NH Academy BD

মাদ্রাসা ও কারিগরি শিক্ষকদের বদলী নীতিমালা ২০২৬ প্রকাশ

#বদলী #শিক্ষক #মাদ্রাসা

খসড়া রুটিন এসএসসি ২০২৭
কিন্তু
শনিবার পরীক্ষা এটা ভালো লক্ষণ নয়।

#27

SSC Higher Math
উচ্চতর গণিত (SSC)
বীজগাণিতিক রাশিঃ SSC Higher Math BD-Chater 2
SSC higher math solution pdf, ssc higher math note book, এসএসসি উচ্চতর গণিত সমাধান, বীজগাণিতিক রাশ, প্রতিসম রাশি, চক্র-ক্রমিক রাশি, উৎপাদকে বিশ্লেষণ,

বীজগাণিতিক রাশিঃ প্রতিসম রাশি, চক্র-ক্রমিক রাশি, উৎপাদকে বিশ্লেষণ, সরল, আংশিক ভগ্নাংশ, মাত্রা নির্ণয়, মূখ্য সহগ নির্ণয়।
১. নিচের কোন রাশিটি প্রতিসম?

ক) a+b+c খ) xy-yz+zx গ) x2-y2+z2 ঘ) 2a2-5bc-c2

উত্তরঃ ক

২. P(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz হলে

(a) P(x,y,z) চক্রক্রমিক রাশি

(b) P(x,y,z) প্রতিসম রাশি

(c) P(1,-2,1)=0

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) a,b খ) a,c গ) b,c ঘ) a,b,c

উত্তরঃ ঘ

x3+px2-x-7 এর একটি উৎপাদক x+7 হলে ৩ ও ৪ নাম্বার প্রশ্নের উত্তর দাও।

৩. P এর মান কত?

ক) -7 খ) 7 গ) 54/7 ঘ) 477

উত্তরঃ খ

৪. বহুপদীটির অপর উৎপাদকগুলোর গুণফল কত?

ক) (x-1)(x-1) খ) (x+1)(x-2)

গ) (x-1)(x+3) ঘ) (x+1)(x-1)

উত্তরঃ ঘ

৫. x4-5x3+7x2-a বহুপদীর একটি উৎপাদক x-2 হলে, দেখাও যে a=4।

সমাধানঃ

ধরি, P(x)=x4-5x3+7x2-a

x-2, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে, P(2)=0 হবে।

∴ P(2)=24-5.23+7.22-a

বা, 0=16-40+28-a

বা, 0=4-a

বা, a=4 (দেখানো হলো)

৬. মনে কর, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a যেখানে a,b,c ধ্রুবক এবং a≠0। দেখাও যে, x-r যদি P(x) এর একটি উৎপাদক হয়, তবে P(x) এর আরেকটি উৎপাদক হবে (rx-1)।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, P(x)=ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a

এখন P(r)=0 [x-r, P(x) এর উৎপাদক]

P(r)=ar5+br4+cr3+cr2+br+a

বা, ar5+br4+cr3+cr2+br+a=০……..(i)

এখন, rx-1, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে P(1/r)=0 হবে,

তাহলে,

P(1/r)

=a(1/r)5+b(1/r)4+c(1/r)3+c(1/r)2+b(1/r)+a

=(a/r5)+((b/r4)+(c/r3)+(c/r2)+(b/r)+a

a+br+cr2+cr3+br4+ar5

=----------------------------------
r5
0

=---------- [(i) নং হতে]
r5
=0

∴ (rx-1), p(x) এর একটি উৎপাদক (দেখানো হলো)

৭. উৎপাদকে বিশ্নেষণ কর (ক-জ):

ক) x4+7x3+17x2+17x+6

সমাধানঃ

ধরি, f(x)=x4+7x3+17x2+17x+6

∴ f(-1)=(-1)4+7(-1)3+17(-1)2+17(-1)+6

=1-7+17-17+6

=0

x-(-1) বা x+1, f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন,

x4+7x3+17x2+17x+6

=x4+x3+6x3+6x2+11x2+11x+6x+6

=x3(x+1)+6x2(x+1)+11x(x+1)+6(x+1)

=(x+1)(x3+6x2+11x+6)

আবার ধরি, g(x)=(x3+6x2+11x+6)

g(-1)= (-1)3+6(-1)2+11(-1)+6

=-1+6-11+6

=12-12

=0

∴ x+1, g(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, x3+6x2+11x+6

=x3+x3+5x2+5x+6x+6

=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)

=(x+1)(x2+5x+6)

=(x+1)(x2+3x+2x+6)

=(x+1){x(x+3)+2(x+3)}

=(x+1)(x+2)(x+3)

∴ x4+7x3+17x2+17x+6=(x+1)(x+1)(x+2)(x+3)

=(x+1)2(x+2)(x+3)

খ) 4a4+12a3+7a2-3a-2

সমাধানঃ

ধরি, f(a)=4a4+12a3+7a2-3a-2

f(-1)= 4(-1)4+12(-1)3+7(-1)2-3(-1)-2

=4-12+7+3-2

=14-14

=0

∴ (a+1), f(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন, 4a4+12a3+7a2-3a-2

=4a4+4a3+8a3+8a2-a2-a-2a-2

=4a3(a+1)+8a2(a+1)-a(a+1)-2(a+1)

=(a+1)(4a3+8a2-a-2)

আবার, ধরি, g(a)= 4a4+8a2-a-2

g(-2)= 4(-2)3+8(-2)2-a-2

=4.(-8)+8.4+2-2

=-32+32+2-2

=0

∴ (a+2), g(a) এর একটি উৎপাদক।

এখন, 4a3+8a2-a-2

=4a2(a+2)-1(a+2)

=(a+2)(4a2-1)

=(a+2){(2a)2-12}

=(a+2)(2a-1)(2a+1)

∴ 4a4+12a3+7a2-3a-2=(a+1)(a+2)(2a-1)(2a+1)

গ) x3+2x2+2x+1

সমাধানঃ

ধরি, f(x)= x3+2x2+2x+1

f(-1)=(-1)3+2(-1)2+2(-1)+1

=-1+2-2+1

=0

∴ (x+1), f(x) এর একটি উৎপাদক।

এখন, x3+2x2+2x+1

=x3+x2+x2+x+x+1

=x2(x+1)+x(x+1)+1(x+1)

=(x+1)(x2+x+1)

ঘ) x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz

সমাধানঃ

x(y2+z2)+y(z2+x2)+z(x2+y2)+3xyz

=xy2+z2x+yz2+x2y+zx2+zy2+3xyz

=(xy2+x2y+xyz)+(y2z+yz2+xyz)+(zx2+z2x+xyz)

=xy(y+x+z)+yz(y+x+z)+zx(y+x+z)

=(x+y+z)(xy+yz+zx)

ঙ) (x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)

সমাধানঃ

(x+1)2(y-z)+(y+1)2(z-x)+(z+1)2(x-y)

=(x2+2x+1)(y-z)+(y2+2y+1)(z-x)+(z2+2z+1)(x-y)

=x2(y-z)+2x(y-z)+(y-z)+y2(z-x)+2y(z-x)+(z-x)+z2(x-y)+2z(x-y)+(x-y)

=x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)+2xy-2zx+2yz-2xy+2zx-2yz+-z+z-x+x-y

=x2y-zx2+y2z-xy2+z2(x-y)

=x2y-xy2-zx2+y2z+z2(x-y)

=xy(x-y)-z(x2-y2)+z2(x-y)

=(x-y){xy-z(x+y)+z2}

=(x-y)(xy-zx-zy+z2)

=(x-y){x(y-z)-z(y-z)}

=(x-y)(x-z)(y-z)

=-(x-y)(y-z)(z-x)

চ) b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)

সমাধানঃ

b2c2(b2-c2)+c2a2(c2-a2)+a2b2(a2-b2)

=b4c2-b2c4+c4a2-c2a4+a2b2(a2-b2)

=c4a2-b2c4+b4c2-c2a4+a2b2(a2-b2)

=c4(a2-b2)+c2(b4-a4)+a2b2(a2-b2)

=c4(a2-b2)+c2(b2-a2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)

=c4(a2-b2)-c2(a2-b2)(b2+a2)+a2b2(a2-b2)

=(a2-b2){c4-c2(b2+a2)+a2b2}

=(a2-b2)(c4-c2b2-c2a2+a2b2)

=(a2-b2){c2(c2-b2)-a2(c2-b2)

=(a2-b2)(c2-b2)(c2-a2)

=(a-b)(a+b)(c-b)(c+b)(c-a)(c+a)

=-(a+b)(a-b)(b-c)(b+c)(c-a)(c+a)

ছ) 15x2+2xy-24y2-x+24y-6

সমাধানঃ

15x2+2xy-24y2-x+24y-6

=15x2+20xy-10x-18xy-24y2+12y+9x+12y-6

=5x(3x+4y-2)-6y(3x+4y-2)+3(3x+4y-2)

=(3x+4y-2)(5x-6y+3)

জ) 15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz

সমাধানঃ

15x2-24y2-6z2+2xy-xz+24yz

=15x2-18xy+9xz+20xy-24y2+12yz-10xz+12yz-6z2

=3x(5x-6y+3z)+4y(5x-6y+3z)-2z(5x-6y+3z)

=(5x-6y+3z)(3x+4y-2z)

৮.

1

---
a3

+
1

---
b3

+
1

---
c3

=
3

---
abc
হলে, bc+ca+ab=0 বা a=b=c

সমাধানঃ

ধরি, (1/a)=x; (1/b)=y; (1/c)=z

সুতরাং প্রদত্ত সমীকরণ নিন্মরূপঃ

x3+y3+z3=3xyz

বা, x3+y3+z3-3xyz=0

বা, ½(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}=0

∴ হয় (x+y+z)=0

বা, (1/a)+(1/b)+(1/c)=0

bc+ca+ab

বা, --------------- = 0
abc
বা, bc+ca+ab=0

অথবা,

(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2=0

কিন্ত দুই বা ততোধিক বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

সুতরাং,

(x-y)2=0

বা, x-y=0

বা, x=y

বা, (1/a)=(1/b)

বা, a=b

একইভাবে পাই, b=c, c=a

অর্থাৎ, a=b=c

∴ bc+ca+ab=0 বা a=b=c (দেখানো হলো)

৯. যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও যে, x3+y3+z3-3xyz=4(a3+b3+c3-3abc)।

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=x3+y3+z3-3xyz

= ½(x+y+x){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}

= ½(b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]

=½(a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}

=½(a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}

=4.½(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

=4(a3+b3+c3-3abc)

=ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

১০. সরল কর (ক-ঘ):

সমাধানঃ ক-ঘ এর সমাধান নিন্মে দেওয়া হলোঃ

১১. আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ (ক-ঙ)

5x+4

ক) ------------
x(x+2)
সমাধানঃ

মনে করি,

5x+4 A B

------------=---- + ------- ….(i)
x(x+2) x x+2
(i) এর উভয়পক্ষকে x(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই,

5x+4=A(x+2)+Bx…….(ii)

যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(ii) এর উভয়পক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,

0+4=2A+0

বা, A=2

আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=-2 বসিয়ে পাই,

-10+4=0-2B

বা, -6=2B

বা, B=3

A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

5x+4 2 3

------------=----+-------
x(x+2) x x+2
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ

2 3

---- +-------
x x+2
x+2

খ) ------------
x2-7x+12
সমাধানঃ

এখানে,

x2-7x+12=x2-3x-4x+12=(x-3)(x-4)

সুতরাং,

x+2 x+2

---------- =---------------
x2-7x+12 (x-3)(x-4)
মনে করি,

x+2 A B

------------=------+------- ….(i)
(x-3)(x-4) x-3 x-4
(i) এর উভয়পক্ষকে (x-3)(x-4) দ্বারা গুণ করে পাই,

x+2=A(x-4)+B(x-3)…….(ii)

যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(ii) এর উভয়পক্ষে x=3 বসিয়ে পাই,

3+2=A(3-4)+B(3-3)

বা, 5=-A

বা, A=-5

আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=4 বসিয়ে পাই,

4+2=A(4-4)+B(4-3)

বা, 6=B

বা, B=6

A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

x+2 -5 6

------------=------+-------
(x-3)(x-4) x-3 x-4
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ

6 5

------- - -------
x-4 x-3
x2-9x-6

গ) -----------------
x(x-2)(x+3)
সমাধানঃ

(i) এর উভয়পক্ষকে x(x-2)(x+3) দ্বারা গুণ করে পাই,

x2-9x-6=A(x-2)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-2)…….(ii)
যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।
(ii) এর উভয়পক্ষে x=0 বসিয়ে পাই,

-6=A(-2)(3)+0+0

বা, -6=-6A

বা, A=1

আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=2 বসিয়ে পাই,

4-18-6=0+B.2(5)+0

বা, -20=10B

বা, B=-2

(ii) এর উভয়পক্ষে x=-3 বসিয়ে পাই,

9+27-6=0+0+C(-3)(-5)

বা, 30=15C

বা, C=2

A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

x2-9x-6

--------------
x(x-2)(x+3)

=
1

--
x

-
2

----
x-2

+
2

----
x+3
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ

1

--
x

-
2

----
x-2

+
2

----
x+3
x2-4x-7

ঘ)------------------
(x+1)(x2+4)

(i) এর উভয়পক্ষকে (x+1)(x2+4) দ্বারা গুণ করে পাই,

x2-4x-7=A(x2+4)+(Bx+C)(x+1)…….(ii)

যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(ii) এর উভয়পক্ষে x=-1 বসিয়ে পাই,

(-1)2-4.(-1)-7=A(1+4)

বা, 1+4-7=5A

বা, A=-2/5

আবার, (ii) নং থেকে x2, x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

A+B=1

বা, -(2/5)+B=1

বা, B=7/5

এবং, B+C=-4

বা, (7/5)+C=-4

বা, C=-27/5

A, B ও C এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

x2

ঙ)--------------------
(2x+1)(x+3)2

(i) এর উভয় পক্ষকে (2x+1)(x+3)2 দ্বারা গুণ করে পাই,

x2=A(x+3)2+B(2x+1)(x+3)+C(2x+1)…….(ii)

যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(ii) এর উভয়পক্ষে x=-3 বসিয়ে পাই,

(-3)2=C{2(-3)+1}

বা, 9=-C(-6+1)

বা, 5C=9

বা, C=-9/5

আবার, (ii) এর উভয়পক্ষে x=-½ বসিয়ে পাই,

(-½)2=A(-½+3)2

বা, ¼=A{(-1+6)/2}2

বা, ¼=A(5/2)2

বা, ¼=A.25/4

বা, 1=25A

বা, A=1/25

(ii) নং থেকে x2 এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

A+2B=1

বা, (1/25)+2B=1

বা, 2B=1-(1/25)

বা, 2B=(25-1)/25

বা, 2B=24/25

বা, B=12/25

১২. x,y,z এর একটি বহুপদী হলো F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz

ক) দেখাও যে, F(x,y,z) হলো একটি চক্র-ক্রমিক রাশি।

খ) F(x,y,z) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর এবং যদি F(x,y,z)=0, x+y+z≠0 হয়, তবে দেখাও যে, (x2+y2+z2)=(xy+yz+zx)

গ) যদি x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c হয়, তবে দেখাও যে, F(a,b,c) : F(x,y,z)= 1 : 4

সমাধানঃ

ক)

দেওয়া আছে, F(x,y,z)=x3+y3+z3-3xyz

প্রদত্ত রাশিটি x,y,z চলকের বহুপদী।

x এর স্থলে y, y এর স্থলে z এবং z এর স্থলে x বসিয়ে পাই,

F(y,z,x)=y2+z3+x3-3yzx

= x3+y3+z3-3xyz

দেখা যায় যে, চলকগুলো স্থান পরিবর্তন করলেও রাশিটি একই থাকে।

অর্থাৎ, F(x,y,z)=F(y,z,x)

সুতরাং F(x,y,z) একটি চক্র-ক্রমিক রাশি (দেখানো হলো)

খ)

F(x,y,z)

=x3+y3+z3-3xyz

=(x+y)3-3xy(x+y)+z2-3xyz

=(x+y)3+z3-3xy(x+y+z)

=(x+y+z){(x+y)2-(x+y).z+z2}-3xy(x+y+z)

=(x+y+z)(x2+2xy+y2-zx-yz+z2-3xy)

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) (Ans.)

প্রশ্নমতে,

F(x,y,z)=0

বা, (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0

বা, (x2+y2+z2-xy-yz-zx)=0 [(x+y+z)≠0]

বা, x2+y2+z2=xy+yz+zx (দেখানো হলো)

গ)

দেওয়া আছে, x=b+c-a, y=c+a-b এবং z=a+b-c

খ হতে পাই,

F(x,y,z)

=(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx)

= ½(x+y+x)(2x2+2y2+2z2-2xy-2yz-2zx)

=½(x+y+z){(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2}

=½(b+c-a+c+a-b+a+b-c){(b+c-a-c-a+b)2+(c+a-b-a-b+c)2+(a+b-c-b-c+a)2} [x,y,z এর মান বসিয়ে]

=½(a+b+c){(2b-2a)2+(2c-2b)2+(2a-2c)2}

=½(a+b+c){4(a-b)2+4(b-c)2+4(c-a)2}

=4.½.(a+b+c){(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2}

=4(a3+b3+c3-3abc) [সূত্রানুসারে]

=4.F(a,b,c)

∴ F(x,y,z)=4.F(a,b,c)

বা, F(a,b,c) : F(x,y,z) = 1 : 4 (দেখানো হলো)

১৩. P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca) এবং Q=a-3+b-3+c-3-3a-1b-1c-1।

ক) P(a,b,c) চক্র ক্রমিক এবং প্রতিসম রাশি কিনা তা কারণ সহ উল্লেখ কর।

খ) Q=0 হলে, প্রমাণ কর যে, a=b=c অথবা ab+bc+ca=0।

গ) P(a,b,c)=abc হলে দেখাও যে,

1

---------- =
(a+b+c)7
1

-- +
a7
1

-- +
b7
1

--
c7
সমাধানঃ

ক)

P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)

এখানে, a=b, b=c, c=a বসালে পাই

P(b,c,a)=(b+c+a)(bc+ca+ab)=(a+b+c)(ab+bc+ca)

অর্থাৎ চক্রাকারে a=b, b=c, c=a বসালেও রাশিটির মানের কোন পরিবর্তন হয় না।

∴ রাশিটি চক্র-ক্রমিক রাশি।

আবার,

a এর স্থানে b এবং b এর স্থানে a বসালে পাই,

P(b,a,c)=(a+c+b)=(ac+cb+ba)=(a+b+c)(ab+bc+ca)

অর্থাৎ a,b,c চলকের যেকোন-দুইটি স্থান বিনিময় করলে রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে।

∴ রাশিটি প্রতিসম রাশি।

খ)

দেওয়া আছে,

Q=a-3+b-3+c-3-3a-1b-1c-1

Q=0 হলে,



1

-- +
a3
1

-- +
b3
1

-- -
c3
3

---
abc

= 0


বা,
1

-- +
a3
1

-- +
b3
1

-- =
c3
3

---
abc


বাকী অংশ এই অনুশীলনীর ৮ নং প্রশ্নের সমাধান এ দেখ।

গ)

দেওয়া আছে,

P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)

বা, abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)

বা, abc=a2b+abc+ca2+ab2+b2c+abc+abc+bc2+c2a

বা, 0= a2b+abc+ca2+ab2+b2c+abc+bc2+c2a

বা, 0=a2b+ab2+abc+ca2+ b2c+abc+ bc2+c2a

বা, 0=ab(a+b)+ac(b+a)+bc(b+a)+c2(b+a)

বা, 0=(ab+ac+bc+c2)(a+b)

বা, (a+b){a(b+c)+c(b+c)}=0

বা, (a+b)(a+c)(b+c)=0

বা, (a+b)=0 অথবা, (a+c)=0 অথবা, (b+c)=0

∴ a=-b; a=-c; b=-c

এখন,

1

------------
(a+b+c)7
1

=------------ [b=-c]
(a-c+c)7
1

=----
a7
আবার,



1

-- +
a7
1

-- +
b7
1

--
c7

=
1

-- +
a7
1

----- +
(-c)7
1

--
c7

=
1

-- +
a7
-1

----- +
c7
1

--
c7

=
1

--
a7




তাহলে

1

---------- =
(a+b+c)7
1

-- +
a7
1

-- +
b7
1

--
c7


[দেখানো হলো]

১৪. P(x)=18x3+bx2-x-2 এবং Q(x)=4x4+12x3+7x2-3x-2

Q(x)

ক) ------- ভাগফলটির মাত্রা নির্ণয় কর।
P(x)
সমাধানঃ

এখানে,

Q(x) এর মাত্রা 4

P(x) এর মাত্রা 3

∴ Q(x)/P(x) এর মত্রা = 4-3=1

খ) 3x+2, P(x) এর একটি উৎপাদক হলে b এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

P(x)=18x3+bx2-x-2

3x+2, P(x) এর একটি উৎপাদক

∴ P(-⅔)=0

তাহলে,

P(-⅔)=18.(-⅔)3+b(-⅔)2-(-⅔)-2

বা, 18.(-⅔)3+b(-⅔)2-(-⅔)-2=0

বা,
-18.8

------- +
27
b.4

---- +
9
2

--
3

-2

= 0

বা,
b.4

---- =
9
18.8

------- -
27
2

--
3

+2


বা,
b.4

---- =
9
2.8

------- -
3
2

--
3

+2


বা,
b.4

---- =
9
16

------- -
3
2

--
3

+2


বা,
4b

---- =
9
16-2+6

---------
3


বা,
4b

---- =
9
20

----
3


বা,

b =
20✕9

------
3✕4


বা,

b = 15



8x2-2

গ) --------- কে
Q(x)
আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

Q(x)=4x4+12x3+7x2-3x-2

8x2-2

∴ ---------
Q(x)
8x2-2

=-------------------------
4x4+12x3+7x2-3x-2
8x2-2

=---------------------------------
4x4+4x3+8x3+8x2-x2-x-2x-2
8x2-2

=----------------------------------------
4x3(x+1)+8x2(x+1)-x(x+1)-2(x+1)
8x2-2

=------------------------
(x+1)(4x3+8x2-x-2)
8x2-2

=------------------------------
(x+1){4x2(x+2)-1(x+2)}
8x2-2

=------------------------
(x+1)(x+2)(4x2-1)
2(4x2-1)

=------------------------
(x+1)(x+2)(4x2-1)
2

=----------------
(x+1)(x+2)

ধরি,

2 A B

---------------- = ------- + -------- …(i)
(x+1)(x+2) (x+1) (x+2)
(i) এর উভয়পক্ষকে (x+1)(x+2) দ্বারা গুণ করে পাই,

2=A(x+2)+B(x+1)…….(ii)

যা x এর সকল মানের জন্য সত্য।

(ii) এ x=-2 বসিয়ে পাই,

2=0+B(-2+1)

বা, -B=2

বা, B=-2

আবার, (ii) এ x=-1 বসিয়ে পাই,

2=A(-1+2)+0

বা, 2=A

বা, A=2

A ও B এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

2 2 -2

---------------- = ------- + --------
(x+1)(x+2) (x+1) (x+2)
∴ নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশঃ

2 2

------- - -------
(x+1) (x+2)
১৫. চলক x এর দুইটি বহুপদী P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3 এবং Q(x)=6x3+x2-9x+26।

ক) P(x) কে আদর্শরুপে নিখে এর মূখ্য সহগ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3

বহুপদটির আদর্শ রূপ=4x4+12x3+7x2-3x-a

এর মূখ্য সহগ=4

খ) P(x) এর একটি উৎপাদক (x+2) হলে a এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3

(x+2), P(x) এর উৎপাদক হলে,

P(-2)=0

∴ 0=7(-2)2-3(-2)+4(-2)4-a+12(-2)3

বা, 7.4+3.2+4.16-a-12.8=0

বা, 28+6+64-a-96=0

বা, 2-a=0

বা, a=2

গ) দেখাও যে, P(x) এবং Q(x) এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান।

সমাধানঃ

P(x)=7x2-3x+4x4-a+12x3

=4x4+12x3+7x2-3x-a

=4x4+12x3+7x2-3x-2 [a=-2, খ হতে]

=4x4+8x3+4x3+8x2-x2-2x-x-2

=4x3(x+2)+4x2(x+2)-x(x+2)-1(x+2)

=(x+2)(4x3+4x2-x-1)

=(x+2){4x2(x+1)-1(x+1)}

=(x+2)(x+1)(4x2-1)

=(x+2)(x+1){(2x)2-12}

=(x+2)(x+1)(2x-1)(2x+1)

P(x) এর উৎপাদক সমূহঃ (x+2), (x+1), (2x-1), (2x+1)

আবার,

Q(x)=6x3+x2-9x+26

এখন, P(x) এর উৎপাদকসমূহের মান হতে, x=-2, x=-1, x=-½ ও x=½ এর জন্য Q(x) এর মান যাচাই করে পাই Q(-2)=0,

Q(-2)=6.(-2)3+(-2)2-9(-2)+26=-48+4+18+26=0

সুতরাং, (x+2), Q(x) এর উৎপাদক।

অর্থাৎ P(x) এবং Q(x) এর একটি সাধারণ উৎপাদক বিদ্যমান যা হলো (x+2).

নবম পে স্কেল...Coming!!!

NH Academy BD

#পে_স্কেল #নবম

শিক্ষা প্রতিষ্ঠান : জাতীয়করণ

#জাতীয়করণ

এইচ.এস.সি পরীক্ষা ২০২৬ এর সময়সূচী

আমার নতুন ফলোয়ারদের স্বাগত জানাই! আপনাদের ফলোয়ার হিসাবে পেয়ে আমি খুবই খুশি! Mira Alam, Maruf Bogra, Biplab Gope, Kazi Rahim Raaz, Md. Kamruzzaman, Mahfuz Ur Rahman, Amdadul Hoque Milon, Monir Hossain, J-r Jia, Md Khairul Islam, Subhajit Dey, Kamrul Islam, Shahinur Rahman, Mijanur Rahaman, মোহাম্মাদ সাজ্জাদ হোসাইন, Suman Mia, Md Safikul Islam Safik, Shaheen Rashid, শামসুল আলম সুমন, Md Nazmul Hasan, Mahmudha Maya, Nurunnahar Popy, Emon Tanjem, সোনিয়া আক্তার সুমাইয়া, M. A. Mannan, Uzzal Uzzal, Anwar Hossain, Sultana Akter, Abbas Uddin, Ismot Toha, Saiful Islam, Md Mursalin, মোঃ মির্জা মোর্শেদ, Manik Arman, Parvin Bhuiyan, Swapna Paul, Ahmed Junaid, Arafat Siddiki, Sofiullah Koyes, Subrata, Mahmudul Hasan Mahin, Ridoy Khan Tusher, Pariksh*t Mahadani, Khairul Alam, Ashrafun Naher, Kayes Mahmud Minhaz, Pervez Shamol, Md. Monjurul Islam Munna, Ataur Rahman, Md Masum Hasan

SSC 2026 Batch

রাত পোহালেই তোমরা জীবনের এক গুরুত্বপূর্ণ অধ্যায় SSC বোর্ড পরীক্ষায় অংশ গ্রহণ করবে। শেষ সময়ে এসে নার্ভাস না হয়ে স্রষ্টা ও নিজের প্রতি বিশ্বাস রেখে রিভিশন এগিয়ে নিয়ে যাও। স্রষ্টা পরম কল্যাণময় হোক তোমাদের প্রত্যেকের তরে। পরীক্ষা ভালো হোক, ভালো থাকো সবাই। শুভ কামনা সবার জন্য।

#পরীক্ষার্থী #এসএসসি