07/02/2015
MATEMÁTICAS 4º ESO--- prueba de algebra y aritmetica
TEMA 1: NÚMEROS REALES Y OPERACIONES
• El conjunto de los números reales. Representación sobre la recta.
- Números naturales (N): 0, 1, 2, 3, …
- Números enteros (Z): ... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
- Números racionales (Q): Son los números reales que pueden expresarse como fracción o cociente de dos números enteros p/q.
En forma decimal, pueden ser:
- Finitos. Ejemplo: 19/25 = 0,76
- Infinitos periódicos. Ejemplo: 7/6 = 1,16666…
- Números irracionales (I): Son números reales que no pueden expresarse como fracción. Son números decimales, infinitos, no periódicos.
Ejemplos: ,
El conjunto de los números reales (R) engloba a los racionales y a los irracionales:
R
El conjunto de los números reales se representa sobre una RECTA. Cada número real ocupa un lugar en la recta y a cada punto de la recta le corresponde un número real.
Para realizar una representación correcta se deben situar en primer lugar el 0 y el 1. A partir de ellos, se pueden colocar todos los números enteros. Después, mediante el teorema de Tales, se puede representar cualquier número racional. Finalmente, se pueden representar algunos números irracionales mediante el Teorema de Pitágoras; otros pueden representarse aproximadamente mediante su expresión decimal truncada.
• Conjuntos numéricos en la recta real.
- Conjunto discreto: Se indica con llaves y se representa mediante puntos en la recta. Ejemplo: {-3, 1, 2, 6}
- Intervalo:
-Abierto: Se indica con paréntesis (extremos no incluidos) y se representa en la recta subrayando un segmento y marcando los extremos con puntos blancos. Ejemplo: (-2, 3)
- Cerrado: Se indica con corchetes (extremos incluidos) y se representa en la recta subrayando un segmento y marcando los extremos con puntos negros. Ejemplo: [1, 5]
- Semiabierto: Se indica con un paréntesis (extremo no incluido) y un corchete (extremo incluido); se representa en la recta subrayando un segmento y marcando el extremo no incluido con punto blanco y el incluido con punto negro. Ejemplo: [-5, -3)
- Semirrecta: Un extremo es ó ; el otro extremo puede estar incluido (corchete y punto negro) o no (paréntesis y punto blanco).
Ejemplos: ( , 4]
(2, )
- Conjunto “mezcla”: Incluye varios de los tipos anteriores de conjuntos; se enlazan con el símbolo de unión (U)
• OPERACIONES CON NÚMEROS REALES.
• Potencia:
Definición: an = a•a•a• … •a (n veces)
a: base n: exponente
Ejemplos: • 53 = 5•5•5 = 125 • 36 = 3•3•3•3•3•3 = 729 • 74 = 7•7•7•7 = 2401
Propiedades
• a0 = 1
• a1 = a
• an•am = an+m Ejemplo: 46 • 42 = 48
• an:am = an-m Ejemplo: 57 : 54 = 53
• an•bn = (a•b)n Ejemplo: 34 • 54 = 154
• an:bn = (a:b)n Ejemplo: 165 : 25 = 85
• (an)m = an•m Ejemplo: (32)4 = 38
• a-n = 1/an Ejemplo: 23 : 27 = 2-4 = 1/24
Ejemplos de operaciones con potencias de fracciones:
•
•
•
•
• Uso de la calculadora.
• Raíz:
Definición: significa que
: radicando : índice (si falta, es 2)
Ejemplos: • porque
• porque
• porque
Propiedades
• Equivalencia entre raíz y potencia fraccionaria:
Ejemplos: • •
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• Ejemplo:
Suma/resta de raíces: No se suman o restan directamente; deben extraerse factores.
Ejemplo: ¡OJO!
• Uso de la calculadora.
• Logaritmo:
loga x : Se lee “logaritmo en base a de x”
a: base (si falta, es 10) x: argumento
Definición: significa que
“El resultado de un logaritmo es el exponente al que se debería elevar la base para obtener el argumento”.
Ejemplos: • porque
• porque
• porque
• porque
• porque
Propiedades
• El argumento de un logaritmo debe ser positivo: Por ejemplo, no existe ni
• La base de un logaritmo debe ser positiva y diferente de 1: Por ejemplo, no existen , ,
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• Ejemplo:
• (El logaritmo de un producto es la suma de logaritmos)
Ejemplo:
• (El logaritmo de un cociente es la diferencia de logaritmos)
Ejemplo:
• (Un exponente en el argumento puede sacarse fuera del logaritmo multiplicando)
Ejemplo:
•
Ejemplo:
• Uso de la calculadora.
• Síntesis de logaritmos.
• Interés compuesto.
Ejemplo: Disponemos de 10000 euros. Los invertimos en un banco que ofrece un interés del 4% anual. ¿Cómo va creciendo el capital a lo largo de los años?
Fórmula de interés compuesto: C = C0•(1 + r)t
C0 : capital inicial.
r : rédito = interés/100.
t : años transcurridos
C : capital final, pasados t años.
• Problemas de interés compuesto: Se emplean potencias para el cálculo de C, raíces para el cálculo de r y logaritmos para el cálculo de t.
TEMA 2: POLINOMIOS
• Definiciones iniciales.
- Expresión algebraica: Expresión matemática en la que aparecen números y letras (variables) relacionados mediante operaciones algebraicas.
Ejemplos: •
• Fórmulas geométricas:
- Monomio: Expresión algebraica en la que sólo aparecen productos y potencias enteras positivas.
Ejemplos: • es monomio
• no es monomio
• no es monomio
- Polinomio: Suma o resta de monomios.
Ejemplo: P(x, y, z) =
- Polinomio de una sola variable: P(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 + … + anxn
a0, a1, a2, a3, …, an son los coeficientes del polinomio.
Grado: n (potencia más alta de x)
Toda expresión algebraica se convierte en un número real cuando se sustituyen las variables por valores.
• OPERACIONES CON POLINOMIOS.
• Suma/resta.
Se agrupan potencias iguales de x. Ejemplo:
Sean P(x) = 2x – 4x3 + 5x4 y Q(x) = 3 + 4x + x2 + 3x3
P(x) + Q(x) = (2x – 4x3 + 5x4) + (3 + 4x + x2 + 3x3) = 3 + 6x + x2 – x3 + 5x4
P(x) – Q(x) = (2x – 4x3 + 5x4) – (3 + 4x + x2 + 3x3) = –3 – 2x – x2 – 7x3 + 5x4
• Producto.
Se aplica la propiedad distributiva. Ejemplo:
Sean P(x) = 3 + 2x2 y Q(x) = 4x – x2 + 2x3
P(x)•Q(x) = (3 + 2x2)•(4x – x2 + 2x3) = 12x – 3x2 + 6x3 + 8x3 – 2x4 + 4x5 =
12x – 3x2 + 14x3 – 2x4 + 4x5
4•Q(x) = 4(4x – x2 + 2x3) = 16x – 4x2 + 8x3
• División.
Se divide el término de mayor grado del dividendo entre el término de mayor grado del divisor. El resultado se coloca en el cociente, se multiplica por el divisor y se resta lo que se obtiene al dividendo. Se simplificará el término de grado mayor y se repetirá el proceso hasta que quede un resto de grado menor que el divisor. Ejemplo:
Solución: Resto R(x) = 7x – 7
Cociente C(x) = 2x2 + x - 1
Se pude comprobar la división mediante la propiedad fundamental:
Dividendo = Divisor•Cociente + Resto
• División por Ruffini.
Es un procedimiento simplificado para obtener el cociente y el resto de una división. SÓLO se puede aplicar cuando el divisor es de la forma . Ejemplos:
• Realizar la división
Resultado: Cociente C(x) =
Resto R = -4
• Realizar la división
Resultado: Cociente C(x) =
Resto R = 6
Debe tenerse en cuenta que las potencias ausentes deben incluirse con coeficiente nulo y que el grado del cociente es una unidad inferior al del dividendo.
• Identidades notables
Error común a evitar:
• Cuadrado de un binomio:
• Cubo de un binomio:
• Cuadrado de un trinomio:
• Suma por diferencia:
• RAÍCES DE UN POLINOMIO
Llamamos raíces de un polinomio a los valores reales que, sustituidos en el lugar de la x, producen resultado nulo. Un polinomio de grado n tiene a lo sumo n raíces.
Ejemplo: Dado P(x) = x3 – 7x + 6
x = 1 P(1) = 13 – 7•1 + 6 = 0 x = 1 es raíz de P(x)
x = 2 P(2) = 23 – 7•2 + 6 = 0 x = 2 es raíz de P(x)
x = 3 P(3) = 33 – 7•3 + 6 = 12 x = 3 NO es raíz de P(x)
x = 0 P(0) = 03 – 7•0 + 6 = 6 x = 0 NO es raíz de P(x)
x = -3 P(-3) = (-3)3 – 7•(-3) + 6 = 0 x = -3 es raíz de P(x)
• Raíces de un polinomio de grado 1: Siempre existe y es única. Se obtiene igualando a cero el polinomio y despejando. Ejemplo:
Raíz de P(x) = 3x +7 3x + 7 = 0 3x = -7 x = -7/3
• Raíces de un polinomio completo de grado 2: Puede haber dos raíces, una raíz doble o ninguna. Se obtienen aplicando la fórmula . Ejemplos:
• Raíces de P(x) = 3x2 – 5x – 2
• Raíces de Q(x) = -2x2 + 8x – 8
x = 2 (doble)
• Raíces de R(x) = 3x2 + 5x + 4
No existen raíces
• Raíces de un polinomio incompleto de grado 2: Si falta el término independiente, se saca factor común a x; una de las raíces es 0. Si falta el término en x, se iguala el polinomio a 0 y se despeja; las raíces resultantes serán opuestas.
Ejemplos:
• Raíces de P(x) = 8x2 – 5x
• Raíces de Q(x) = 2x2 – 18
• Raíces de un polinomio de grado superior a 2:
Si el polinomio no tiene término independiente, se saca factor común a x y la primera raíz sería 0. Si tiene término independiente, debe aplicarse el Teorema del resto.
Teorema del resto: “Al dividir un polinomio P(x) entre x – a el resto coincide con P(a)”.
Ejemplo: Si dividimos
Comprobemos que el resto coincide con P(3): P(3) = 2•34 – 7•33 + 8•3 – 1 = -4
Aplicación del teorema del resto: Si al dividir un polinomio entre x – a el resto es cero, entonces x=a es una raíz del polinomio.
El Teorema del resto sólo permite hallar raíces enteras, que han de buscarse entre los divisores –positivos y negativos- del término independiente. Si un polinomio de grado mayor que 2 sólo tuviera raíces no enteras, entonces no podrían ser determinadas.
Tras obtener una raíz por aplicación del Teorema del resto, se siguen buscando más raíces en el cociente que resulta de la división (si fuera de grado mayor que dos, de nuevo aplicando el Teorema del resto; si fuera de grado dos, mediante la fórmula correspondiente).
Ejemplos:
• Hallar las raíces de P(x) = x4 + 4x3 – 13x2 – 4x + 12
Divisores del término independiente: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12
x2 + 4x – 12
Solución: Raíces del polinomio: x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2, x4 = -6
• Hallar las raíces del polinomio P(x) = x4 – 2x3 – 9x2 + 18x
Como no hay término independiente, se puede sacar factor común a x y la primera raíz es x1 = 0.
P(x) = x(x3 – 2x2 – 9x + 18)
Seguimos buscando raíces del polinomio entre paréntesis. Los divisores del término independiente son: 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18
x2 – 9 = 0 x2 = 9
Solución: Raíces del polinomio: x1 = 0, x2 = 2, x3 = 3, x4 = -3
Regla práctica: Si la suma de todos los coeficientes de un polinomio es cero, entonces x = 1 es raíz.
• Factorización de un polinomio.
Factorizar un polinomio es descomponerlo en un producto de polinomios más sencillos.
Dado el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + … + anxn , podemos encontrarnos dos casos:
1º El número de raíces del polinomio coincide con su grado (contando dos veces las raíces dobles): x1, x2, x3 … xn
Factorización: P(x) = an (x – x1) (x – x2) (x – x3) • • • (x – xn)
Ejemplos:
• Factorizar el polinomio P(x) = 2x4 – 8x3 + 4x2 + 8x – 6
Sus raíces son x1 = 1 (doble), x2 = -1, x3 = 3.
P(x) = 2(x – 1)2(x + 1)(x – 3)
• Factorizar el polinomio P(x) = x3 + x2 – 12x
Sus raíces son x1 = 0, x2 = 3, x3 = -4.
P(x) = x(x – 3)(x + 4)
2º El número de raíces del polinomio es menor que su grado. Esto suele ocurrir cuando, tras encontrar raíces por Ruffini, queda un cociente de grado 2 sin raíces, que indicaremos C(x). Sean las raíces x1, x2, x3 … xp
Factorización: P(x) = (x – x1) (x – x2) (x – x3) • • • (x – xp)• C(x)
Ejemplo:
• Factorizar el polinomio P(x) = 2x4 – 13x3 + 17x2 – 11x + 5
Sus raíces son x1 = 1, x2 = 5; queda un cociente final de grado 2 sin raíces, que es C(x) = 2x2 – x + 1.
P(x) = (x – 1)(x – 5)( 2x2 – x + 1)
• FRACCIONES ALGEBRAICAS.
Son fracciones con polinomios en el numerador y en el denominador. Pueden sumarse/restarse, multiplicarse, dividirse y simplificarse.
• Simplificación: se factorizan numerador y denominador y se simplifican los factores comunes.
Ejemplo:
(OJO con los errores al simplificar)
• Producto: Se efectúa igual que con fracciones ordinarias, es decir, multiplicando los numeradores y multiplicando los denominadores.
• Cociente: se efectúa igual que con fracciones ordinarias, es decir, mediante un producto cruzado.
Ejemplo:
• Suma/resta: Se reducen ambas fracciones a común denominador y se suman/restan los numeradores. Téngase en cuenta que cada vez que se introduce un factor en el denominador debe introducirse el mismo factor en el numerador, para que la fracción no cambie.
Ejemplos:
•
•
=
TEMA 3: ECUACIONES
Ecuación: Igualdad entre dos expresiones algebraicas que se satisface sólo para algunos valores de x. Resolver una ecuación es encontrar los valores de x que satisfacen la igualdad. Para ello se aplica la siguiente regla general:
“Si en una igualdad se aplica la misma operación algebraica a ambos miembros, la igualdad sigue siendo cierta”.
• Ecuaciones polinómicas: Igualdad de dos expresiones polinómicas. Su resolución se lleva a cabo, de manera general, del siguiente modo:
1º Si hay denominadores, reducir a común denominador y suprimirlo.
2º Si hay paréntesis, operar para eliminarlos.
3º Agrupar todos los términos en un miembro, de manera que la ecuación quede P(x) = 0.
4º Las raíces del polinomio P(x) serán las soluciones de la ecuación.
Ejemplos:
•
SOLUCIÓN
•
SOLUCIONES
• Ecuaciones bicuadradas: Son ecuaciones en las que sólo aparecen potencias pares de x y término independiente. Se resuelven mediante un cambio de variable: x2 = t, x4 = t2, y después se aplica la fórmula para polinomios de grado 2.
Ejemplo:
• x4 – 13x2 + 36 = 0
Fórmula: SOLUCIONES
Puede aparecer alguna solución negativa de t, que no llevaría soluciones asociadas de x.
• Ecuaciones racionales: Son ecuaciones en las que aparecen fracciones algebraicas. Se resuelven del siguiente modo:
1º) Se reducen todos los términos a denominador común, que habitualmente será el producto de los denominadores que haya.
2º) Se suprimen denominadores.
3º) Se resuelve la ecuación polinómica resultante.
Ejemplo:
•
• Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas: Su forma general es
donde son coeficientes y son términos independientes. Hay dos métodos principales de resolución:
- Sustitución: Se despeja una incógnita en una ecuación y se sustituye en la otra, de modo que quede una ecuación con una incógnita.
- Reducción: Se multiplican las ecuaciones por cantidades convenientes para que, al sumar, se elimine alguna de las incógnitas.
En ambos casos, si alguna ecuación tiene denominadores conviene empezar reduciendo a común denominador y suprimiéndolos.
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema, por los dos métodos.
• Sustitución: Despejamos x en la segunda ecuación y sustituimos en la primera
Sustituimos el valor obtenido de y en el despeje de x:
SOLUCIÓN
• Reducción: Multiplicamos la segunda ecuación por 2 y sumamos ecuaciones.
SUMA
Sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones, por ejemplo en la segunda:
SOLUCIÓN
TEMA 4: ESTUDIO DEL SIGNO. INECUACIONES
A) ESTUDIO DEL SIGNO
Estudiar el signo de una expresión algebraica de una sola variable consiste en determinar para qué valores de la variable es positiva la expresión y para qué valores es negativa. Nos limitaremos a expresiones algebraicas polinómicas y racionales.
• Estudio del signo de polinomios: Es fundamental determinar las raíces del polinomio (puntos donde el polinomio se anula) y factorizarlo. Después aplicamos las siguientes reglas:
- Entre dos raíces consecutivas, el signo del polinomio no cambia.
- A los lados de una raíz simple (o triple), el signo del polinomio es diferente.
- A los lados de una raíz doble, el signo del polinomio es el mismo.
Aplicando estas reglas, basta con sustituir un valor de x en el polinomio factorizado para poder deducir el signo en cualquier región de la recta.
Ejemplos:
• Estudiar el signo de P(x) = 2x3 + x2 – 21x.
Raíces: x1 = 0, x2 = 3, x3 = -7/2 Factorización: P(x) = 2x(x – 3)(x + 7/2)
Sustituimos en la factorización x = 4 P(x) = + • + • +
En la zona de la derecha el signo de P(x) es +. Aplicando las reglas anteriores quedará:
ESTUDIO DEL SIGNO: P(x) positivo en (-7/2, 0) U (3, )
P(x) negativo en (- , -7/2) U (0, 3)
P(x) se anula en x1 = 0, x2 = 3, x3 = -7/2
• Estudiar el signo de P(x) = -x3 - x2 + 5x - 3
Raíces: x1 = 1 (doble), x2 = - 3 Factorización: P(x) = – (x – 1)2(x + 3)
Sustituimos en la factorización x = 2 P(x) = – • + • +
En la zona de la derecha el signo de P(x) es –. Aplicando las reglas anteriores quedará:
ESTUDIO DEL SIGNO: P(x) positivo en (- , -3)
P(x) negativo en (-3, 1) U (1, )
P(x) se anula en x1 = - 3, x2 = 1
• Estudio del signo de fracciones algebraicas: Es fundamental determinar las raíces del numerador y del denominador y factorizar ambos. Si es posible simplificar la fracción, se simplifica. Después aplicamos las siguientes reglas:
- Entre dos raíces consecutivas, el signo de la fracción algebraica no cambia.
- A los lados de una raíz simple (o triple), el signo de la fracción algebraica es diferente.
- A los lados de una raíz doble, el signo de la fracción algebraica es el mismo.
- En las raíces del numerador, la fracción algebraica se anula.
- En las raíces del denominador, la fracción algebraica no está definida (imposibilidad de dividir por 0).
Aplicando estas reglas, basta con sustituir un valor de x en la fracción algebraica factorizada para poder deducir el signo en cualquier región de la recta.
Ejemplo:
• Estudiar el signo de
Raíces del numerador: x1 = - 2 Raíces del denominador: x2 = 1, x3 = -1
Fracción algebraica factorizada:
Sustituimos en la factorización x = 0
En la zona entre -1 y 1 el signo es +. Aplicando las reglas anteriores quedará:
ESTUDIO DEL SIGNO: Fracción positiva en (- , -2) U (-1, 1)
Fracción negativa en (-2, -1) U (1, )
Fracción se anula en x1 = -2
Fracción no existe en x2 = -1, x3 = 1
B) INECUACIONES Y SISTEMAS
Relación entre dos expresiones algebraicas, establecida mediante alguno de los signos de desigualdad: < (menor que), > (mayor que), (menor o igual que), (mayor o igual que).
Ejemplo: 4x – 5(x – 1) > 2 + x
Una inecuación tiene por lo general infinitas soluciones. En el ejemplo anterior, si probamos diferentes valores:
x = 0 SI es solución
x = -2 SI es solución
x = 1 SI es solución
x = 2 NO es solución
Las soluciones de una inecuación se indican mediante INTERVALOS.
• Inecuaciones polinómicas de grado 1: A ambos lados de la desigualdad sólo aparecen polinomios de grado 1. Se despeja la x igual que si se tratase de una ecuación, salvo por la siguiente regla: “Si se multiplican o dividen los dos miembros de la inecuación por una cantidad negativa, el signo de desigualdad debe invertirse”.
Ejemplos:
•
SOLUCIÓN: [17/4, )
•
SOLUCIÓN: (- , 3/19)
En general, para evitar aplicar la regla de inversión de signo, conviene agrupar las x en el miembro en que quede una cantidad positiva de las mismas.
• Inecuaciones polinómicas de grado mayor que 1: A ambos lados de la desigualdad aparecen expresiones polinómicas de cualquier grado. Se agrupan todos los términos en un miembro y se estudia el signo del polinomio resultante. El signo de desigualdad indicará qué regiones deben elegirse como solución. Las raíces se incluyen en la solución si el signo es ó , pero no se incluyen si es > ó ó
