Elite Math Club

Hey mathematicians,
আজ Elite Math Club এর ১ বছর পূর্ণ হলো। এজন্য EMC Team এর পক্ষ থেকে সবাইকে জানাই অনেক অনেক শুভেচ্ছা।

যারা অলিম্পিয়াডে নতুন তারা অনেকেই দ্বিধা দ্বন্দ্বে থাকে অলিম্পিয়াড রিলেটেড বই, নোটস্ কোথায় পাবে। তাই তাদের কথা মাথায় রেখে আমরা আজ launch করতে চলেছি EMC Online Library। এখানে তুমি অলিম্পিয়াড রিলেটেড অনেক বই, নোট ইত্যাদি পাবে। এখানে যে শুধু basic লেভেলের বই, নোট পাবে তা নয়, এখানে Basic to advance সব ধরণের বই, নোট রাখা হয়েছে। সবগুলো রিসোর্স ক্যাটাগরি অনুযায়ী ভাগও করা আছে। আশা করছি এই library টি তোমাদের কাজে লাগবে।

EMC Online Library:
https://drive.google.com/drive/folders/1jKoJ_gBNbwIp50oKlCEDmUFQtR6D4RNw?usp=sharing

এই লাইব্রেরির বইগুলো সংগ্রহ করতে EMC Team এর বাইরেও অনেকেই সাহায্য করেছে। তাদের সকলকে জানাই অসংখ্য ধন্যবাদ। চাইলে তুমিও আমাদের বিভিন্ন ধরণের বই/নোট donate করতে পারো (অবশ্যই soft copy)। পাঠিয়ে দিতে পারো আমাদের ই-মেইলে বা Google Drive এ শেয়ারও দিতে পারো।
Email:
[email protected]

আমরা চেষ্টা করবে ধীরে ধীরে বইয়ের সংখ্যা আরো বাড়ানোর। সাথে Problem Set ও যোগ করার পরিকল্পনা রয়েছে।
আশা করছি তোমরা সবাই সাথে থাকবে।

ধন্যবাদ

Happy 1st Anniversary of Elite Math Club🎉🎊

Hey mathematicians, we are back✨ On 5 September, we're going to celebrate our 1️⃣st anniversary🎉. On this day, we'll launch our online library. Here you'll find lots of books & notes on various subjects like Math, Physics, Programming, Biology etc. All these books are free for all.

If you want to contribute, you can give us PDF of books, notes on various subjects via mail or share with us via Google Drive.
Email:-
[email protected]

Don't forget to check our FB group & page on 5 Sept.

See you soon❕

Congratulation Bangladesh Math Olympiad Team❤️
http://imo-official.org/team_r.aspx?code=BGD&year=2021

Eid Mubarak guys🌙

যাহাই বাহান্ন তাহাই তিপান্ন #4

আজকে একটা প্রচলিত উপায়ে 52=53 প্রমাণ করব
-20 = -20
16 - 36 = 25 - 45
16 – 36 + (81/4) = 25 – 45 + (81/4)
4² – 2✕4✕(9/2) + (9/2)² = 5² + 2✕5✕(9/2) + (9/2)²
(4 - 9/2)² = (5 - 9/2)²
4 - 9/2 = 5 – 9/2
4 = 5
4 + 48 = 5 + 48
52 = 53
এই প্রমাণটাও অনেকে জানে। এখানে আমাদের ভুল রয়েছে উভয়পক্ষ থেকে বর্গ তুলে নেয়ার লাইনে।
4 - 9/2 = -1/2
5 – 9/2 = 1/2
এখানে বর্গ তুলে নিলে উভয়পক্ষের পরম মান নিতে হবে। অর্থাৎ |4 – 9/2| = |5 – 9/2|

Hexadecimal: যখন সংখ্যা প্রতীক 16 টি #1

Hexadecimal শব্দটি “Hexa” ও “Decimal” শব্দদ্বয় দ্বারা গঠিত । Hexa অর্থ 6 আর Decimal অর্থ 10 । এই দুই মিলে Hexadecimal অর্থ 16 । এখন এই Hexadecimal কী? এটি Binary বা Decimal এর মতই আরো একটি সংখ্যা পদ্ধতি । একে বাংলায় বললে ষোলোভিত্তিক পদ্ধতি । অর্থাৎ, Decimal যেমন আমরা 10 টি (0-9) পর্যন্ত প্রতীক দ্বারা সব সংখ্যা লিখি,

তেমনি এতে লিখা হয় 16 টি সংখ্যা প্রতীক দ্বারা। তাহলে কি 0-15? না, কারণ, 10,11,12,13,14,15 এগুলো অব্যবহৃত (Unique) প্রতীক নয়। এগুলো 0-5 পর্যন্ত প্রতীক দ্বারা লেখা। তাহলে কি? কোনগুলো? এখানে 0-9 পর্যন্ত সংখ্যা এবং বাকি 6 টি প্রতীক হিসেবে ব্যবহার করা হয় ইংরেজি বর্ণমালার A-F পর্যন্ত। মানে প্রথম 15 টি ক্রমিক সংখ্যা হবে 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F ।

তাহলে এর পরে কিভাবে লিখব ? এর পরের সংখ্যা মানে 16 আমরা লিখব 10 । মাথা ঘুরে গেলো না কি? চিন্তার কিছু নেই। ব্যাপারটি সহজ। আমরা 0-F পর্যন্ত ব্যবহার শেষে 1 এর পরে 0-F বসাব। মানে 16 এর ক্ষেত্রে আমরা 1 লিখলাম, তারপর প্রথম প্রতীক মানে 0 । এভাবে F পর্যন্ত। এরপর শেষ হলে 2 এর পর 0-F এভাবে চলবে।

এখন কথা হলো আমাদের Hexadecimal এর দরকার কি? এটা সাধারণ জীবনে ব্যবহার কম হলেও কম্পিউটার ও প্রোগ্রামিং এ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়। কারণ আমরা কোনো বড় কিছুকে Binary তে লিখলে অনেক জায়গা (Memory Space) দরকার হয়, যেইটা মাত্র কয়েক বিট স্পেস ব্যবহার করেই লিখে ফেলা যায় Hexadecimal এ ।

আজ এতটুকুই, পরবর্তী পর্বে কিভাবে Decimal/Binary থেকে Hexadecimal এ রুপান্তর করা হয় তা দেখাব ইনশাআল্লাহ্‌ ।

পদার্থবিজ্ঞান এবং ইঞ্জিনিয়ারিংয়ে, একটি ভেক্টর সাধারণত একটি জ্যামিতিক সত্তা হিসাবে বিবেচিত হয় যা একটি মাত্রা এবং দিক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি ইউক্লিডিয়ান স্পেসে নির্দেশিত রেখাংশ বা তীর হিসাবে আনুষ্ঠানিকভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়। খাঁটি গণিতে, একটি ভেক্টরকে সাধারণত ভেক্টর স্পেসের যে কোনও উপাদান হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।
(Translated)

অনুসমতা (Congruence)
পার্ট: 02

বীজগাণিতিক সমীকরণ আর অনুসমতা সহোদর ভাই না হলেও মামাতো-ফুফাতো ভাই কিনা- তাই এদের মাঝে অনেক কিছুতেই রয়েছে ভীষণ মিল। শুধু মুখের কথায় বিশ্বাস না করে আমরা হাতে-কলমে পরখ করে দেখি, কেমন? সবার আগে অনুসমতার চিহ্নকেই দেখো না, সমীকরণের '='এর সাথে মিলিয়ে সেটা কেমন '≡' হয়েছে! আবার দুটো সমীকরণের মতোই দুটো অসমতাকে যোগ, বিয়োগ বা গুণ করা যায়। একই কারণে অনুসমতার উভয় পাশে একই সংখ্যার ঘাত বা সূচকও নেয়া যায়। তবে সবক্ষেত্রেই লক্ষ্য রাখতে হয় যেন mod এর পরের অংশটুকু একই থাকে। অর্থাৎ,

#9. a ≡ b (mod x) এবং p ≡ q (mod x) হলে, a + p ≡ b + q (mod x)

#10. a ≡ b (mod x) এবং p ≡ q (mod x) হলে, a - p ≡ b - q (mod x)

#11. a ≡ b (mod x) এবং p ≡ q (mod x) হলে, ap ≡ bq (mod x)

#12. a ≡ b (mod c) হলে, a^k ≡ b^k (mod c)

উল্লেখ্য, উপরের কোনো সূত্রে এমন কোনো মান নেয়া যাবে না যাতে ভগ্নাংশ এসে পড়ে। কারণ ভগ্নাংশের বেলায় অনুসমতা প্রযোজ্য নয়। ঠিক এই কারণে যোগ, বিয়োগ, গুণ করা গেলেও হুটহাট ভাগ করাটা অনুসমতায় নিষেধ। ভাগ করলেও সেটা বুঝেশুনে করা চাই যেন ভগ্নাংশ না আসে। তাই অনুসমতার ভাগের সূত্রগুলোতে বেশ কিছু অতিরিক্ত শর্ত জুড়ে দেওয়া থাকে:

#13: যদি ax ≡ bx (mod c) এবং x ও y সহমৌলিক হয়, তবে a ≡ b (mod c) হবে।

#14: যদি ax ≡ bx (mod cx) হয় তবে a ≡ b (mod c) হবে।

লক্ষ্য করো, শুধু এই 14 নম্বর সূত্রেই mod এর পরের অংশটুকু cx থেকে শেষমেশ পাল্টে c হয়ে গেছে। আরো একটা ব্যাপার লক্ষ্য করো, এই সূত্রগুলোর অধিকাংশের বিপরীতটাও সত্যি। যেমন: ৫ নম্বর সূত্রকে উল্টে বললে হয়:
a - b ≡ 0 (mod c) হলে, a ≡ b (mod c)। এটাও সমানভাবে সত্যি।

অনুসমতার বেসিক আলোচনা এখানেই শেষ। যারা প্রথম পার্টটি পড়োনি তারা দ্রুত সেটি পড়ে আসো।
Part 01: www.facebook.com/groups/638606853725539/permalink/825010491751840/

যাহাই বাহান্ন তাহাই তিপান্ন #৩

আজকের প্রমাণটা সবচেয়ে মজার, কিন্তু এটা বুঝতে হলে লাগবে differential calculus
x² = x+x+x+… [x সংখ্যক x]
বা, d/dx(x²) = d/dx(x+x+x+…) [x সংখ্যক]
বা, 2x = 1+1+1+… [x সংখ্যক]
বা, 2x = x
বা, 2 = 1
বা, -2 = -1
বা, -2 + 54 = -1 + 54
বা, 52 = 53

এখানে ভুলটা কোথায়? হঠাৎ করে দেখলে না খুঁজে পাওয়াটাই স্বাভাবিক। এখানে ভুলটা হলো দ্বিতীয় লাইনে। যেখানে আমরা উভয়পক্ষের derivative নেই। কিন্তু x+x+x+… রাশিটা একটু পাগলাটে ধরণের😜। কারণ এর পদসংখ্যাও x এর মানের সঙ্গে পরিবর্তন হতে থাকে। তাই এর derivative নিতে হলে আমাদের আগে সকল x যোগ করে নিতে হবে , তাহলে আমরা পাবো x.x। এখন আমরা যদি x.x কে derivative করি তাহলে আমরা পাবো
d/dx(x.x)
=x.1 + 1.x
=2x
কিন্তু এর আগে আমরা পেয়েছিলাম x। তাই এই ৫২ ও ৫৩ এর ঝামেলার উদ্ভব

আগের পর্বে আমি বাইনারি নাম্বার নিয়ে কিছু ধারনা দিয়েছি। আজ দেখাব কীভাবে Decimal Numbers কে Binary Numbers এ রুপান্তর করতে হয়।
আগেই বলেছি , বাইনারি এবং ডেসিমালের মূল পার্থক্য তাদের ভিত্তি (Base) । বাইনারি এর ভিত্তি 2 (0,1) । অন্যদিকে ডেসিমাল এর ভিত্তি দশ (0-9) । তাই কোনো সংখ্যা কে এক পদ্ধতি হতে অপর পদ্ধতি তে রুপান্তর এর জন্য এর ভিত্তি পরিবর্তন করতে হয়। এটি খুবই সহজ একটি পদ্ধতি। তো আর কথা না বাড়িয়ে করা যাক।
ধরি আমরা 10₁₀ ( Subscript আকারে সংখ্যার Base লেখা হয় ) কে বাইনারি তে পরিবর্তন করব। এক্ষেত্রে আমরা 1-10 পর্যন্ত গননা করে লিখতে পারি, অথবা আমরা সূত্র/পদ্ধতি অনুসরণ করে করতে পারি। আমরা জানি Binary এর Base 2 । তাই, 10 কে পরিবর্তন করতে তাকে বাইনারি এর ভিত্তি দিয়ে ভাগ করতে হবে। তো ভাগ করে দেখি, 10/2, এখানে ভাগফল (Quotient) = 5 এবং ভাগশেষ (Remainder) = 0 । আমরা এবার প্রাপ্ত ভাগফল কে আবার ভাগ করবো 2 দ্বারা । 5/2, Quotient = 2 , Remainder = 1 । ভাগফল কে পূর্ণসংখ্যায় নিতে হবে। এবার প্রশ্ন হতেই পারে যে আমি ভাগশেষ ও নিচ্ছি কেন? সেইটা একটু পরেই বুঝতে পারবেন। তো এবার 2 কে ( ভাগফলকে ) ভাগ করব। 2/2, Quotient = 1, Remainder = 0 । এরপর 1/2, Quotient = 0, Remainder = 1 । আর ভাগ করতে হবে না। আমরা ভাগফল 0 পাওয়া পর্যন্ত ভাগ করব । এবার আমার বাইনারি নাম্বার পেয়ে গেছি । প্রাপ্ত ভাগশেষ গুলোকে সর্বশেষ হতে প্রথম টি লিখব আমরা।

তাহলে দাঁড়ায়, 1010 । অর্থাৎ, 10₁₀ = 1010₂ ।

বিশ্বাস না হলে সার্চ করতে পারেন, “convert Decimal 10 to Binary” । আশা করি পদ্ধতি টি বুঝতে পেরেছেন। আমি নিচে পদ্ধতিটির একটি ছবি সংযুক্ত করেছি 62 কে Convert করে।

বাইনারির পোস্টমর্টেম #2

🔰An Introduction with "e"🔰
[2.7182818284590452353602874....]

গণিতে π, Golden ratio এর মতোই অতি গুরুত্বপূর্ণ আরেকটি ধ্রুবক e। একে Euler's Number বলা হয়, তবে Napier's Number বলেও পরিচিত। গণিতের অনেক জায়গায় এটি দেখা যায়। তাই একে কখনো কখনো Natural Number ও বলা হয়। আর Natural logarithm এর Base ধরা হয়। এটি প্রায় 2.71828 এর সমান এবং একে বিভিন্ন উপায়ে প্রকাশ করা যায়। যা প্রথম করা হয়েছিল Compound interest বা চক্রবৃদ্ধি হারে মুনাফার একটি সমস্যা সমাধান করতে গিয়ে।

চক্রবৃদ্ধি হারে মুনাফার সূত্র হলো:
C = P(1+r/n)^nt

C = মুনাফাসহ মূলধন
P = মূলধন
r = মুনাফার হার দশমিকে
t = সময় বছরে
n = কতবার মুনাফা জমা হচ্ছে

যদি একটি অ্যাকাউন্ট 1.00 দিয়ে শুরু হয় এবং প্রতি বছর 100% সুদ প্রদান করে, সুদের একবারে জমা দেওয়া হয়, বছরের শেষের দিকে, তাহলে বছরের শেষের দিকে অ্যাকাউন্টের মান হবে 2.00।

যদি বছরে দুবার সুদ জমা দেওয়া হয়, তবে বছরের শেষে
C¹= 1.00(1+1/2)² = 2.25
যদি বছরে ছয়বার জমা দেওয়া হয়, তবে বছরের শেষে
C² = 1(1+1/6)⁶ = 2.521626
যদি বছরে প্রতিদিন জমা দেওয়া হয়, তবে বছরের শেষে
C³= 1(1+1/365)³⁶⁵ = 2.714567482...

এভাবে যদি অসীম সংখ্যক বার এক বছরে সুদ জমা দেওয়া হয় তবে C এর যে মান আসে সেটাই e এর মান।

আরো একটি উপায়ে e পাওয়া যায়। আর তা হলো একটি Converging series এর যোগফল

e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3!.....

এরকম আরো নানা উপায়ে e এর মান গণিতবিদরা খুঁজে পেয়েছেন। e এর বহু ব্যবহার রয়েছে। জনসংখ্যা সমস্যা, ক্যালকুলাস, ফিজিক্স, কোয়ান্টাম মেকানিক্স আরো অনেক জায়গায়।

e এর কিছু বৈশিষ্ট্য:
▪️e^ir + 1 = 0 [Euler's Identity]
▪️x এর যেকোনো মানের জন্য:
(1+1/x)^x < e < (1+1/x)^x+1
▪️f(x) = x^1/x এর সর্বোচ্চ মান f(e)
▪️e^x এর derivative e^x নিজেই
▪️e^ix = cosx + isinx