肥貓老師 𓃠 The MEOWthematician

開sem都有一個月喇，相信各大專同學都要準備mid term。中學數學一般嘅同學仔，上到大專要考Calculus微積分，可能特別頭痛！😱 不過，只要用啱方法，大家絕對可以打好基礎，過3爆4㗎！💪🏻 今日就想同大家講吓啲大方向，幫大家準備吓！😎

‼️ 1. ❇️溫返舊嘢:❇️

開始溫Calculus之前，要先Check吓自己對DSE知識，例如algebra代數、geometry幾何同trigo三角學係咪搞掂哂，呢啲係微積分嘅基礎！🧱

‼️ 2. ❇️乖乖操數:❇️

- ❇️主動啦:❇️ 考好Maths難免要勤力操數嘅！💪🏻 其實Course textbook有好多練習題目，唔好齋睇唔做！✏️
- ❇️齊上齊落:❇️ 同同學或者FD一齊溫啦！去到大專，數學概念更加複雜，一齊討論可以加深理解。🗣️

‼️ 3. ❇️善用資源:❇️

- ❇️教科書同網上教材:❇️好多教科書都有詳細solution加好多exercise，甚至mock test！📚之前都講過有邊啲，有需要可以cm再問。🤓
- ❇️Lecturer同Tutor嘅Office Hour:❇️ 唔好怕醜，搵佢哋問多啲問題！🙋🏻‍♀️另外，mid term前嗰堂tutorial必上，你懂的。

‼️ 4. ❇️清concept:❇️

要理解微積分概念背後嘅「Why點解」，唔好淨係識「how點做」。咁樣先可以有效運用概念去解決mid term 入面比較深嘅問題！🤔 另外，多啲用圖將唔同嘅概念，例如Limit極限同derivative導數形象化！以我教學經驗，用圖解真心多啲同學明！📈

‼️ 5. ❇️照顧好自己:❇️

- ❇️管理壓力:❇️ Mid term期真係可以好chur，記得確保自己溫書期間有適當休息！身心健康比你想像中大大影響你嘅表現！😴

‼️ 6. ❇️需要時尋求額外協助:❇️

- 如果發現傳統嘅溫習方法唔啱用，可以考慮上網求助或者搵個導師，佢哋可以提供針對你個人需要嘅指導！🧑‍🏫

記住，堅持係關鍵！💪🏻 加油！💪🏻✨

中秋數學燈謎 🌕

甲辰中秋，歡聚達旦，大笑，作此篇兼推數學。🎉

歡迎大家嚟猜燈謎，一齊估吓數學名詞啦
！中秋節快樂！🥳

1. 兩隻牛打交 🐂🐂 - （幾何）🔺
2. 一刀兩斷 💔 - （幾何）✂️
3. 同Crush一齊行 🚶‍♂️🚶‍♀️ - （幾何）➡️➡️
4. 員 👨‍💼 - （幾何）⚪️
5. 七日領域 ⏳ - （幾何）🌍
6. 大家著褲同size 👖 - （幾何）📏
7. 外貌一般 😐 - （幾何）📏
8. 家徒四壁 🏚️ - （幾何）🏠
9. 明明想見又唔約 ⏳ - （性質）⚖️
10. 打掃得一乾二淨 🧹 - （性質）🧮
11. 負荊請罪 🙇‍♂️ - （運算）➕
12. 中醫寫字 ✍️ - （運算）➗
13. 一分錢一分貨 💰 - （運算）🔢
14. 轉車 🚆 - （運算）✖️
15. 檢查帳目 📊 - （運算）📉
16. 剪陸軍裝 🧔 - （運算）➗

17. 輪流搭車 🚗 - （代數）🔄
18. 漱口水 🦷 - （代數）🔄
19. 牛郎織女🌌 - （代數）🌠
20. 貿易協議 🤝 - （法則）🔄
21. 婚姻法 📜 - （法則）💍
22. 老婆永遠係啱嘅 💁‍♀️ - （數）📈
23. 除咗你，都係你 🤷‍♂️ - （數）🔢
24. 考試唔出Cheat 🚫 - （數）📚
25. 送龍迎蛇 🎉🐉🐍 - （估算）🔼

點解一上到中學就完全搞唔掂數學？🤔

最近上得Threads多，認識到唔少補高中數嘅猛人名師，仲見到好多勁憎數學嘅中二至中四同學！😅 之前都講過缺乏成就感係討厭數學嘅元凶，今次就想分享吓我自己嘅經驗，講吓過渡到中學數學嘅最大難點——由算術思維過渡到代數思維！📚

# # # 算術思維 vs 代數思維

**算術思維**主要集中喺具體嘅數字計算上，學生通常用直觀嘅四則運算去解決問題。🔢 通常佢哋只專注於計算過程，未必會深入探討背後嘅數學關係。🤷‍♂️

**代數思維**就涉及更高層次嘅抽象思考，學生需要用符號（例如 x、y）嚟表示未知數，仲要理解呢啲符號之間嘅關係！🔍 代數思維唔單止係計算，仲包括解釋、推理同埋設立方程式等。學生需要學識將實際問題轉化為數學方程，並且**主動考慮**通過解方程嚟找到答案！💡

# # # 點解過渡咁難？

1. **符號化嘅理解**：學生需要理解代數符號嘅意義，例如「=」唔再只係表示計算數字答案，而係表示方程兩邊嘅數值相等，答案都可以係代數式！😲有好多學生習慣咗由細到小五所有答案都係確實嘅數字，完全接受唔到答案係英文字母之餘，仲夾雜「未計完」嘅算式。 呢種轉變對習慣咗算術思維嘅學生嚟講，可能會造成混淆。😵

2. **抽象化嘅挑戰**：喺代數思維中，學生需要將具體嘅數字問題一般化（generalize)，用符號嚟表示，仲要學好多唔同嘅概念！🧠 呢要求學生具備更高層次嘅思維能力，並且能夠理解如何將問題情境轉化為方程式！📈

3. **結構化思維**：代數思維強調運算嘅結構性，而算術思維則偏向程序性計算。🔄 學生需要學習如何將問題分解為多個步驟，並理解每一步嘅意義，呢樣對習慣咗直接計算嘅學生嚟講，可能會感到困難！😰

由算術思維過渡到代數思維真係一個大挑戰，但只要持之以恆，用啱方法，最後都會有回報！💪✨有機會再分享吓同學可以點自救、補習老師可以點幫忙。

隨住JUPAS 改選塵埃落定，
想同大家分享吓點預備大專程度嘅數學同統計。
我會從三個方向講。

第一，其實最理想一定係睇書。
肥貓老師幫大家精選咗3 Set開源網上教科書：

1. Calculus 微積分 (易明，連練習加答案）
https://personal.math.ubc.ca/~CLP/

2. Statistics 統計 (普及嚟講，揀咗本易啲嘅Business Statistics
https://stats.libretexts.org/Bookshelves/Applied_Statistics/Business_Statistics_(OpenStax)

3. Linear Algebra 線性代數(中大都用呢本，建議知道要讀呢啲嘅M2人都自習定先）
http://linear.ups.edu/html/fcla.html

其二，就係而家後生仔比較流行嘅睇片。
一般嚟講建議睇Khan Academy同MIT,
中文可以考慮台大。
不過都可以按自己要求search,
key word 係open course/開放式課程。
亦有唔少同學鍾意睇返Herman Yeung,
不過要留意返課程深度同難度。
同埋之前都已經宣傳過小弟負責嘅project,
主打用返大學嘅Study Notes 同用廣東話講（連字幕）。
https://youtube.com/.sta.elearn

最後，就係搵人問。
睇落好頹，但實際上「學問」正正係讀大專最需要學嘅嘢。
一般建議問返師兄姐、數學叻，
或者繼續搵補習老師。
考慮到都有好多同學唔方便問人，
我都整咗個Bot 專答呢啲問題。
https://poe.com/UniMath
佢除咗可以用文字解釋大部分year 2以內嘅數學同統計概念，
你仲可以問佢你嗰科通常要學邊啲數或者點樣銜接。
至於要計數，都係搵返Wolfram 或者 Gpt-4o 好啲。

最後歡迎大家留言問我，祝大家U Life 順利！

eLearn@CUHK Statistics: We are STATISTICS! We are the Department of Statistics at The Chinese University of Hong Kong. Through our YouTube channel, we offer video tutorials, lectures and full online courses covering a wide range of topics - from basic statistics concepts to advanced statistical methods. Our materials aim to supplement univer...

我不嬲唔係果粉，都唔係科技宅，不過今次睇落iPadOS 18 對數學教學嚟講都幾有用吓！🤩

根據官方發佈會，佢哋新出嘅Math Notes 計數機真係好正！🥳 用家可以打字或者用Apple Pencil 寫條算式，佢就會即刻自動排版，排靚佢再幫手計埋！👏 真係勁方便，唔使再好似以前噉，手寫完又要再撳Cal機！🤯

Math Notes仲支援手寫自定Variable，之後就可以Set up equation 。根據我哋輸入嘅Variables, 佢就會去計答案、畫圖、仲可以隨時改個Variable！😎

總括嚟講，今次Apple做到將Cal 機融入到我哋慣用嘅「手計」模式，自動幫我哋處理晒啲機械性嘅步驟。可以話為未來嘅數學教學帶嚟好大衝擊‼️

Source: Apple

前天 雷丘律師就決定是你了 告訴我們一個無用的小知識：打麻將的時候，如果湊齊 π 的整數位到小數點後第 15 位數字（共 16 張牌），再拿到小數點後第 16 位數字，那麼你就可以胡牌了喔！
　​　　​　
太神了吧！到底怎麼發現的？🤩
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π 有一個著名的性質：在 π 的無限多位小數中，我們一定能夠找到一串數字剛好是你的生日，也可以找到你的手機號碼，或是你的「身高加上體重，再乘以年齡」的結果。
　​　
只是沒想到這麼巧，前 17 個數字就已經達成了胡牌的條件，也就是要能湊出： 3 張一組的吃（例如1️⃣2️⃣3️⃣）或碰（例如9️⃣9️⃣9️⃣），總共五組；剩下 2 張組成對子（例如5️⃣5️⃣）。
　​　
前 17 個數字的組成是這樣的。
五組吃或碰：1️⃣2️⃣3️⃣、1️⃣2️⃣3️⃣、3️⃣4️⃣5️⃣、6️⃣7️⃣8️⃣、9️⃣9️⃣9️⃣
一組對子：5️⃣5️⃣
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這超難耶！
　​　
而且，理論上 0 出現的次數應該是跟其他數字差不多的；但麻將的牌裡卻沒有「零萬」。要用 π 的數字湊出胡牌，就要先找到「連續 17 個」以上的「非零」數字才行！簡直難上加難！💥
　​　
Ｋ編用 Google Spreadsheet 實際研究 π 的小數點後 100 位以內的數字，目前也只發現了 4 組這樣的連續數字。（如果我遺漏了請跟我說！🙏）
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其中，從小數點後的第 50 位開始，就沒有任何連續 17 位非零數字了。而小數點後第 32 位也是個 0。這兩個 0 之間，就剛好夾了 17 個非零數字！這 17 個數字也能胡嗎？
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答案是可以！！！🤯
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研究的過程中，我們發現還有好多可以繼續探究的主題。例如：0 出現的頻率、連續非零數字有多長、怎麼快速判定胡牌⋯⋯等。很值得各位老師帶著同學深入研究喔！🎉
　​　
原來，雷丘律師您打的不是麻將，是數學！😎

舊文分享，稍作修改



教咗十二年，好多朋友同學生喺揀M0/1/2嗰陣，都問過我意見🤔，喺呢篇文章入面我會提供啲建議畀大家參考下📝。

老實講，讀M1/2嘅主要原因係可以增加入大學嘅機會🎓。超過80％嘅UGC資助學士課程都將M1/M2計入加權科目📊。對於一啲好大競爭嘅專業科，好似精算同計量金融，就計得特別重⚖️。仲有啲特定嘅學科專業需要M1/M2作為基本入讀條件🚪。我當年就喺M2拎咗5*，都幫我入咗一科要讀M1/2先入得嘅科🌟。呢篇文章最後會有個簡表，幫你揀選最啱你志向嘅延伸單元📈。

如果你未有清晰嘅未來規劃，咁我建議你根據自己嘅學習風格揀其中一個延伸單元 🛤️。

微積分同統計學（M1）重視應用多過理論，成日問「What」類型嘅問題，要你搵出實際嘅數字答案🔢。如果你將來工作會常用到數學工具做研究同分析，咁M1就好啱你🔍。

而代數同微積分（M2）就著重探索抽象概念同理論，問「Why / How」嘅問題，唔係計數咁簡單🤷‍♂️。佢可以幫你準備好入讀啲非常之著重數學理論同嚴格嘅科學模型嘅學科📚。

如果你對數學或者同數字同數據相關嘅職業有興趣，揀M1/2就一定好啱你👍😄

點樣揀M1同M2：
如果你知道自己想喺大學讀咩專業，就揀一門可以幫你準備相關專業嘅DSE課題🎯。
你想發展嘅專業：
* 工商管理與會計
* 社會科學
* 醫學與健康科學
=> M1📊
* 應用科學
* 工程
* 數學與科學
=> M2📐

如果你仲未知道自己想喺大學讀咩，就揀一門啱你學習風格嘅DSE課題🌈。
你鍾意嘅係：
* 了解理論應用
* 尋找現實問題嘅解決方案
* 運用數學公式同模型
=> M1📈
* 思考抽象嘅理論
* 搵出問題嘅方式同原因
* 研究同分析數學
=> M2🔢

#數學
#數學教育

話說我前分司都係一間e learning公司🏢，
而我亦做過一啲小型嘅非正式研究🔍。
今次想分享吓其中一個📤。

呢個研究係想搵出🔎
唔識中文嘅人👥，
應該優先學邊100個中文字🈯，
先可以有最基本嘅中文語言能力🗣️。

難點在於唔係搵頭100個最常出現嘅中文字就搞掂🚫，
要真係組到詞句先得🧩。
呢個時候我先發現大學學嘅統計學有好多可能性📈，
亦令我試咗好多嘢🧪，
有機會再講🗨️。

以下係長年最常出現嘅十個中文字（書面語）嘅統計圖📊，
咁啱第十一個開始已經完全追唔上第十個🏃‍♂️💨。
不如大家又留言估吓係邊十個字吖🤔！

究竟邊一個發明咗數學折磨人類🤔？
就連達爾文呢位大名鼎鼎嘅生物學家都曾經咁諗🧐。
當佢仲係中學生嘅時候，
都好討厭數學👎。
佢淨係鍾意簡單嘅運算，
比如「交叉相乘」🔄，
最憎啲勁複雜嘅數學論證🙅‍♂️。
我相信大家都好有共鳴👌。

但係，
當達爾文開始研究植物雜交嗰陣，
佢同數學嘅關係就開始有微妙嘅變化🌱➕🔢。

有一次，
佢透過同金魚草做實驗，
發現咗雜交植物比起自花授粉嘅植物更加強壯💪。
達爾文覺得呢個結果非常之有趣🤩，
決定將實驗擴大到其他植物，例如栗米🌽。
佢用咗特別嘅方法將啲種子成雙成對噉種👫，
以便控制環境變數嘅影響🌤️。

但係達爾文好快就發現，
原來因為佢數底唔夠深厚，
佢冇辦法準確描述佢嘅研究成果📉。
佢自己惡補過啲數學都發現搞唔掂📚，
唯有搵佢老表高爾頓幫手👨‍🏫。
高爾頓係有份發明標準差Standard Deviation 嘅統計學大師🎓，
但就連佢都唔肯定達爾文觀察到嘅差異係咪只係純屬偶然🎲。

好彩🍀，
幾十年後筆名Student 嘅數學家高塞特發明咗咗t-test呢個強大嘅工具🛠️。
呢個工具令到達爾文可以證實到自己觀察到嘅差異係真係有顯著性📊，
而唔係單純嘅偶然🚫。

經過幾十年，
達爾文由最初好厭惡數學，
慢慢轉變成對數學嘅力量敬而生畏🔢💡。 喺佢嘅自傳入面，
佢仲大方承認後悔冇早啲學識更多高階數學：
「因為識數嘅人就好似比人多咗一種特別嘅感官👀。」

所以，
即使係歷史最偉大嘅學者之一，
都要克服自己嘅恐懼同弱項🦸‍♂️。
達爾文嘅故事證明咗，
只要有毅力同保持開放嘅態度🌟，
即使係你曾經討厭嘅科目，
都可以變成你尋求新知識嘅鑰匙🔑。
慢慢試吓接受數學，
佢可能會喺你意想不到嘅時候大派用場🎁！

今次我想講吓初中課程入面，Binary System二進制有咩用，同點樣教得有趣啲。以下係我嘅真人真事教學例子：

想像一吓你係老師，你有四條日常生活是非題想問學生。每條題目都有個分數，第一題1分，第二題2分，第三題4分，第四題8分。如果學生答啱咗，就叫佢心入面或紙上面加嗰個分數；答錯或者唔想答，就唔使加分。重點係你唔可以睇到佢哋嘅作答或計算過程。

最後，當學生答哂4題之後，佢哋只需要講返個總分俾你知，你就可以同佢講返佢每題答咗咩，就好似「讀心」噉。

因為每條題目嘅分數都係前一題嘅兩倍，所以，當你知道總分之後，你就可以用二進制嘅方法，將總分倒推返每條題目嘅分數，從而推斷出學生每條題目嘅答案。

呢個方法其實就係二進制系統嘅一個現實應用。二進制系統只用到0同1兩個數字，好似係我哋嘅是非題一樣。喺現實生活裏面，二進制系統係非常重要嘅，因為電腦處理資訊嘅方式就係通過二進制嚟進行嘅。

所以，當你用呢種方法問學生題目，你其實已經喺教佢哋二進制嘅概念，同時又展示咗佢哋二進制喺日常生活中嘅應用。

先喺度分享返一篇以前寫落嘅教學心得，
今次稍為修改過～



喺我嘅課堂上，
我每次都會先同啲小朋友玩啲同數學同邏輯推理有關嘅熱身小遊戲，
噉佢哋就可以動下腦筋，
慢慢培養對數學嘅興趣。

遊戲能夠有效噉引起小朋友嘅學習動機，
令佢哋搵到啱用嘅數學概念，
然後應用喺同日常生活入面，融會貫通。

家長可以參考下面幾個例子，
了解點樣透過遊戲將數學帶入生活：

1.
小朋友嘅好奇心係無窮無盡嘅，
佢哋都鍾意玩猜謎類嘅遊戲。
想要每日都用到佢哋呢種好奇心，
估算遊戲算係一個好玩又簡單嘅方法。

遊戲可以好簡單，
又可以隨你所想提高難度，譬如：
估下手上本書有幾多頁、
睇下邊個可以翻到最接近第50頁、
邊個可以喺廚房揀到重量啱啱好1公斤嘅小物件、
邊個可以合埋眼準確數到20秒等等。

呢啲都係將課本上嘅知識變成實體，
同時幫到小朋友訓練數感，
仲可以將數學應用喺日常生活中嘅好方法。
玩估算遊戲嘅好處係，
可以教到小朋友喺錯誤中學習，
而唔係淨係亂估。

2.
桌上遊戲同卡牌遊戲多年嚟都好受歡迎，
當中有好多都包含數字同買賣元素，
正正係教小朋友活用數學嘅好工具。

以大富翁為例，
小朋友可以透過模擬現實世界嘅付款同找續動作，
一路練心算，一路掌握到金錢嘅概念。
而家電子付款愈嚟愈普遍，
所以呢代嘅小學生對錢嘅概念比較弱。
所以買賣類嘅遊戲就啱哂填補呢個空缺，
又可以令佢哋喺玩樂中學數學。

數字卡牌遊戲，
好似UNO、Rummikub、誰是牛頭王，
都係好玩嘅遊戲，
規則同計算都唔太複雜，
但係可以喺玩嘅過程中培養數感。

3.

好多家長都好擔心自己嘅小朋友沉迷電子遊戲，
呢樣係好容易理解嘅。
但係，
有好多遊戲都可以幫到小朋友建立重要嘅數學技能，
玩呢啲遊戲嘅時間都可以用得好有價值。

以Pokemon遊戲為例，
因為遊戲入面嘅資源有限，
玩家需要謹慎分配，
用最少嘅付出換取最大嘅收益。
點解唔上網搵下Pokémon相關嘅數學資源，
俾佢哋學以致用呢？
當數學變成咗征服遊戲嘅工具，
你就會好佩服小朋友對學習嘅熱情！

用啱方法學數學，
唔單止可以應用喺日常生活，
仲可以享受解開各種難題嘅樂趣。
我哋一齊玩轉數學啦！