (Cuboid)
വ്യാപ്തം = നീളംxവീതിx ഉയരം
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 2(നീ.xവീ.+വീ.xഉ.+നീ.xഉ.)
_______________
വികർണം =√നീളം²+വീതി²+ഉ
യരം²
───────────────
────────────────────
14. സമചതുരക്കട്ട (Cube)
a വശമായ ക്യൂബുകൾ:
വ്യാപ്തം =a³
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 6a²
a പാദമായ ക്യൂബുകൾ:
വ്യാപ്തം = a²h
ഉപരിതലവിസ്തീ'ണം = 2a²+4ah

അംശബന്ധവും അനുപാതവും

x : y എന്നാൽ x/y ആയിരിക്കും.

T എന്ന തുക x : y എന്ന അനുപാതത്തിൽ ഭാഗിച്ചാൽ ഓരോ ഭാഗവും യഥാക്രമം Tx/(x+y) ഉം Ty/(x+y) ഉം ആയിരിക്കും

രണ്ട് അംശബന്ധങ്ങൾ തുല്യമായാൽ അവ അനുപാതത്തിലാണെന്ന് പറയാം

a : b, c : d എന്നിവ അനുപാതത്തിൽ ആണെങ്കിൽ ad = bc

ഉദാ:

15 : 75 = 7 : x ആയാൽ 'x' എത്ര? (LDC Kollam 2014)
a) 45 b) 35 c) 25 d) 14

x = (75 x 7)/15 = 35 (b)

a : b = c : d ആയാൽ ചുവടെ കൊടുത്തിരിക്കുന്നവയിൽ ശരിയല്ലാത്തത് ഏത്
a) a/b = c/d b) a/c = b/d c) (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) d) ab = cd (LDC Alappuzha 2014)

a : b = c : d യെ a/b = c/d, a/c = b/d, (a+b)/(a-b) = (c+d)/(c-d) എന്നീ രൂപങ്ങളിൽ എഴുതാവുന്നതാണ്. അതിനാൽ തെറ്റായ ഓപ്‌ഷൻ (d) ab = cd

A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5 ആയാൽ A : B : C എത്ര (LDC Kottayam 2014)
a) 2 : 3 : 5 b) 4 : 6 : 9 c) 8 : 12 : 15 d) 6 : 9 : 15

A : B = 2 : 3, B : C = 4 : 5
2 : 3
4 : 5
----------
2 x 4 : 3 x 4 : 3 x 5
8 : 12 : 15 (c)

ശതമാനം

ഛേദം 100 ആയ ഭിന്നസംഖ്യയാണ് ശതമാനം. അതായത് ഒരു സംഖ്യയുടെ 'a'% കാണാൻ സംഖ്യയെ a/100 കൊണ്ട് ഗുണിച്ചാൽ മതി

ഒരു സംഖ്യ x% വർദ്ധിച്ച് y ആയാൽ, ആദ്യ സംഖ്യ = (y x 100)/(100-x)

x എന്ന സംഖ്യ y% വർദ്ധിച്ചാൽ വർദ്ധനവിന് ശേഷം ഉള്ള സംഖ്യ = y x ((100+x)/100)

y എന്ന സംഖ്യ x% കുറച്ചാൽ കുറച്ചതിന് ശേഷം ഉള്ള സംഖ്യ = y x ((100-x)/100)

ഒരു സംഖ്യ x% കൂടുകയും തുടർന്ന് x% കുറയുകയും ചെയ്‌താൽ, സംഖ്യയിൽ ഉണ്ടാകുന്ന കുറവ് = x²/100%

A യുടെ B% = B യുടെ A%

A യുടെ ശമ്പളം B യുടെ ശമ്പളത്തേക്കാൾ x% കൂടുതലായാൽ B യുടെ ശമ്പളം A യെക്കാൾ (x/(100+x)) x 100% കുറവായിരിക്കും

A യുടെ ശമ്പളം B യുടെ ശമ്പളത്തേക്കാൾ x% കുറവായാൽ B യുടെ ശമ്പളം A യെക്കാൾ (x/(100-x)) x 100% കൂടുതലായിരിക്കും

ഉദാ:

ഒരു സംഖ്യയുടെ 15% 9 ആയാൽ സംഖ്യ (LDC Trivandrum 2014)
a) 135 b) 9/15 c) 15/9 d) 60

സംഖ്യ a ആയാൽ a x (15/100) = 9
15 a = 900
a = 900/15 = 60 (d)

25% ൻറെ 25% എത്ര (LDC Kottayam 2014)
a) 625 b) 0.000625 c) 0.0625 d) 6.25

25/100 x 25/100 = 625/10000 = 0.0625

1) 3 പുരുഷന്മാർക്ക്, അല്ലെങ്കിൽ 6 സ്ത്രീകൾക്ക് ഒരു ജോലി ചെയ്യാൻ 15 ദിവസം വേണം. എങ്കിൽ 4 പുരുഷന്മാരും 2 സ്ത്രീകളും കൂടി ആ ജോലി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ചെയ്യും?

3x6x15 = 270
─────── ────
3x2+6x4 30 = 9 Days//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━

━━━━━━━━━━━━━━━━
2).2 സംഖ്യകളുടെ തുക 91, വ്യത്യാസം 13. അവയിൽ ചെറിയ സംഖ്യയ്തേ?
= 91-13 = 78
───── ────
2 2 = 39//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
3). ഒരു NCC ക്യാമ്പിൽ 2560 കേഡറ്റുകളും, അവരുടെ ക്യാപ്റ്റൻമാരും പങ്കെടുക്കുന്നു. ഓരോ 15 കേഡറ്റുകൾക്കും 1 ക്യാപ്റ്റൻ വീതം ഉണ്ട്.എങ്കിൽ ആകെ എത്ര ക്യാപ്റ്റൻമാരുണ്ട?

1 Team =1 Captain+15 Cadets= 16.
= Total Captains : 2560/16 = 160//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
4). 8, 9,12,16 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോൾ യഥാക്രമം ശിഷ്ടം 3,4,7,11
കിട്ടുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ?

= സംഖ്യകളും, ശിഷ്ടങ്ങളും തമ്മിൽ ഒരു പൊതുവ്യത്യാസം ഉണ്ട്. അതിനെ സംഖ്യകളുടെ ലസാഗുവിൽ നിന്ന് കുറയ്ക്കുക.

8-3=5, 9-4=5, 12-7=5, 16-11=5
പൊതുവ്യത്യാസം = 5
ലസാഗു 8,9,12,16= 144.
144-5 = 139//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
5).2,4,5,6,7,8 എന്നീ സംഖ്യകൾ കൊണ്ട് പൂർണമായി ഹരിക്കാവുന്ന ഏറ്റവും ചെറിയ സംഖ്യ ?

= ലസാഗുവാണ് ഉത്തരം = 840 //
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
6). A യും Bയും ചേർന്ന് ഒരു ജോലി 18 ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും.B യും C യും ചേർന്ന് 24 ദിവസം കൊണ്ടും, C യും A യും ചേർന്ന് 36 ദിവസം കൊണ്ടും തീർക്കും. മൂന്ന് പേരും കൂടി എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് ആ ജോലി തീർക്കും?

a) ലസാഗു: 18, 24, 36 = 72.

b) 2(A+B+C)
A+B+C= 72/18=4, 72/24=3, 72/36=2
4+3+2=9. 72/9 =8.

☞ 2x8 = 16 ദിവസം//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
7). A ഒരു ജോലി 10 ദിവസം കൊണ്ടും, B 20 ദിവസം കൊണ്ടും, C 60 ദിവസം കൊണ്ടും ചെയ്തു തീർക്കും.3 പേരും ഒരുമിച്ച് എത്ര ദിവസം കൊണ്ട് തീർക്കും?

X Y Z
─────────
(XY)+(YZ)+(XZ)

10x20x60 = 12000
─────────────── ──────
10x20+20x60+10x60 2000

Ans = 6 ദിവസം//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
8). 25 മീ.ഉയരമുള്ള തെങ്ങിൽ ഒരാൾ കയറുന്നു.10 സെക്കന്റൽ 5മീ. കയറുകയും, 4 മീ വഴുതി താഴോട്ട് പോകുകയും ചെയ്യുന്നു. തെങ്ങിന്റെ മുകൾഭാഗം തൊടുന്നതിന് അയാൾക്ക എന്ത സമയം വേണ്ടിവരും?

= 10 സെക്കന്റിൽ അയാൾ ആകെ കയറുന്ന= (5 - 4)=1 മീറ്റർ.
200 സെക്കന്റ് കൊണ്ട്= 20മീ.
അടുത്ത 10 സെക്കന്റിൽ വേഗം 5മീ. കയറും, Then: 210 Sec.
മിനുട്ടിൽ = 210/60 = 3.5 Minutes//
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
9). ഒരു ടാങ്കിന്റെ നിർഗമനടാപ്പ് തുറന്നാൽ 2 മണിക്കൂർ കൊണ്ട് നിറയും. ബഹിർഗമന ടാപ്പ് തുറന്നാൽ 3 മണിക്കൂർ കൊണ്ട് ഒഴിയും.2 ഉം തുറന്നാൽ എത്ര നേരം കൊണ്ട് ടാങ്ക് നിറയും?

2 x 3
2 - 3 = 6 hrs.// ━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
10).ഒരു NCC ക്യാമ്പിൽ 100 പേർക്ക് 60 ദിവസത്തേക്കുള്ള ഭക്ഷണം ഉണ്ട്.പുതുതായി 20 പേർ കൂടി വന്നാൽ
ഭക്ഷണം എത്ര ദിവസത്തേക്ക് തികയും?

= 100 x 60 6000
─────── = ───── Ans= 50.
120 120

(120= ആകെ അംഗങ്ങൾ.)

🔢ലഘുഗണിതം✔
─────────────
PSCയുടെ തീവണ്ടി കണക്കുകൾ..

ഓർത്തിരിക്കേണ്ട സൂത്രവാക്യങ്ങൾ:

➡Km/hr നെ m/s ആക്കാൻ = 5/18 കൊണ്ട് ഗുണിക്കുക.

➡സമയം കാണാൻ = ദൂരം/വേഗം.

➡ദൂരം കാണാൻ = സമയംxവേഗത.

➡വേഗത കാണാൻ = ദൂരം/സമയം.
────────────

1). 180 മീ നീളമുള്ള ഒരു ട്രെയിൻ 54 Km/h വേഗത്തിൽ ഓടുന്നു.പാതവക്കിലെ ഒരു പോസ്റ്റ് കടക്കാൻ തീവണ്ടിക്ക് എത്ര സെക്കന്റ വേണം?

◽ഇവിടെ 54 Km/h നെ m/s ആക്കണം;
◽54x5/18 = 15 m/s.
◽Time = Distance÷Speed = 180÷15
◽Ans= 12 Sec.
──────────────────────────────
2). 200 മീ നീളമുള്ള തീവണ്ടി 90 Km/h വേഗത്തിൽ ഓടുന്നു. 100 മീ നീളമുള്ള പാലം കടക്കാൻ ആ തീവണ്ടിക്ക് വേണ്ട സമയമെന്ത്?

◽90x5/18 = 25 m/s.
◽ദൂരം = 200+100 = 300 മീ.
◽Time = Distance÷Speed. = 300÷25
◽Ans = 12 Sec.
──────────────────────────────
3).72 km/h ൽ ഓടുന്ന ഒരു ട്രെയിൻ ഒരു പോസ്റ്റ് കടക്കാൻ 10 സെക്കന്റ് എടുത്തു. എങ്കിൽ ട്രെയിന്റെ നീളമെന്ത്?

◽72x5/18 = 20m/s.
◽ട്രെയിന്റെ നീളം ചോദിച്ചാൽ 'ദൂരം' കാണാനുള്ള equation ഉപയോഗിക്കാം:
◽Distance = Time x Speed.
◽=10 x 20. Ans = 200 മീറ്റർ.
──────────────────────────────
4).150 മീ നീളമുള്ള ഒരു ട്രെയിന് വഴിയരുകിലെ പോസ്റ്റ് കടന്ന് പോകാൻ 10 സെക്കന്റ് എടുത്തു. If, 350 മീ നീളവുള്ള ഒരു പാലം കടക്കാൻ എത്ര സമയം വേണം?

◽Equation: Time = Distance/Speed.

◽ഇവിടെ ദൂരമെന്നത് 500 മീ ആണ്. but വേഗത തന്നിട്ടില്ല. അതാദ്യം കാണണം:
◽= 150 മീ നീളമുള്ള ട്രെയിൻ 10 Sec കൊണ്ട് പോസ്റ്റ് കടന്നു പോയി. Then ◽ട്രെയിന്റെ വേഗത: 150/10 = 15 m/s.
◽ഇനി ആകെ ദൂരം: 150+350 = 500 മീ.
◽Answer = 500/15 = 33 1/3 Sec വേണം.
─────────────────────────────

⬅🚇➡ഒരേദിശയിലും, എതിർദിശയിലും ഓടുന്ന തീവണ്ടി കണക്ക്.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
1). 150 മീ നീളമുള്ള ട്രെയിൻ 58 km/h ൽ ഓടുന്നു.4 km/hr ൽ അതേ ദിശയിലോടുന്ന ഒരാളെ മറികടക്കാൻ തീവണ്ടിക്ക് എന്ത് സമയം വേണം?

◽നീളം/ദൂരം = 150 മീ.
◽ഓടുന്നയാൾ ഒരേദിശയിലായതിനാൽ വേഗം = 58 - 4 = 54 km/hr.
◽=54x 5/18 = 15 m/s.
◽സമയം = ദൂരം/വേഗം. ;150/15
◽= Ans 10 Sec വേണം.
──────────────────────────────
2).180 മീ നീളമുള്ള ട്രെയിൻ 60km/hr ൽ ഓടുന്നു.3 km/hr ൽ എതിർദിശയിലോടുന്ന ഒരാളെ മറികടക്കാൻ തീവണ്ടിക്ക് എന്ത് സമയം വേണം?

◽നീളം/ദൂരം = 180 മീ.
◽ഓടുന്നയാൾ എതിർദിശയിലായതിനാൽ വേഗം = 60 + 3= 63 km/hr.
◽=63x 5/18 = 17.5 m/s.
◽സമയം = ദൂരം/വേഗം. ;180/17.5
◽= Ans 10 2/7 sec വേണം.

10000 രൂപ രണ്ടു പേർ ഭാഗിച്ചപ്പോൾ രണ്ടാമന് ഒന്നാമനേക്കാൾ 3000 രൂപ കൂടുതൽ കിട്ടി. അവർ ഭാഗിച്ച അംശബന്ധം ഏത്
A 6:13
B 7:13
C 3:10
D 7:3