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Peut-on avoir une union de deux sous-espaces vectoriels qui reste un sous-espace vectoriel ?

Il est montré quelque chose de contre-intuitif :
👉 l’union de sous-espaces vectoriels n’est presque jamais stable,
👉 sauf si une structure d’inclusion forte existe entre eux.

On explore ici une idée clé du programme :
la structure des sous-espaces impose des contraintes très strictes sur leurs unions.

📌 Ce type de raisonnement est typique des colles et des concours :
- analyse de cas,
- raisonnement logique,
- manipulation des inclusions.

🚀 Si tu es en MPSI et que tu bloques sur ce type de raisonnement, entraîne-toi dessus : c’est exactement ce qui fait la différence en concours.

École AVOSZ | 152. Quand l’union de deux sous-espaces vectoriels est encore un sous-espace vectoriel Si l'union de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel, alors l'un d'entre eux contient l'autre.

Peut-on avoir une union de deux sous-espaces vectoriels qui reste un sous-espace vectoriel ?

Il est montré quelque chose de contre-intuitif :
👉 l’union de sous-espaces vectoriels n’est presque jamais stable,
👉 sauf si une structure d’inclusion forte existe entre eux.

On explore ici une idée clé du programme :
la structure des sous-espaces impose des contraintes très strictes sur leurs unions.

📌 Ce type de raisonnement est typique des colles et des concours :
- analyse de cas,
- raisonnement logique,
- manipulation des inclusions.

🚀 Si tu es en MPSI et que tu bloques sur ce type de raisonnement, entraîne-toi dessus : c’est exactement ce qui fait la différence en concours.

💡 Critère puissant de diagonalisabilité (à connaître absolument en MP)

Un résultat clé en algèbre linéaire :
👉 Un endomorphisme est diagonalisable ssi il est annulé par un polynôme scindé à racines simples.

🔎 Idée à retenir
Un polynôme annulateur contient toute l’information spectrale
S’il est produit de facteurs linéaires distincts, alors :
➡️ pas de blocs de Jordan
➡️ base de vecteurs propres
➡️ donc diagonalisable

🧠 Pourquoi c’est puissant ?
Évite de calculer tous les sous-espaces propres
Permet de conclure très rapidement dans un exercice
Approche algébrique souvent plus efficace que la méthode classique

⚡ Application typique
Si tu montres que
P(f) = 0 avec
P(X) = (X − λ₁)…(X − λₖ) et les λᵢ distincts
👉 alors f est diagonalisable immédiatement

📌 À relier avec :
polynôme minimal
lemme des noyaux
multiplicité algébrique vs géométrique

🎯 Réflexe MP :
Dès que tu obtiens un polynôme annulateur simple
👉 pense diagonalisation directe

Saviez-vous qu’on peut caractériser l’intégrabilité d’une fonction sans passer par les limites classiques de Riemann ? 🤔

Le critère de Cauchy en intégration de Henstock–Kurzweil affirme qu’une fonction est HK-intégrable sur [a,b] si, pour tout epsilon > 0, il existe une jauge delta telle que toutes les sommes de Riemann associées à des partitions delta-fines soient arbitrairement proches les unes des autres.

👉 Autrement dit : on contrôle directement la cohérence des approximations.

👉 Résultat : une théorie plus souple et plus puissante que l’intégrale de Riemann, capable d’intégrer davantage de fonctions.

Un thème passionnant pour les étudiants en licence de mathématiques, notamment en analyse réelle.

Les polynômes de Legendre, obtenus par dérivation de (X²−1)^n, vérifient une équation différentielle linéaire du second ordre. Cet article montre que Pn satisfait l’équation (X²−1)Pn''(X) + 2X Pn'(X) − n(n+1)Pn(X) = 0 grâce à la formule de Leibniz et aux propriétés des dérivées successives. Un résultat clé en analyse mathématique et dans l’étude des équations différentielles.

École AVOSZ | 394. Une équation différentielle satisfaite par les polynômes de Legendre Généré automatiquement à partir de l'extrait.

Résultat clé en théorie des nombres
👉 Pour tout nombre premier p, le groupe des inversibles modulo p noté (Z/pZ)×, est cyclique.
💡 La preuve proposée ici repose sur :
• le théorème de Lagrange,
• l’étude des ordres des éléments,
• le fait qu'un polynôme est scindé à racines simples.
Un résultat fondamental, très utile pour comprendre les racines primitives, les corps finis et la cryptographie 🔐.

Chers lecteurs,
Une définition cohérente de la signature d'une permutation ainsi que ses conséquences sont explicitées ici.

386. Existence et unicité de la signature pour les permutations | École AVOSZ Utilisez les décompositions de cycles à supports disjoints pour définir la signature d'une permutation et montrer qu'elle a les propriétés attendues.

Chers lecteurs,
Les effets d'une transposition sur une permutation quelconque sont étudiés en détail.

385. Effet d’une transposition sur la décomposition en cycles d’une permutation | École AVOSZ Décomposez une permutation en produit de transpositions. Réciproquement, à partir d'un produit de transpositions, déterminez le produit de cycles à supports disjoints qui y est associé.

Chers lecteurs,
Les déterminants d'ordre 4 sont définis dans cette section à l'aide des déterminants d'ordre 3. Les propriétés essentielles de ces déterminants se répercutent sur les nouveaux.

Chers lecteurs,
Ci-joint voici une définition possible pour les déterminants d'ordre 3 qui permet d'établir leurs premières propriétés fondamentales.

Chers lecteurs,

La formule pi/4 = 4arctan(1/5)-arctan(1/239) peut être démontrée en utilisant les nombres complexes.

Historiquement, cette formule a permis au XVIIIème siècle de calculer une centaine de décimales du nombre pi.

L'inversibilité d'une matrice peut être établie à partir d'opérations élémentaires sur ses lignes.
Si une telle matrice est inversible, on arrivera nécessairement sur la matrice identité.
Si une telle matrice n'est pas inversible, on arrivera nécessairement sur une matrice qui comportera une ligne entièrement nulle.

379. Déterminez si une matrice est inversible ou non inversible avec des opérations élémentaires sur ses lignes | École AVOSZ Déterminez si une matrice est inversible ou non inversible, sans faire appel explicitement à la notion de rang, grâce à des opérations élémentaires uniquement sur les lignes.