Calculus Maths with Abhishek Poddar

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📘 कक्षा 10 – वास्तविक संख्याएँ
(Bihar Board / UP Board – Hindi Medium)
✨ सभी महत्वपूर्ण प्रमेय (Theorems) उदाहरण सहित
1. यूक्लिड विभाजन प्रमेय (Euclid’s Division Lemma)
📌 कथन:
किसी भी दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए ऐसे पूर्णांक q (भागफल) और r (शेष) मौजूद होते हैं कि:
📍 उदाहरण:
17 ÷ 5
👉 17 = 5 × 3 + 2
यहाँ q = 3, r = 2
2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम (HCF निकालने के लिए)
📌 कथन:
दो संख्याओं का HCF (महत्तम समापवर्तक) यूक्लिड प्रमेय को बार-बार लगाकर निकाला जा सकता है।
📍 उदाहरण:
56 और 98 का HCF:
98 = 56 × 1 + 42
56 = 42 × 1 + 14
42 = 14 × 3 + 0
👉 HCF = 14
3. अंकगणित का मौलिक प्रमेय (Fundamental Theorem of Arithmetic)
📌 कथन:
हर संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में एक ही तरीके से लिखा जा सकता है।
📍 उदाहरण:
60 = 2 × 2 × 3 × 5
या
60 = 2² × 3 × 5
4. √2 की अपरिमेयता (Irrationality of √2)
📌 कथन:
√2 एक अपरिमेय संख्या है (इसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता)।
📍 उदाहरण (विचार):
मान लो √2 = p/q → विरोधाभास मिलता है → इसलिए √2 अपरिमेय है।
👉 इसी तरह √3, √5 भी अपरिमेय हैं।
5. परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार नियम
📌 कथन:
यदि � (सरल रूप में) के हर में केवल 2 और/या 5 के गुणनखंड हों, तो दशमलव समाप्त (terminating) होगा, नहीं तो अनन्त (non-terminating) होगा।
📍 उदाहरण:
1/8 = 0.125 ✔ (समाप्त)
1/3 = 0.333… ✘ (अनन्त)
📌 Quick Revision Table
प्रमेय
उपयोग
यूक्लिड प्रमेय
भाग और शेष
यूक्लिड एल्गोरिदम
HCF निकालना
मौलिक प्रमेय
अभाज्य गुणनखंड
√2 अपरिमेय
अपरिमेय संख्या सिद्ध करना
दशमलव नियम
समाप्त/अनन्त दशमलव

📘 Class 10 – Real Numbers (CBSE / UP Board English Medium)
✨ All Important Theorems with Examples
1. Euclid’s Division Lemma
📌 Statement:
For any two positive integers a and b, there exist unique integers q and r such that:
📍 Example:
Divide 17 by 5:
17 = 5 × 3 + 2
Here, q = 3, r = 2
2. Euclid’s Division Algorithm
📌 Statement:
HCF of two numbers can be found using repeated application of Euclid’s Division Lemma.
📍 Example:
Find HCF of 56 and 98:
98 = 56 × 1 + 42
56 = 42 × 1 + 14
42 = 14 × 3 + 0
👉 HCF = 14
3. Fundamental Theorem of Arithmetic
📌 Statement:
Every composite number can be expressed as a product of primes in a unique way (except order).
📍 Example:
60 = 2 × 2 × 3 × 5
or
60 = 2² × 3 × 5
4. Irrationality of √2
📌 Statement:
√2 is an irrational number.
📍 Example (Idea):
Assume √2 = p/q, but it leads to contradiction → so √2 is irrational.
👉 Also:
√3, √5, √7 are also irrational
5. Rational Number Terminating/Non-Terminating Rule
📌 Statement:
A rational number � has a terminating decimal expansion only if q (in lowest form) has factors 2 and/or 5 only.
📍 Example:
1/8 = 0.125 (terminating ✔)
1/3 = 0.333... (non-terminating ✘)
📌 Quick Revision Table
Theorem
Use
Euclid Lemma
Division & remainder
Euclid Algorithm
HCF finding
Fundamental Theorem
Prime factorization
√2 irrational
Proof of irrational numbers
Decimal rule
Terminating / non-terminating

in English:
🔵 Circle 👉 Area = πr²
👉 Circumference = 2πr
🟡 Sector 👉 Area = (θ/360) × πr²
👉 Arc Length = (θ/360) × 2πr
🟢 Segment 👉 Area = Sector – Triangle
⚡ Important Points
✔️ π = 22/7 या 3.14
✔️ r = Radius
✔️ θ = Angle (degree me)
हिन्दी में,
कक्षा 10 गणित – वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल (Quick Revision)
🔵 वृत्त (Circle)
👉 क्षेत्रफल = πr²
👉 परिधि = 2πr
🟡 खंड (Sector)
👉 क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²
👉 चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr
🟢 खंड का भाग (Segment)
👉 क्षेत्रफल = सेक्टर – त्रिभुज
⚡ महत्वपूर्ण बातें
✔️ π = 22/7 या 3.14
✔️ r = त्रिज्या
✔️ θ = कोण (डिग्री में)
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📚 CALCULUS Maths with Abhishek Poddar

🔥 Trump ka Big Decision: Hormuz Band Rahe Tab Bhi Iran War Khatam? 😳

👉 (Alt option)
🌍 Iran War Update: Without Opening Hormuz, Trump Ready to End War!
Donald Trump has told his aides he is ready to end the U.S. military campaign against Iran even if the Strait of Hormuz remains closed. Officials say reopening the route by force could extend the war beyond 4–6 weeks. The U.S. plans to weaken Iran’s navy and missile systems first, then push for diplomacy to restore trade. If talks fail, America may ask European and Gulf allies to take the lead.
👉 हिंदी: ट्रंप ने कहा कि वे युद्ध खत्म कर सकते हैं, भले ही होरमुज़ जलडमरूमध्य बंद रहे। पहले ईरान को कमजोर करना और फिर कूटनीति अपनाना योजना है।