10/09/2024
بعد نقاش الامس حول فتح وغلق المجال.
مبرهنة القيم المتوسطة في الدوال الحقيقية: هل تفتح المجالات أم تغلق؟
لدى مبرهنة القيم المتوسطة صياغات عديدة، منها:
الصياغة الأولى:
إذا كانت دالة f معرفة ومستمرة على المجال [a,b]، وكان f(a) × f(b) < 0، فإنه يوجد c من ]a,b[ بحيث f(c) = 0.
بالنسبة لمجال تعريف f، لابد أن يكون مغلقًا لأننا نحتاج إلى جداء الصورتين f(a) × f(b)، وكذلك نحتاج الاستمرارية عند الطرفين. فلو كانت الدالة غير مستمرة عند a أو b، فإن c قد لا يكون موجودًا. مثال على ذلك:
f(x) = x + 1, x ∈ ]0,1]
f(x) = -1, x = 0
لدينا:
f(0) × f(1) = -2 < 0
لكن الدالة لا تنعدم بين 0 و 1.
أما عن كون c ينتمي إلى المجال المفتوح ]a,b[، فهذا واضح، إذ
f(a) × f(b) < 0،
فلا يمكن أن تنعدم f عند a أو b.
وهناك من يشترط شرطًا أعم، وهو
f(a) × f(b) ≤ 0
وعندها يكون c من [a,b].
الصياغة الثانية:
إذا كانت الدالة f معرفة ومستمرة على [a,b]، فإنه مهما كان k محصورًا تمامًا بين f(a) و f(b)، فإنه يوجد c من ]a,b[ بحيث f(c) = k.
بالنسبة لمجال التعريف، يقال فيه نفس ما قيل في الصياغة الأولى.
أما كون c من المجال المفتوح ]a,b[، فهذا يعود لأن k محصور تمامًا بين f(a) و f(b)، فلا يمكن أن يأخذ c قيمة a أو b.
وكما قلنا في الصياغة الأولى، نقول أيضًا في الصياغة الثانية: لو كان k محصورًا بين أو يساوي إحدى القيمتين f(a) أو f(b)، فإن c سيكون من المجال المغلق [a,b].
الصياغة الثالثة:
إذا كانت f معرفة ومستمرة على مجال I، فإنه مهما كان a و b من I، فإن:
[min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))] ⊂ f(I)
وهذه الصياغة هي نفسها الصياغة السابقة ولكن على شكل احتواء. وكون المجال [min(f(a), f(b)), max(f(a), f(b))] مغلقًا ظاهر، إذ أن كلاً من f(a) و f(b) ينتمي إلى f(I).
الصياغة الرابعة:
هي الصياغة الطوبولوجية، التي تنص على أن صورة كل مجال بدالة مستمرة هي مجال (أو مترابط بالمصطلحات الطبولوجية).
وفي هذه الحالة، مجال التعريف قد يكون مفتوحًا أو مغلقًا أو نصف مغلق فكلها مترابطات، المهم هنا هو الاستمرارية.
لكن لا يمكننا أن نتنبأ بشكل الصورة كمجال مفتوح أو مغلق إلا في حالة واحدة، وهي إذا كان مجال الانطلاق مغلقًا ومحدودًا، فهو متراص. ونحن نعلم أن صورة كل متراص بتطبيق مستمر هي متراص، فيكون:
f([a,b]) = [min_a,b f , max_a,b f]
لكن في الحالات الأخرى، فالحالات كلها ممكنة. مثال على ذلك:
sin(R) = [-1,1]
ln(R^+) = R
f(x) = x sin(x), f(R^+) = R
f(x) = 1/x, f(]0,1]) = [1,+∞[
إذن، فتح وغلق المجالات يعود إلى الصياغة المعتمدة لمبرهنة القيم المتوسطة، وكل هذه الصياغات متكافئة، ويمكن استعمال أي منها.
الأستاذ ع
