বিজ্ঞান গণিতের সমানুপাতিক

হ্যা তার অধিকার

বার" বের করার কৌশল ( সংশোধিত ও স্পষ্ট) :-
-
বার কোড:
শনিবার =১, রবিবার =২, সোমবার =৩, মঙ্গলবার=৪,
বুধ=৫ , বৃহস্পতিবার=৬, শুক্র= ০
-
⭕ সুত্র = (A+B+C) ÷ 7
👉A=সালটির শেষের দুই ডিজিট
👉B= আপনি যে দিন বের করবেন সেদিন পর্যন্ত ঐ
শতাব্দিতে যে কয়টা লিপ ইয়ার ছিল।
👉C=যে দিন বের করবেন সেদিন পর্যন্ত
অই বছরে মোট যত দিন
-
উদাহরণ : ২০১৬ সালের ১৬ এপ্রিল কি বার ছিলো❔
➡সমাধান
এখন
👉A = ১৬
👉B = ৪ ( ২০০০, ২০০৪, ২০০৮, ২০১২)
*উল্লেখ্য যে, ২০১৬ সালের পূর্বে যতগুলো লিপ ইয়ার ছিলো সেগুলো ধরতে হবে। ২০১৬ কেও ধরা যাবেনা।
👉C= ( ৩১+২৯+৩১+১৬) = ১০৭
সুতরাং ( ১৬+৪+১০৭) ÷ ৭ = ১২৭÷৭
যার ভাগশেষ ১
অতএব দিনটি ছিলো শনিবার

বিশ্বখ্যাত পদার্থবিজ্ঞানী স্টিফেন হকিং আর নেই। ৭৬ বছর বয়সে আজ বুধবার তিনি মারা যান। তাঁর পরিবারের সদস্যদের বরাতে এ তথ্য প্রকাশ করেছে বিবিসি অনলাইন।

স্টিফেন হকিং পৃথিবীর সেরা মহাকাশবিজ্ঞানীদের একজন, যাঁর লেখা এ ব্রিফ হিস্ট্রি অব টাইম সর্বকালের সবচেয়ে বেশি বিক্রি হওয়া বইয়ের একটা। ব্ল্যাক হোল বা কৃষ্ণগহ্বর ও আপেক্ষিকতা নিয়ে গবেষণার জন্য বিখ্যাত ছিলেন ব্রিটিশ এই পদার্থবিদ।

লুসি, রবার্ট ও টিম নামে স্টিফেন হকিংয়ের তিন সন্তান। তাঁরা বলেছেন, ‘আমরা গভীর শোকের সঙ্গে জানাচ্ছি যে আমাদের প্রিয় বাবা আজ মারা গেছেন। তিনি বিখ্যাত এক বিজ্ঞানী ছিলেন। তাঁর কাজ দীর্ঘদিন বেঁচে থাকবে।’

স্টিফেন হকিংয়ের ‘সাহস ও অধ্যাবসায়ের’ প্রশংসা করেন তাঁর সন্তানেরা। তাঁরা বলেন, ’ তাঁর (হকিংয়ের) প্রতিভা এবং রসবোধ বিশ্বব্যাপী মানুষকে অনুপ্রেরণা জোগাবে। তিনি চিরস্মরণীয় হয়ে থাকবেন।

Md Shammir Ahmed

শুভ পাই দিবস

►► ফিজিক্সেও সোনালী অনুপাত!!!.....
সোনালী অনুপাত বা Golden ratio
নিয়ে গণিতপ্রেমীদের মাতামাতির শেষ নেই। আর মাতামাতি হবেই বা না কেন, প্রকৃতির প্রায় সব সৌন্দর্যের পিছনেই এই সোনালী অনুপাত লুকিয়ে আছে, এমনকি বাদ যায়নি পদার্থবিজ্ঞানও!!
একটা উদাহরণ দেয়া যাক, কি বলেন?
আমরা জানি, ভূপৃষ্ঠ থেকে যতই উপরে ওঠা যায় ততই অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমতে থাকে, আবার নিচে নামলেও অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমতে থাকে। কিন্তু ঝামেলাটা হলো দুইক্ষেত্রে এই মান কমার ধরণ বা হার একরকম নয়, উপরে উঠার সময় যে সমীকরণ অনুসারে অভিকর্ষজ ত্বরণ এর মান কমে নিচে নামার সময় সেই সমীকরণ অনুসারে কমে না (সমীকরণগুলো একটু পরেই দিচ্ছি)। এর মানে হলো আপনি একবার ভূপৃষ্ঠ থেকে উপরে কোন পাহাড়ে উঠে নিজের ওজন মেপে আবার যদি সেই পাহাড়ের উচ্চতা পরিমাণই মাটির নিচে গিয়ে নিজের ওজন মাপেন তাহলে দুইক্ষেত্রে ভিন্ন ভিন্ন মান আসবে।
কিন্তু সবসময়ই কি একই ঘটনা ঘটবে?? এমন কোন উচ্চতাই কী নেই যে উচ্চতায় উপরে উঠলেও যে ওজন নিচে নামলেও সেই একই ওজন?!?
মনে করি সেই উচ্চতাটি h (নিঃসন্দেহে h>0)।
আমাদের মূল উদ্যেশ্য ছিল ফিজিক্সে সোনালী অনুপাতের যাদুটা দেখা। সেই যাদুটা দেখতে সামান্য কিছু হিসাব নিকাশ করা যাক!!
আমরা জানি, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ g হলে, ভূপৃষ্ঠ হতে h উচ্চতার কোন স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,
g'=g{R/(R+h)}²
আবার, ভূপৃষ্ঠ হতে h গভীরতার কোন
স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ,
g"=g(R-h)/R
[HSC Level এর বই দ্রষ্টব্য]
আমরা এমন একটা উচ্চতা বের করতে চাচ্ছি যেখানে,
g'=g"
=> g{R/(R+h)}²=g(R-h)/R
=> R³=(R-h)(R+h)(R+h)
=> R³=(R²-h²)(R+h)
=> R³=R³+R²h-Rh²-h ³
=> R²h-Rh²-h³=0
উভয় পক্ষকে h³ দিয়ে ভাগ করে পাই,
(R/h)²-(R/h)-1=0
এই সমীকরণটাকে চিনতে পেরেছেন কী?? সমীকরণটা x²-x-1=0 আকারের, তাইনা?? জ্বী হ্যাঁ, এটাই আমাদের সেই পরিচিত সমীকরণ !!! এটার দুটা সমাধানের মধ্যে একটি (1+√5)/2 একে বলা হয় Golden ratio বা সোনালী অনুপাত
এবং একে φ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। (অপর সমাধানটি ঋণাত্মক।)
অর্থাত্‍,
R/h=φ=(1+√5)/2
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ এবং আমাদের কাঙ্খিত উচ্চতার অনুপাত হলো সোনালী অনুপাত। (প্রকৃতপক্ষে শুধু পৃথিবী নয়, যেকোন গ্রহ উপগ্রহ বা যেকোন গোলকের জন্যই এই সম্পর্ক খাটে)
এমন একটা অসাধারণ ও ব্যতিক্রমী ঘটনার ভিতরও সোনালী অনুপাত লুকিয়ে আছে কী অদ্ভুতভাবে!!! —না, অদ্ভুত বলাটা বোধহয় ঠিক হলো না। সব অসাধারণ ঘটনার পিছনে সোনালী অনুপাত লুকিয়ে থাকবে, এটাই তো মনে হয় স্বাভাবিক!!
*Note:
এখানে হিসাবের সময় একটু সতর্ক থাকতে হবে। ভূপৃষ্ঠ থেকে h উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ নির্ণয়ের সূত্র হিসাবে অনেকে
g'=g(1-2h/R)
সূত্রটি ব্যবহার করতে পারেন। কিন্তু এটা এক্ষেত্রে কাজে দেবে না। কারণ এটি আমাদের ব্যবহৃত সূত্রের দ্বিপদী বিস্তৃতি করে উচ্চতর ঘাতসমূহ উপেক্ষা করে তৈরী, তাই শুধুমাত্র অল্প উচ্চতায় এটি সঠিক ফল দেয়। এখানে এটি দিয়ে হিসাব নিকাশ করলে খুবই অল্প উচ্চতা (h=0) বের হবে :p:p:p (আগেই বলে দিয়েছিলাম h>0)
আজ এ পর্যন্তই। আমাদের সাথেই থাকুন,
ফিজিক্সের সৌন্দর্যে বিভোর হয়ে থাকুন।

►► আলোর উত্‍স ◄◄
ধরুন দুপুর বারোটায় আপনি ঘরের মধ্যে বসে আছেন। ঘর হতে কোনভাবেই সূর্য দেখা যাচ্ছে না, এমনকি জানালা দিয়ে উঁকি দিয়েও না, কারণ তখন সূর্য সোজা ঘরের উপর। লাইটও বন্ধ করা আছে। কিন্তু ঘরে আলোর কোনই অভাব নেই।
প্রশ্ন হলো ঘরের এই আলোর উত্‍স কী ??
অনেকেই হয়তো বলবেন—“ কেন, সূর্য দেখা না গেলেই কী?? আলো তো সূর্য থেকেই আসছে, তাই সূর্যই এখানে উত্‍স।”
আমি বলবো, “আলো তো সূর্য থেকেই আসছে”— এখানেই আমার আপত্তি। আলো যদি সূর্য থেকেই আসতো তাহলে অবশ্যই সূর্যকে আমরা দেখতে পেতাম, কারণ কোন কিছু থেকে আলো এসে আমাদের চোখে পড়লেই আমরা তাকে দেখতে পাই। এই 'কোন কিছু' টাকেই বলা হয় উত্‍স। যেহেতু সূর্যকে আমরা দেখছি না সুতরাং সূর্য থেকে আলো ঘরে আসছে না, আসলে ঘর থেকে সূর্যকে দেখা যেত। অর্থাত্‍, সূর্য এখানে উত্‍স নয়।
তাহলে উত্‍স কে???
এই প্রশ্নের উত্তর দিতে হলে আমাদের আগে “আলোক উত্‍স” কে ভালোভাবে সংজ্ঞায়িত করতে হবে। সংজ্ঞাটা খুবই সাদামাটা।
সংজ্ঞাঃ যা থেকে আলো আসে তাই উত্‍স।
তা তো বুঝলাম যা থেকে আলো আসে তাই উত্‍স, কিন্তু যা থেকে আলো আসে তা নিজেই আলো উত্‍পন্ন করবে তা কে বললো?? এমনও তো হতে পারে অন্য কেউ আলো উত্‍পন্ন করছে আর সে আলো প্রতিফলিত বা বিক্ষিপ্ত করছে। তাই আলোক উত্‍সকে আবার দুই ভাগে ভাগ করা হয়।
•মুখ্য উত্‍সঃ যে উত্‍স নিজেই আলো উত্‍পন্ন করে। যেমনঃ সূর্য, লাইট, মোমবাতি ইত্যাদি।
•গৌণ উত্‍সঃ যে উত্‍স নিজে আলো উত্‍পন্ন করে না, শুধুমাত্র অপর কোন মুখ্য উত্‍স এর আলো প্রতিফলিত বা বিক্ষিপ্ত করে। যেমনঃ চাঁদ, মেঘ, বাতাস, মাটি, পরিবেশ এমনকি আপনি বা আমি !!
এখন আসা যাক আমাদের প্রশ্নের উত্তরে। আসলে ঘরে যে আলো প্রবেশ করছে তা সরাসরি সূর্যালোক নয়। সূর্যের আলো বায়ুতে বা মেঘে বা গাছপালাতে অথবা অন্য কোন দেয়াল বা ঘর বা মাটি থেকে এমনকি অন্য কোন মানুষ বা প্রাণীর দেহ থেকে প্রতিফলিত বা বিক্ষিপ্ত হয়ে ঘরে প্রবেশ করেছে এবং ঘরকে আলোকিত করেছে। অর্থাত্‍ এক্ষেত্রে উত্‍স হলো পরিবেশ এবং তা একটি গৌণ উত্‍স।
গৌণ উত্‍স নামে গৌণ হলেও প্রয়োজনের দিক থেকে কিন্তু গৌণ নয়। গৌণ উত্‍স আছে বলেই সূর্যালোক সরাসরি না পেলেও আমাদের আলোর কোনই অভাব হয় না। যদি গৌণ উত্‍স না থাকতো তাহলে ভরদুপুরেও ঘরের ভিতর নিকষ কালো অন্ধকার থাকতো, লাইট জ্বালানো ছাড়া কোন উপায়ই থাকতো না !! যেমনটা হয় স্পেসশিপগুলোতে, হয়তো বাইরে সরাসরি সূর্য আছে কিন্তু স্পেসশিপের ভিতর লাইট জ্বালানো ছাড়া উপায় নেই!!!
গৌণ উত্‍স সম্পর্কে আরেকটা মজার ঘটনা বলি। খেয়াল করে দেখবেন মেঘলা দিনে, যখন ঘন মেঘের কারণে সূর্য আকাশে দেখা যায় না তখন খোলা মাঠে দাঁড়ালে কোন দিকেই নিজের ছায়া পাওয়া যায় না, অথচ মেঘমুক্ত দিনে ঠিকই সূর্যের বিপরীতে নিজের ছায়া দেখা যায়। এর কারণ প্রথম ক্ষেত্রে আলোক উত্‍স হলো মেঘ। এটি অনেক বড় এবং (সূর্যের তুলনায়) অনেক কাছে বলে চারদিকেই আলো ছড়িয়ে দিচ্ছে, নির্দিষ্ট কোন দিকে দিচ্ছে না। আর ছায়া শুধু তখনই দেখা যায় যখন আলো নির্দিষ্ট একদিক থেকে আসে। তাই এক্ষেত্রে ছায়া দেখা যায় না।
আসলে, গৌণ উত্‍স আছে বলেই আমাদের এই পৃথিবীটা এত সুন্দর !

গোলাপ ফুলের পাপড়ি ছিড়েছেন কখনো?
ছিঁড়লেও নিশ্চয়ই গুণে দেখেন নি, কয়টা
পাপড়ি থাকে। ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫ কিংবা ৮৯ টা।
কিছু ব্যাতিক্রম ছাড়া প্রায় সব ফুলই এই নিয়ম
মেনে চলে। অদ্ভুত মনে হচ্ছে? আসুন আরো
সারপ্রাইজ অপেক্ষা করছে। আপনি সায়েন্স হোন
আর আর্টস হোন, অঙ্কে দুর্বল হোন, আর
সুপার ডুপার হোন খুব সহজেই হিসাবটা করতে
পারেন।

০, ১, ১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪, ৫৫, ৮৯, ১৪৪, ২৩৩,
৩৭৭…… এই যে সংখ্যাগুলো, এদেরকে বলা হয়
ফিবোনাচ্চি সংখ্যা। অর্থাৎ, আগের সংখ্যার সাথে
পরের সংখ্যাটা যোগ করলেই আরেকটি
ফিবোনাচ্চি সংখ্যা পাওয়া যায়।
কিছু ব্যতিক্রম ছাড়া সব ফুল এই নিয়ম মেনে চলে।
শুধু ফুল নয়, প্রকৃতির অনেক জায়গায় এ সংখ্যা পাবেন।
ফলেও ফিবোনাচ্চি সংখ্যা দেখা যায়। আনারসের
“চোখ” গুণে দেখুন। এক সারিতে ৮ টা কিংবা ১৩ টা
থাকে।

নাম লিওনার্দো ফিবোনাচ্চি। জন্ম ইটালিতে। তিনি-ই
সর্বপ্রথম এটি আবিষ্কার করেন। তার নামানুসারেই এই
ধারার নাম হয়েছে, ফিবোনাচ্চির ধারা! ১২০৩
খ্রিষ্টাব্দে খরগোশের প্রজননে তিনি সর্বপ্রথম
এই ধারার অস্তিত্ব দেখতে পান। অর্থাৎ দুটি
খরগোশ থেকে যদি প্রজনন হয়, আর একটা
খরগোশও না মরে, তাহলে যদি ১০ মাস পর ৫৫ টা
খরগোশ হয় ১১ মাস পর হবে ৮৯ টা, ১২ মাস পর
হবে ১৪৪ টা।

এখানেই শেষ না। পাশাপাশি দুটি ফিবোনাচ্চি সংখ্যার যদি
পরেরটাকে আগেরটা দিয়ে ভাগ করেন ১.৬১ হয়।
অর্থাৎ ২৩৩ কে ১৪৪ দ্বারা কিংবা ৩৭৭ কে ২৩৩ দ্বারা
ভাগ করলে ১.৬১ পাওয়া যাবে। একে বলে
গোল্ডেন রেশিও। মানবদেহের অভ্যন্তরীণ
বিভিন্ন অঙ্গে এই গোল্ডেন নাম্বারের অস্তিত্ব
পাওয়া যায়। একটা অঙ্গের দৈর্ঘ্যকে ১.৬১ দ্বারা গুণ
করলে আরেকটা অঙ্গের দৈর্ঘ্যের সমান হয়।

বর্তমানে মিউজিকে এর বহুল ব্যাবহার দেখা যায়। বড়
বড় ব্যান্ড দলগুলো বিভিন্ন মিউজিকে ফিবোনাচ্চির
ছন্দ ব্যাবহার করেছে। এ মিউজিকগুলো ব্যাপক
জনপ্রিয়তা পেয়েছে।

চমক শেষ হয়নি।
পাখিরা যখন দলবেঁধে আকাশে ওড়ে, গণণা করে
দেখবেন। প্রতি দলে হয় ১৩ টা নাহয় ২১ টা নাহয় ৩৪
টা…….অর্থাৎ ফিবোনাচ্চির সংখ্যানুযায়ী এরা দলে
বিভক্ত থাকে। যদি শিকারীরা কোনো একটা
পাখিকে মেরে ফেলে, এরা দল ভেঙ্গে আবার
ফিবোনাচ্চি সংখ্যানুযায়ী দলবদ্ধ হয়।
সত্যি-ই এটি প্রকৃতির এক অদ্ভুত রহস্য!
এই উদ্ভিদ-প্রাণীদের গণিত শেখালো, শিক্ষক টা
কে?

গনিতের ইতিহাসে সবচেয়ে আলোচিত থিওরি হল ফার্মেটের লাস্ট থিওরি। শুধুমাত্র এই একটি থিওরি প্রমান করতে গিয়ে গত ৩শ বছরেরও বেশী সময় ধরে পৃথিবীর সেরা সেরা গণিতবিদেরা অক্লান্ত গবেষণা করে গেছেন। তাদের মধ্যে একজন ছাড়া কেউ ফার্মেটের লাস্ট থিওরি প্রমান করে যেতে পারেন নি। কেউ আবার ঐ থিওরিকে ভুল প্রমানে চেষ্টা করে গেছেন। শুধুমাত্র ঐ থিওরি প্রমান করতে গিয়ে আত্নহত্যার পথ বেছে নিয়েছিলেন জার্মান গনিতবিদ পল উলফসকেহল। তিনি ছিলেন কারখানার মালিক এবং একই সাথে গনিতের এক নিভৃত সেবক। ঊনবিংশ শতকের শেষ দিকে তিনি ফার্মেটের লাস্ট থিওরি নিয়ে গবেষণা শুরু করেন। অনেক চেষ্টা করেও তিনি যখন ব্যর্থ হলেন তখন হতাশায় ভেংগে পড়লেন। হতাশা এবং ব্যর্থতা থেকে মুক্তি পেতে তিনি আত্নহত্যার পথ বেছে নেন। আত্নহত্যার জন্য তিনি দিন ক্ষন ঠিক করলেন। ঠিক করলেন রাত ১২ টায় তিনি আত্নহত্যা করবেন। অবশেষে চলে আসে সেই মাহেন্দ্রক্ষন। কিন্তু ১২টার কয়েক মিনিট আগে তার মাথায় খেয়াল আসে আর একবার চেষ্টা করে দেখা যাক প্রমান করা যায় কিনা। অমনি লাইব্রেরিতে গিয়ে ফার্মেটের লাস্ট থিওরি নিয়ে তখন পর্যন্ত যত গবেষনা করেছেন সেগুলোতে চোখ বুলানো শুরু করলেন। হঠাৎ থিওরি প্রমানের একটি উপায় পেয়ে গেলেন। সংগে সংগে সময় ফুরিয়ে যাওয়ার আগে তিনি নতুন কৌশল নিয়ে ভাবতে বসে যান। কিন্তু শেষ পর্যন্ত তিনি ব্যর্থ হন। তার মানে এখন তাকে আত্নহত্যা করতে হবে। দীর্ঘশ্বাস ছেড়ে সব কিছু দেখে নিলেন। এই সাজানো পৃথিবী ছেড়ে তাকে চলে যেতে হবে একজন ব্যর্থ গনিতবিদ হিসেবে। বিষন্ন মন নিয়ে টেবিল ছেড়ে আত্নহত্যার প্রস্তুতি নিলেন। মাথায় পিস্তল তাক করে টিগারে আংগুল বসান। মাত্র একটি টিপ দিলেই ঘটে যাবে সমস্ত লেন্দেনের হিসাব। ব্যর্থ গনিতবিদ বলে তাকে আর কেউ অভিহিত করবে না। তিনি ফার্মেটের লাস্ট থিওরির কাছে আত্ন সমর্পণ করে চলে যাবেন চিরতরে। দেখে নিলেন ব্যর্থতার কালিমা লেপা এই পৃথিবীতে আর কতক্ষণ তিনি বেচে আছেন। কিন্তু ততক্ষনে সময় পেরিয়ে গেছে মধ্যরাত পেরিয়ে ভোর হয়েছে। আত্নহত্যার লগন পেরিয়ে গেছে। এখন কি করা!! অনেক ভেবে চিন্তে যখন উপায় পেলেন না তখন লগন পেরিয়ে যাওয়ায় আত্নহত্যার পরিকল্পনা বাদ দিলেন। বেচে গেল একটা জীবন। কিন্তু ফার্মেটের লাস্ট থিওরি প্রমানের ব্যর্থতার দায়মুক্তির জন্য তিনি একটা উইল করে যান এবং যিনি ভবিষ্যতে ঐ থিওরি প্রমান করতে পারবেন তার পুরষ্কার হিসেবে রেখে যান এক লাখ ডয়েস মার্ক( যা বর্তমানে ২০ লাখ ডলারের সমতূল্য)। পল উলফসকেহল ১৯০৬ সালে মারা যাওয়ার পর ঘোষনা করা হয় উলফসকেহল প্রাইজ। বলা হয় যিনি ঐ থিওরি প্রমান করতে পারবেন তিনি এই প্রাইজ পাবেন। এ খবর ছড়িয়ে পড়ার প্রথম বছরেই কমিটিতে ৬২১ জন গনিতবিদ তাদের প্রমান হাজির করেন। কিন্তু তার একটিও শেষ পর্যন্ত টিকেনি। যুক্তরাষ্ট্রের জর্জিয়ার গনিতবিদ আই সাভান্ত ফার্মেটের লাস্ট থিওরি ভুল প্রমানের চেষ্টা করেন।
ফার্মেটের লাস্ট থিওরি :সপ্তদশ শতকে ফ্রান্সে জম্মগ্রহন করেন পিয়েরে দে ফার্মেট। একদিকে তিনি ছিলেন টলুজ পার্লামেন্টের একজন সদস্য,অন্যদিকে তিনি ছিলেন একজন খ্যাতনামা এক গণিতবিদ। তিনি তার এক বইয়ে একটি থিওরি উল্লেখ করেছেন,যার চেহারা অনেকটা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মত। পিথাগোরাসের উপপাদ্যটি হল,
x2+y2=z2
পিথাগোরাসের এই সূত্রটির যদি কেউ সমাধান জানতে চান -এ সমীকরণের অখন্ড সংখ্যার(ইনটিজার)সমাধান কি? তাহলে বেশ কিছু উত্তর পাওয়া সম্ভব। যেমন -
32+42=52 অথবা
52+122=132
এভাবে অনেক সমাধান পাওয়া যেতে পারে। ফার্মেট এর পর থেকেই শুরু করেছেন। তিনি দ্বিমাত্রিক ঐ সমীকরনের দুই মাত্রার পরিবর্তে তিন মাত্রা ব্যবহার করেন। যা হল
x3+y3=z3
এখানে ফার্মেট প্রশ্ন উত্থাপন করেন -আপনি কি এই সমীকরনের সমাধান বের করতে পারবেন? এখানেই তিনি শেষ করেন নি। এই সমীকরনের মাত্রা বাড়িয়ে দেন -4,5,6,7,8,9,......n পর্যন্ত। ফলে ফার্মেটের সমীকরনের মূল চেহারা দাঁড়ায়-
x3+y3=z3
x4+y4=z4
x5+y5=z5
.....................................................................................
.....................................................................................
xn+yn=zn
সব শেষে ফার্মেটের সূত্রকে বিবৃত করা হয়
xn+yn=zn এই আকারে ,যেখানে n>2.
এইটাই হল ফার্মেটের সেই লাস্ট থিওরি। ফার্মেট দাবী করে গেছেন এই সমীকরণটির কোন সমাধান নেই। তার এই দাবির পর সমীকরনটি পরিপূর্ণ প্রমান বা বা সমাধান আজও কোন গনিতবিদ দিতে পারেন নি। সমীকরণটি আবিষ্কারের পর কেটে গেছে ৩০০ বছরেরও বেশী। তারপরও এর সমাধান বের করতে না পারার কারণে পৃথিবীর গনিত ইতিহাসে এটি হয়ে আছে সবচেয়ে আলোচিত ,সব চেয়ে রহস্যময় এক সমীকরণ। ফার্মেটে যে বইয়ে তার লাস্ট থিওরি লিপিবদ্ধ করেছিলেন তার মার্জিনে লিখে গেছেন তার সমাধান। কিন্তু ঐ মার্জিনে লিখার মত জায়গা ছিল না।ফার্মেটের ভাষায়- এই প্রস্তাবনার চমৎকার একটি সমাধান আছে আমার কাছে। কিন্তু এই মার্জিন এত ছোট যে সেখানে লেখার মত জায়গা নেই।
এ কারনে ফার্মেট তার সেই চমৎকার প্রমান কোথাও লিখে যাননি। ফলে তার মৃত্যুর পর ইউরোপ সহ সারা পৃথিবীর গনিতবিদেরা উঠে পড়ে লাগে সেই থিওরি প্রমান করার জন্য। মূলত তখন থেকেই এর নাম হয়েছে "ফার্মেটের লাস্ট থিওরি"। সপ্তাদশ শতকের সেই থিওরি আজ গনিতের রহস্য হয়ে আছে। এখনও তা নিয়ে গবেষনা হচ্ছে। অনেক গনিতবিদ মনে করেন এর প্রমান সম্ভব না। তবে জর্জিয়ার গনিতবিদ আই সাভান্ত ফার্মেটের লাস্ট থিওরি তিন মাত্রা নিয়ে তার সমাধান বের করেছিলেন। এক রাতে তিনি ফার্মেটের থিওরি নিয়ে গভীর চিন্তা করতে করতে ত্রিমাত্রিক সমীকরনের সমাধান পেয়ে যান। এতে অনেকেই মনে করেছিলেন যে, এবার বুঝি ফার্মেটের লাস্ট থিওরি মিথ্যা প্রমান হতে চলেছে। আই সাভান্ত যে সমাধান বের করেছিলেন তা হচ্ছে এরকম-
643+943=1033 , যেখানে আইডিওভেরিফিকেশন 0.0000915%
তার এই সমাধানের উপর ভিক্তি করে আরও কতগুলো সমাধান বেরিয়ে এসেছে। যেমন-
543+1613=1633
713+1383=1443
733+1443=1503
1283+1883=2063
1353+1383=1723
এছাড়াও ফার্মেটের সমীকরন n=4,5,6,7 পাওয়ার পর্যন্ত সমাধান পাওয়া গেছে। অর্থাৎ এ পর্যন্ত যে সমীকরণ গুলোর সমাধান পাওয়া গেছে সেগুলো হল
x3+y3=z3
x4+y4=z4
x5+y5=z5
x6+y6=z6
x7+y7=z7

#কালেক্টেড

গোল্ডেন পেয়ে কোনো লাভ নাই যদি কোন ভালো সাবজেক্টে কোথাও চান্স নাহ পাও unsure emoticon । ভালো সাবজেক্ট এ চান্স পেয়ে কোন লাভ নাই যদি না ভালো সিজিপিএ পাও। ভালো সিজিপিএ পেয়ে কোন লাভ নাই যদি না বিসিএস ক্যাডার হতে পারো colonthree emoticon ।

যেনতেন বিসিএস ক্যাডার হয়ে কোনো লাভ নাই যদি না টপ ক্যাডার গুলো না হতে পারো ।টপ ক্যাডার হয়েও কোনো লাভ নাই যদি না দ্রুত প্রোমোশন পাও। ভালো প্রোমোশন পেয়েও কোন লাভ নাই যদি না তোমার সন্তানেরা ভালো কোথাও পড়াশুনা করে। ভালো কোথাও পড়েও লাভ নাই যদি না তোমার সন্তান গোল্ডেন পায়।

এভাবেই আমাদের জীবনে চলতে থাকে ‘লাভ নাই’ এর দুষ্টচক্র। আসলেই আমাদের শিক্ষাব্যাবস্থা আমাদের পরিবার আমাদের বুঝলো নাহ।কখনো বললো নাহ তোমার মন থেকে যেটা শান্তি পাও সেটা করো। কখনো বললো নাহ এবার হারলি তোহ কি হয়েছে পরের বার দেখিয়ে দিবি। শুধু আজিবন বলেই গেলো ফাস্ট হওয়া চায় কিন্তু।

মানুষকে অবাক করে দিয়ে প্রথম তারবিহীন মোবাইল ১৯৮৪ সালে আবিষ্কার করেন Martin Cooper নামে এক ব্যক্তি। তখন এর দাম নির্ধারণ করা ৩,২৭,৫৯০ টাকা। এই টাকা দিয়ে তুমি কয়টি মোবাইল কিনতে পারতে?

গতকাল আমরা ফাংশন থেকে কিছু বেসিক জিনিস শিখেছিলাম । ভর্তি পরীক্ষায় ফাংশন অতিগুরুত্বপূর্ণ একটা বিষয় । তাহলে চল ফাংশন থেকে কিছু এক্স কোয়েশ্চন এবং শর্ট টেকনিক দেখে আসি । এতে করে তোমরা প্রশ্নের প্যাটর্ন বুঝতে পারবা । আর কথা না বাড়িয়ে চল এগিয়ে যাই.......

1. f : R→R কোন ফাংশন হলে f-1(x) নির্ণয় কর যেখানে-
a. f(x) = 2x+3
b. f(x) = (2+3x)/(3-2x)

a. ধরি, y = f(x) = 2x+3 [∵ y=f(x) ⇒ x=f-1(y)]
⇒ 2x = y-3
⇒ x = (y-3)/2
⇒ f-1(y) = (y-3)/2
∴ f-1(x) = (x-3)/2

Short-cut : f(x) = ax+b হলে f-1(x) = (x-b)/a

b. ধরি, y = f(x) = (2x+3)/(3-2x)
[∵ y=f(x) ⇒ x=f-1(y)]
⇒ 3y-2xy = 2+3x
⇒ 3x-2xy = 2-3y
⇒ x(3-2y) = 2-3y
⇒ x = (2-3y)/(3-2y)
⇒ f-1(y) = (2-3y)/(3-2y)
∴ f-1(y) = (2-3y)/(3-2y)

Short-cut : f(x) =(ax+b) / (cx+d) হলে f-1(x) = (-dx+b) / (cx-a) .

ঢাবির বিগত বছরের প্রশ্ন ও সমাধান :

1. যদি f(x) = x2+3 এবং g(x) = √x হয় তাহলে f(g(x)) = ? [DU : 2001-02]
a. 2x+3, x