I Teach + U Learn = Wi Happy

EDUCAÇÃO SEGUNDO A UNESCO

Jacques Delors, foi o autor do relatório da UNESCO no qual se inspirou o projeto que enviamos para a FAPESP, em 2004, obtendo aprovação e ajuda financeira inicial. Um projeto pioneira em todos os sentidos.

Em 2005 nascia o NEPEP, uma parceria entre a Prefeitura de Pedreira, integrantes da FE-USP e integrante do IME-USP.

Graças ao empenho e compromisso de prefeitos e a sociedade de Pedreira, o NEPEP completou, no mês passado, 18 anos de existência.

Milhares de alunos passaram pelo NEPEP. Muitos deles entraram em universidades públicas e particulares e fizeram intercâmbio internacional.

Mais de 100 alunos bolsistas CIEE da UNICAMP, USP, UNIFAJ e UNIFIA passaram pelo NEPEP. Alguns deles seguiram para fazer mestrado e doutorado no Brasil e no exterior.

Dissertações de mestrado e teses de doutorado parcialmente desenvolvidas dentro do projeto do NEPEP.

Mais 200 bolsas Pré-IC da USP/CNPq e doadores da iniciativa privada. Jovens do Ensino Médio aprenderam a desenvolver pesquisa.

Reconhecimento da Pro-reitoria-USP considerando o NEPEP como um campus avançado ao se tratar de Pré-IC. Em 2014 o NEPEP recebeu 40 bolsas Pré-IC USP/CNPq.

Mais de 50 professores bolsistas FAPESP/Prefeitura passaram pelo NEPEP e receberam orientação acadêmica de professores mestres e doutores da USP, UFC e Innsbruck (Áustria). Isso resultou em mais de 50 excelentes monografias colocadas à disposição na biblioteca central de Pedreira. Como consequência, a história do fundador de Pedreira foi corrigida e se formou um grupo de excelentes gestores educacionais permitindo assim ainda mais o destaque da cidade em termos de indicadores educacionais.

Muitas Feiras de Ciência organizadas, com o apoio financeiro do CNPq e da Prefeitura de Pedreira, e em parceria com a UNIFAJ e Matemateca-IME-USP. Uma destas feiras recebeu a visita do então governador do Estado de São Paulo.

Muitos cursos de idiomas e de qualificação e atualização profissional ministrados no NEPEP abertos a todos os professores das várias redes de ensino e à comunidade local.

Muitas Olimpíadas de Conhecimentos Gerais organizadas com a participação de quase 5000 alunos, por edição, de todas as redes de ensino. Resultou em muitas premiações com a presença de pais, professores, prefeitos e vereadores.

A capacitação em preservação de mais de 50 professores bolsistas das redes locais de ensino e a organização dos arquivos escolares da escola municipal Humberto Piva e a escola estadual Coronel João Pedro de Godoy Moreira em arquivos deslizantes modernos.

A assinatura de um convênio USP-Prefeitura de Pedreira, pelo então reitor da USP e o então prefeito de Pedreira Hamilton Bernardes Jr.

Gratos a todos que permitiram esta construção, seja pelo trabalho, seja pela atuação administrativa/política/científica ou por ter sido aluno ou professor do NEPEP.

Agradecemos a todos em nome todos que um dia passaram pelo NEPEP, os que atualmente integram o NEPEP e os que um dia passarão pelo NEPEP.

Agradecemos a todos os prefeitos, por meio do Hamilton Bernardes Jr., pois foi ele que permitiu a criação e consolidação do NEPEP.

As pessoas são mortais, mas filosofias e idéias são eternas. Obrigado Jacques Delors pelas suas idéias de uma educação orientada para transformar o século XXI.

Morre Jacques Delors, um dos idealizadores da União Europeia Jacques Delors, um dos grandes idealizadores da União Europeia e da criação do euro, morreu nesta quarta-feira (27). A informação foi repassada pela sua filha Martine Aubry à AFP.

CÁLCULO II
MAT0121
IF-USP

Bem vindo ao curso de Cálculo II que será ministrado por mim no IF-USP.

O curso começa amanhã as 8:00h no Auditório Wataghin.

Depois de 8 anos da minha participação na primeira temporada do MasterChef Brasil, como é minha relação com o jurado Erick Jacquin?

LINK AULA 09.06.2022

Turma, abaixo o link da aula de hoje.
Entre na sala sem áudio e vídeo participando da aula.

Motivo da aula online: segurança da turma, após consulta com superiores.

Boa aula.

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AUCANI – Universidade de São Paulo » Consulado-Geral do Japão em São Paulo promove a Bolsa de Pesquisa (Pós-Graduação) do Governo Japonês (MEXT) 2023 O Consulado-Geral do Japão em São Paulo informa que estão abertas as inscrições para a Bolsa de Pesquisa (Pós-Graduação) do Governo Japonês (MEXT) 2023.

MAT0111 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
TURMA: 2022116(T)
IGc - USP
RESUMO DAS AULAS DA SEMANA V

25.04.2022

PROVA I

Foi realizada a PROVA I das 10h do dia 25.04 aos 9:59h do dia 26.04.

Iniciou no dia 25.04.2022 as 10h e terminou no dia 26.04.2022 as 9:59h.

27.04.2022

Lembramos da Lista da página-86

Iniciamos a aula relembrando as funções cos(x), sen(x) e tg(x). Após disso demos as seguintes identidades.

1. sec^2(x) = 1+ tg^2(x)

2. sen(x) = 2tg(x/2)/(1+tg^2(x/2))
3. cos(x) = (1-tg^2(x/2))/(1+tg^2(x/2))

Fazendo u = tg(x/2) as últimas duas podem ser escritas como

sen(x) = 2u/(1+u^2)

cos(x) = (1-u^2)/(1+u^2)

Perguntamos a Turma de que isso os lembrava. Falei que isso era exatamente a Projeção Estereográfica que foi dada juntamente com Triplas Pitagóricas.

Começamos Operações com Funções.

Explicamos que isso relembrando o que é feito em Geometria e Vetores.

1. Para somar duas funções f & g a intersecção de D_f e D_g deve ser não vazio.

2. Para multiplicar duas funções f & g a intersecção de D_f e D_g deve ser não vazio.

3. Para dividir duas funções f & g a intersecção de D_f e D_g deve ser não vazio.

4. Para multiplicar uma função por um escalar não há nenhuma condição sobre o D_f

Demos os exemplos

f(x)= √(6-x) & g(x)=√(x-2)

D_f = ]-∞, 6] & D_g = [2,∞[

A intersecção é [2,6] que é o domínio da soma f+g.

Demos outros exemplos e o exemplo

f(x)= √(x-6) & g(x)=√(2-x)

D_f = ]6, ∞] & D_g = ]-∞,2]

mostra que
A intersecção D_f com D_g é vazio e logo a soma dessas funções não está definida.

5. Composição de Funções

a. Para que a composição f(g) seja possível temos que ter

Im(g) contida em D_f

b. Para que a composição g(f) seja possível temos que ter

Im(f) contida em D_g

Exemplo

f(x)=2x+1 & g(x) = x^2 + 3x

D_f = R & D_g = R

Logo ambas as condições a & b acima estão satisfeitas e podemos fazer as duas composições.

f(g(x)) = 2g(x)+1 = 2(x^2+3x)+1 = 2x^2 + 6x +1

g(f(x))=[f(x)]^2 +3f(x) = (2x+1)^2 + 3(2x+1) = 4x^2 + 4x + 1 + 6x + 3 = 4x^2 + 10x + 4

Função injetora:

A função é injetora sempre que x,y pertencem a D_f e f(x) = f(y) tem-se necessariamente que x =y.
Equivalentemente: se x diferente de y então f(x) diferente de f(y).

Como verificar gráficamente: cada reta horizontal tem que cortar o gráfico da função em no máximo 1 ponto.
Lembre que para um subconjunto do Plano ser um gráfico de uma função com x como variável independente deve-se ter que cada reta vertical deve cortar esse subconjunto no máximo uma vez.

Lembre que para um subconjunto do Plano ser um gráfico de uma função com y como variável independente deve-se ter que cada reta horizontal deve cortar esse subconjunto no máximo uma vez.

Função sobrejetora:

Uma função (A,f,B) é sobrejetora se

Im(f) = B

Função bijetora:

Uma função (A,f,B) é bijetora se

1. Im(f) = B, ou seja, a função é sobrejetora.
2. A função é injetora

Inversa de composição:

Esta parte já foi dado anteriormente. Relembrando:

Se as funções f & são inversas uma da outra então:

1. Im(f) = D_g
2. Im(g) = D_f
3. f é injetora
4. f é sobrejetora
5. f(g(x)) = x para todo x em D_g
6. g(f(x)) = x para todo x em D_f

Em termos de gráficos: Graf(f) & Graf(g) são simétricos em relação à reta y = x.

Lembre que a reflexão nesse reta joga o Quadrante I nele mesmo, o Quadrante III nele mesmo, o Quadrante II no Quadrante IV & o Quadrante IV no Quadrante II. O eixo-x é jogado em cima do eixo-y e o eixo-y em cima do eixo-x.

Exemplos

f(x) = cos(x) , D_f = [0,π],
(D_f, f, [-11])

g(x) = cos(x) , D_g = [-π/2,π/2],
(D_g, g, [-11])

h(x) = tg(x) , D_h = ]-π/2,π/2[,
(D_h, h, [-11])

As três funções acima são bijetoras e logo elas têm inversas, F, G & H respectivamente.

D_F = [-11] , D_G = [-11] & D_H = R

Im(F) = [0,π], Im(G) = [-π/2,π/2] & Im(H) = ]-π/2,π/2[

F é a Arccos(x)

G é a Arcsen(x)

H é o Arctg(x))

A relação entre os gráficos destas 6 funções já foi dada numa aula anterior. O interessante é o gráfico da H(x) que está entre as retas horizontais y = π/2 & y = -π/2. Essa retas horizontais são assintotas horizontais do gráfico de H(x).

O limite de H(x) quando x----->∞ é π/2

O limite de H(x) quando x-----> - ∞ é - π/2

Lista II: página 89-90

1. f(x) = 1 se x pertence a Q e f(x) = -1 se x não pertence a Q.

2. a, d &h

3. e

4. a, e & f

Revisão de questões da PROVA I

Discutimos algumas questões da prova sendo uma delas a da f(x) = 3cos(x) + 4sen(x) +2 para determinar
|f(x_0) - f(x_1)|. Onde f(x_0) ≤ f(x) ≤ f(x_1.

Lembramos que isso era fácil pois era permitido usar o Desmos. Pedimos para eles usarem o Desmos naquele momento e fornecer a resposta. Ela foi imediata: |-3 - 7| = 10.

A última questão da Lista I foi exatamente ler gráficos e a**lisar eles. É o que essa questão mede.

Outra questão foi a de f(x+y) = f(x).f(y)
Valendo para qualquer x & y tomemos x = 0 & y = 1 obtendo que deveria valer

f(1) = f(0).f(1)

Com isso eliminamos 3 respostas sobrando a resposta f(x) = 3^x.

Mede apenas se o aluno sabe que a exponencial satisfaz:

3^(x+y) = 3^x . 3^y e nada mais!

Com isso viram que as questões eram diretas e não dependiam de fazer contas e sim usar o Desmos e uma lógica simples.

28.04.2022

Começamos hoje o conceito de limite. Fizemos o gráfico das funções f(x) = 1/x & g(x) = (2x+1)/x para relembrar dos limites

Lim (1/x) = + ∞
x-->0^+

Lim ((2x+1)/x) = 2
x-->+∞

dados em aulas anteriores. Relembramos como isso era lido: Quando x se aproxima de ...... então f(x) se aproxima de ....

Falamos que para poder compreender esse conceito precisamos primeiro entender como é se aproximar e definir o conceito de Ponto de Acumulação.

Isso foi feito de forma intuitiva da seguinte forma:

Seja A um subconjunto de R e z_0 um elemento de R. Dizemos que z_0 é um ponto de acumulação de A se "pode-se se aproximar de z_0 "andando sobre pontos de A" sem ficar parado."

O conjunto de pontos de acumulação de A denotamos por A^'.

Para entender bem isso fizemos os exemplos seguintes:

1. A = ]-1,3[

Perguntamos a Turma se 3,5 poderia ser um ponto de acumulação. Muitos responderam que não. Seguimos perguntando se 3,1 , 3,001 ......são pontos de acumulação de A. Ao responderam que não, perguntamos "vindo da direta, qual seria o primeiro ponto de acumulação de A?". Inicialmente a resposta foi 2,99, mas finalmente viram que era z_0 = 3. Como então se aproximar de 3 "andando em cima de pontos de A?" : demos a sequência de pontos:

2,9 2,99 2,999 2,9999 ..........

Perguntamos se já tinham vistos no segundo grau que isso ia para 3. Alguns disseram que sim e outros não. Mostramos então como fazer:

x = 2,999999999999999999999....
Multiplique por 10 obtendo: 10x = 29,9999999999999999.........= 27 + 2,9999999............ = 27 + x.
Obtendo: 10x = 27 +x
Resolvendo esse equação obtêm-se x = 3.

A seguir fizemos a mesma coisa para z_0 = -1.
Todos se convenceram disso.

Concluímos então que nenhum ponto fora do intervalo A e diferente de -1 & 3 poderia estar em A^'. Todos concordaram.

Perguntamos se um ponto de intervalo seria um ponto de acumulação. Tivemos que relembrar que "não se pode ficar parado ao andar sobre A" para que a Turma acertasse. Mostramos então como se aproximar de

√2 & de 2,9999

√2 √2 +0,1 √2 + 0,001 √2 + 0,0001 ........

2,9999 2,9999 + 0,00000001 2,9999 + 0,000000001 ........

Um aluno perguntou se só podia usar os decimais 0,1 0,01 0,001 .....
Explicamos que não que poderíamos usar, por exemplo para √2,

√2 √2 +1/2 √2 + 1/4 √2 + 1/8 ....... √2 +1/2^n ........

A conclusão tirado foi de que se A = ]-1,3[ então A^' = [-1,3].

Falamos então que isso vale para qualquer intervalo do tipo [a,b], [a,b[, ]a,b] & ]a,b[ .
Se A for qualquer um desses intervalos então A^' = [a,b].

Demos a definição formal de ponto de acumulação:

Seja A ub subconjunto de R e z_0 um ponto de R. Então z_0 é um ponto de acumulação de A se para todo n em N existir x_n em A tal que 0 < |z_0 - x_n| < 1/n.

Interpretamos isso em temos do intervalo

I_{1/n}(z_0) = ] z_0 -1/n, z_0 +1/n[

Ficou assim:

Então z_0 é um ponto de acumulação de A se para todo n em N a intersecção de

I_{1/n}(z_0) - {z_0} e A é não vazio.

Feito isso fizemos o exemplo

A = {1/n : n >0 um número natural } = {1, 1/2, 1/3, 1/4, ........1/n, .....} para determinar A^'.

Falamos que um número em especial claramente estava em A^'. Demorou um pouco mas aí uma aluna viu que o 0 estava em A^': bastava se aproximar de 0 andando em cima dos próprios pontos de A, podendo pular quantos que quisesse.

Explicamos isso novamente usando pegadas ao se aproximar. Duas pessoas não precisam deixar as mesmas pegadas. Respondendo a uma observação de um aluno de que distâncias eram relativos, falei que sim e perguntei: um eléctron está perto do núcleo do átomo? Qual o peso de um eléctron. Para a nossa realidade tanto o peso do eléctron quanto a distância dele até o núcleo são zero. Porém se o peso do eléctron variasse 1 em cada um bilhão de partes o nosso universo seria outro. Convencidos de que as distâncias eram importante ao se aproximar mas não relativos continuamos com o exemplo.

Perguntamos se 1 era um ponto de acumulação. A priori a resposta foi sim olhando para o exemplo anterior. Mas se convenceram que não. Perguntamos então se 1/2 pertencia a A^' e viram que não. Concluímos que nenhum ponto de A estava em A^'.

Resultado: A^' = {0}.

Seguimos definindo ponto isolado de um conjunto: Seja A um subconjunto de R e x_0 um ponto de A. Então x_0 é um ponto isolado de A se x_0 não pertencer a A^'.

Interpretamos isso em termos de intervalo (vizinhos em A): Um ponto x_0 de A é um ponto isolado de A se existir um n fixado tal que a intersecção de

I_{1/n}(z_0) e A é {x_0}.

Infatizamos a importância novamente do conceito de ponto de acumulação. Sem ele não podemos definir limite e que e Cálculo II seria mais aprofundado. Também falamos que as funções não precisam estar definidas nos pontos de acumulação.

A seguir definimos o conceito de limite:

Lim f(x) = L
x-->x_0

Leia: o limite de f(x) quando x se aproxima de x_0 é L.

Definição rigorosa: Para todo número epsilon dado existe um número delta tal que se 0 < |x-x_0| < delta então |f(x) - L| < epsilon.

Pedimos para se focar de entender intuitivamente esse conceito e depois tentar entender a definição rigorosa.

Para calcular os limites vamos usar de Técnicas e Limites Fundamentais.

Perguntei se a Turma se lembrasse de alguns limites fundamentais. Inicialmente a resposta foi não. Pedi para procurar no caderno de anotações das aulas e encontrar os limites

Lim (sen(x)/x) = 1
x--> 0

Lim (tg(x)/x) = 1
x-->0

Pedimos para usarem o Desmos e esboçar os gráficos das funções f(x) = sen(x)/x e ver se havia alguma anomalia no gráfico. Pergunte qual era o D_f e comparar isso com o gráfico. Chegamos à conclusão de que olhando para o gráfico a função não parecia ter problemas no 0.

Fizemos então o exemplo

Lim (x^2 -1)/(x-1)
x-->1

Pedimos para esboçar o gráfico usando o Desmos e ver o que era. Perguntei qual seria o limite acima se olhasse para o gráfico. Foi concluído que o gráfico era uma era e que o limite parecia ser igual a 2.

Usamos então a primeira técnica de resolver limites:

Quando substituir x_0 =1 na expressão da f(x) obtêm-se 0/0. Quando está envolvido uma função racional é porque o numerador e denominador têm uma raiz em comum, neste caso 1.

Escrevemos então

(x^2 -1)/(x-1) =(x-1)(x+1)/(x-1)

Quando x ----->1 não podemos tomar x = 1 e logo x - 1 não é nulo podendo ser cancelado obtendo:

(x^2 -1)/(x-1) =(x-1)(x+1)/(x-1) = x + 1.

Assim o limite que temos que calcular é

Lim (x^2 -1)/(x-1) =
x-->1

Lim (x +1) = 2
x-->1

Observamos que para sen(x)/x não podemos "cancelar" o x porém lá na frente (ou em outra disciplina) vai se ver que nesse caso também se pode "cancelar" o x.

Reforçamos novamente que TEM QUE SE USAR O DESMOS E QUE NA PROVA ESTAVA ESCRITO QUE O MESMO PODERIA SER USADO.
Terminamos respondendo uma dúvida de uma aluna referente à questão 25 da prova. A mesma já foi tratado na aula anterior e vimos que com o uso do DESMOS a questão era de fácil resolução. Lembramos que na aula do dia 18.04 foi pedido esboçar vários gráficos usando o DESMOS exatamente para obrigar se familiarizar com o seu uso. Esse uso vem sendo pedido e estimulado durante todo o semestre. Existe até um link para obter o Matematica do Wolfram no mural.

Pergunta da aluna: Como determinar o período da função F(x) = 3cos(2x) + 4sen(3x-2)

Explicamos que não foi tratado e não se precisava isso na prova. Falamos do momento angular sem entrar em detalhes. Lembramos que

sen(x + 2π) = sen(x)

Seja agora f(x) = sen(ax), onde a é uma constante. Calculamos

f(x + 2π/a)

obtendo:

f(x + 2π/a) = sen(a(x + 2π/a) = sen(ax + 2π) = sen(ax) = f(x)

Mostrando assim que

2π/a

é um período da função f(x).

Usando isso obtém-se que cos(2x) tem período 2π/2 = π & sen(3x - 2) tem período 2π/3 . Explicamos que o -2 não influência pois é apenas uma "fase". Não mostramos que esses eram os menores períodos dessas funções (mas eles são) e prosseguimos:

Os períodos de cos(2x) são então

π 2π 3π 4π 5π .........

Os períodos de sen(3x - 2) são

2π/3 2.2π/3 = 4π/3 3.2π/3 = 2π ............

O período da soma F(x) = 3cos(2x) + 4sen(3x-2) é o primeiro que ambos os dois termos têm em comum, ou seja, 2π.

Falamos que a maioria das funções que usamos em Cálculo pode ser aproximado por funções periódicas e isso era ensinada em Séries de Fourier. Provavelmente não iriam ver isso no curso deles.

Pedimos para acompanhar as aulas de forma não passiva e usar as ferramentas que estão sendo sugeridas.

Bons estudos.

MAT0264 - ANÉIS E CORPOS
TURMA: 2022143(T)
IME - USP
RESUMO DAS AULAS
SEMANA VI

25.04.2022

Realização da PROVA I.
Se iniciou as 8h no dia 25.04 e terminou as 7:59h no dia 26.04.

27.04.2022

Íamos iniciar Corpos de Frações mas os alunos pediram rever algumas questões da PROVA I.

Fizemos isso para a maioria das questões mostrando como elas poderiam ser feitas sem muitas contas e estando elas completamente dentro da LISTA I e da teoria dada em sala de aula ou de coisas vistas em cursos anteriores. Foi um momento de rever muitas coisas e interpretar outras no contexto do curso.

No final da aula, explicamos como seria os Corpos de Frações e os Domínios de Ideais Principais mostrando o exemplo de Z. Adiantamos que K[x] com K, o anel de polinômios, um corpo & Z[i], o anel de Inteiros de Gauss, eram Domínios Euclidianos e logo Domínios de Ideias Principais.

Bons estudos.

MAT0264 - ANÉIS E CORPOS
TURMA: 2022143(T)
IME - USP
RESUMO DAS AULAS
SEMANA IV

04.04.2022

Continuamos com o exemplo em A = Z tendo I = nZ como ideal e olhando para a congruência módulo n. Vimos que isso pode ser interpretado em termos de I e generalizamos para um anel qualquer. Continuando, definimos as classes [x] e o conjunto das classes

A/I = { [x] : x pertence a A}

Definimos [x] + [y] = [x+y] & [x].[y] =[x.y] e mostramos que essas operações estão bem definidas e implicam que a função de vai de A em A/I dado por π(x) = [x] é um homomorfismo de anéis com núcleo igual ao ideal I.

Com isso estabelecemos que dar um ideal e dar um homomorfismo são noções equivalentes. Se queres provar que um conjunto é um ideal é suficiente provar que ele é o núcleo de um homomorfismo.

Definimos ideal maximal e mostramos que os ideais maximais de Z são pZ com p um primo. Mostramos como obter os ideias de Z_6, Z_12 e H(Z_6). No último caso mostramos que um ideal à esquerda pode ser obtido assim a.H(Z_6) e um ideal à direito pode ser obtido assim H(Z_6).a.

Falamos de ideal principal e perguntamos se a Turma conhecia um anel cujo ideais eram todos principais. Um aluno respondeu Z.

Demos o exemplo do homomorfismo que vai de C[a,b]-------->R dado por π(f) = f(x_0 ) (demos como exemplo x_0 = 1/2 e f(x)= x^2) e outro homomorfismo que vai do anel dos polinômios para R dado por ƒ(p(x)) = p(√2). Em ambos os casos, calculamos os núcleo e a imágem. No segundo caso usamos o Algoritmo da Divisão para polinômios para provar que o núcleo é o ideal principal gerado por p_0(x) = x^2 -2, ou seja Ker(ƒ) = (x^2 - 2)A, onde A = anel de polinômios. Nos dois casos mostramos que estes ideais são maximais pois as imagens dos homomorfismo são respectivamente R e Q(√2). NO caso do anel dos polinômios o Ker é um ideal principal mas no primeiro caso ele não é um ideal principal.

Teorema
Um ideial I do a**l A é maximal se e somente se A/I é um anel de divisão.

Na sala anunciamos com A/I sendo um corpo mas o resultado correto é o acima pois não usamos a comutatividade de A/I. Um aluno perguntou sobre a volta e indicamos que era a mesma prova que já tinha sido feita para Z e pZ.

Anunciamos o

Teorema
Se F : A_1 ------> A_2 é um homomorfismo de anéis então Im(F) é isomorfo a A_1 / Ker(F).

Anunciamos ele para o caso em que F é sobrejetora, ou seja, Im(F) = A_2.

A todo momento deixamos a Turma participar e mostramos que as coisas eram não tão novidade. Comparamos com espaços vetoriais, curvas de níveis, planos paralelos afins e folhações para pudessem ligar os vários conceitos. Por exemplo, falamos que podemos fazer o V/W onde V & W são K-espaços vetoriais com K um corpo e a relação é: v está relacionado com u se e somente se (v - u) pertence a W. Falamos que nesse caso se tem

dim(V/W) = dim(V) - dim(W)

onde as dimensões são tomadas sobre K. Falamos que disso segue o Teorema da Imagem e do Núcleo da Álgebra Linear.

06.04.2022

Foi uma aula de monitoria.
Tudo o que foi feito foi gravado e anotado e se encontra postado no mural desta classe.

Bons estudos.