07/10/2023
OBJETIVO
La finalidad de ´esta trabajo es resolver problemas que han salido en ex´amenes departamentales de c´alculo diferencial (matem´aticas universitarias
I). Servir´an como gu´ıa en la preparaci´on de dicho examen.
Problema 1. Analice la siguiente funci´on, diga si f es continua en todo
R. En caso que sea discontinua, diga d´onde y explique si se trata de una discontinuidad esencial o removible
f(x) = x + 2
x2 x 6 (1)
Soluci´on 1. Se trata del cociente entre una funci´on lineal y una cuadr´atica. Evidentemente, por separado, ambas son continuas en todo punto. El ´unico riesgo para la funci´on f, es exactamente cuando la cuadr´atica es cero, es decir x2 x 6 = 0. Si uitliza la f´ormula general, obtendr´a que x2 x 6 = 0, si x = 2 y x = 3. Entonces, la funci´on f, es discontinua s´olo en dos puntos x = 2 y x = 3, pues no est´a definida en ellos. Ahora, identifiquemos que
tipo de discontinuidad es.
Calculemos l´ım
x + 2
x + 2
x→ 2 x2 x 6 y l´ım x2 x 6.
x→3
Todo se tornar´a m´as simple si observamos que x2 x 6 = (x+2)(x 3):
x + 2
x→ 2 x2 x 6 = l´ım
l´ım
x + 2
x→ 2 (x + 2)(x 3) (2)
= l´ım
1
x→ 2 x 3 (3)
= 15
