École AVOSZ

02/07/2026

Découvrez une méthode complète pour déterminer les facteurs invariants et construire la réduction de Jordan d'une matrice non cyclique, avec une résolution détaillée adaptée aux étudiants de classes préparatoires MP.

Utilisez les sous-espaces cycliques pour déterminer la matrice de Frobenius et la matrice de Jordan d'un endomorphisme, dans le cas où il n'est pas cyclique.

14/06/2026

L'article détaille chaque étape de l'algorithme : création des zéros sous la diagonale, construction progressive des matrices intermédiaires et obtention finale d'une matrice triangulaire inférieure (L) et d'une matrice triangulaire supérieure (U).

Une approche concrète et pédagogique pour mieux comprendre les mécanismes de la décomposition LU, un outil incontournable en algèbre linéaire et dans la résolution de systèmes d'équations.

📚 Que vous soyez étudiant en classe préparatoire ou simplement curieux d'approfondir vos connaissances en mathématiques, cet exemple entièrement rédigé vous guidera pas à pas.

Employez les matrices élémentaires afin d'obtenir une décomposition LU.

23/04/2026

Peut-on avoir une union de deux sous-espaces vectoriels qui reste un sous-espace vectoriel ?

Il est montré quelque chose de contre-intuitif :
👉 l’union de sous-espaces vectoriels n’est presque jamais stable,
👉 sauf si une structure d’inclusion forte existe entre eux.

On explore ici une idée clé du programme :
la structure des sous-espaces impose des contraintes très strictes sur leurs unions.

📌 Ce type de raisonnement est typique des colles et des concours :
- analyse de cas,
- raisonnement logique,
- manipulation des inclusions.

🚀 Si tu es en MPSI et que tu bloques sur ce type de raisonnement, entraîne-toi dessus : c’est exactement ce qui fait la différence en concours.

Si l'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, alors l'un d'entre eux contient l'autre.

23/04/2026

Peut-on avoir une union de deux sous-espaces vectoriels qui reste un sous-espace vectoriel ?

Il est montré quelque chose de contre-intuitif :
👉 l’union de sous-espaces vectoriels n’est presque jamais stable,
👉 sauf si une structure d’inclusion forte existe entre eux.

On explore ici une idée clé du programme :
la structure des sous-espaces impose des contraintes très strictes sur leurs unions.

📌 Ce type de raisonnement est typique des colles et des concours :
- analyse de cas,
- raisonnement logique,
- manipulation des inclusions.

🚀 Si tu es en MPSI et que tu bloques sur ce type de raisonnement, entraîne-toi dessus : c’est exactement ce qui fait la différence en concours.

20/03/2026

💡 Critère puissant de diagonalisabilité (à connaître absolument en MP)

Un résultat clé en algèbre linéaire :
👉 Un endomorphisme est diagonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

🔎 Idée à retenir
Un polynôme annulateur contient toute l’information spectrale
S’il est produit de facteurs linéaires distincts, alors :
➡️ pas de blocs de Jordan
➡️ base de vecteurs propres
➡️ donc diagonalisable

🧠 Pourquoi c’est puissant ?
Évite de calculer tous les sous-espaces propres
Permet de conclure très rapidement dans un exercice
Approche algébrique souvent plus efficace que la méthode classique

⚡ Application typique
Si tu montres que
P(f) = 0 avec
P(X) = (X − λ₁)…(X − λₖ) et les λᵢ distincts
👉 alors f est diagonalisable immédiatement

📌 À relier avec :
polynôme minimal
lemme des noyaux
multiplicité algébrique vs géométrique

🎯 Réflexe MP :
Dès que tu obtiens un polynôme annulateur simple
👉 pense diagonalisation directe

02/03/2026

Saviez-vous qu’on peut caractériser l’intégrabilité d’une fonction sans passer par les limites classiques de Riemann ? 🤔

Le critère de Cauchy en intégration de Henstock–Kurzweil affirme qu’une fonction est HK-intégrable sur [a,b] si, pour tout epsilon > 0, il existe une jauge delta telle que toutes les sommes de Riemann associées à des partitions delta-fines soient arbitrairement proches les unes des autres.

👉 Autrement dit : on contrôle directement la cohérence des approximations.

👉 Résultat : une théorie plus souple et plus puissante que l’intégrale de Riemann, capable d’intégrer davantage de fonctions.

Un thème passionnant pour les étudiants en licence de mathématiques, notamment en analyse réelle.

21/02/2026

Les polynômes de Legendre, obtenus par dérivation de (X²−1)^n, vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre. Cet article montre que Pn satisfait l’équation (X²−1)Pn''(X) + 2X Pn'(X) − n(n+1)Pn(X) = 0 grâce à la formule de Leibniz et aux propriétés des dérivées successives. Un résultat clé en analyse mathématique et dans l’étude des équations différentielles.

Généré automatiquement à partir de l'extrait.

22/01/2026

Résultat clé en théorie des nombres
👉 Pour tout nombre premier p, le groupe des inversibles modulo p noté (Z/pZ)×, est cyclique.
💡 La preuve proposée ici repose sur :
• le théorème de Lagrange,
• l’étude des ordres des éléments,
• le fait qu'un polynôme est scindé à racines simples.
Un résultat fondamental, très utile pour comprendre les racines primitives, les corps finis et la cryptographie 🔐.

22/11/2025

Chers lecteurs,
Une définition cohérente de la signature d'une permutation ainsi que ses conséquences sont explicitées ici.

Utilisez les décompositions de cycles à supports disjoints pour définir la signature d'une permutation et montrer qu'elle a les propriétés attendues.

21/11/2025

Chers lecteurs,
Les effets d'une transposition sur une permutation quelconque sont étudiés en détail.

Décomposez une permutation en produit de transpositions. Réciproquement, à partir d'un produit de transpositions, déterminez le produit de cycles à supports disjoints qui y est associé.