27/03/2023
Algebraic combinatorics behind rubik's cube.
১৯৭৪ সালে হাঙ্গেরিয়ান প্রফেসর আর্নো রুবিকের আবিষ্কার যে কিশোর কিশোরীদের মাঝে রুবিকস কিউবের প্রতি উৎসাহের আলোড়ন সৃষ্টি করবে,তা হয়তো তার কল্পনাতীত ছিলো। এরপর থেকেই বিশ্বজুড়ে এর প্রসার বাড়তে থাকে। তার আবিষ্কৃত এই বিষ্ময়কর বস্তুর ছিলো ৬ টা তল । ৬টা তলে ৬ টা ভিন্ন রকমের কালারের এক অদ্ভুত সংমিশ্রণ।যার মধ্যে ৬ টা সেন্টার, ১২ টা এডজ এবং ৮ টি কর্নার।একটি এডজ পিসে ২টি কালার এবং একটি কর্নার পিসে ৩ টি ভিন্ন কালারের সন্নিবেশ। কখনো কি আমরা চিন্তা করে দেখেছি যে ,এই ৬ টা কালারের এই পিস গুলো কতগুলো সম্ভাব্য অবস্থায় থাকতে পারে? একটু চেষ্টা করে দেখা যাক, বলা হয় যে একটি রুবিক্স কিউব ৪৩,২৫২,০০৩,২৭৪,৪৮৯,৮৫৬,০০০ এই পরিমাণ তার সম্ভাব্য অবস্থান। লেটস ব্রেক দ্যা নাম্বার। আমরা জানি, একটা ৩*৩*৩ কিউবে ৬ টা সেন্টার আছে, সেইগুলো কে মুভ করা পসিবল না, তাহলে তারা একই অবস্থানে থাকছে সবসময়। এর আছে ১২ টা এডজ ,যা দুইটি সেন্টার পিসের মাঝখানে অবস্থান নিচ্ছে এবং একটি এডজ পিসের টোটাল ২ টি করে কালার। আর একটি কিউব ৩*৩*৩ তে ১২ টা এডজ পিস রাখার জায়গা সুতরাং প্রথম এডজ পিসটি রাখার জন্য ১২ টি অপশন ,তারপরের এডজ পিসের জন্য অপশন থাকবে ১১ টি,এভাবে ১০,৯,৮,৭,৬,৫,৪,৩,২,১।তাহলে এডজ রাখার অবস্থান = ১২*১০*৯*৮*৭*৬*৫*৪*৩*২*১ = ১২! । তাহলে এডজ রাখতে পারি আমরা ১২! উপায়ে। আবার প্রত্যেক টি এডজ পিস থাকতে পারে ২ ভাবে = ২*২*২*২*২*২* ২*২*২*২*২*২ = ২^১২। সুতরাং ১২ টি এডজ থাকতে পারবে ২^১২ উপায়ে।সুতরাং এডজ পিস রাখার জায়গা ২^১২ * ১২! উপায়ে।। এবার আসা যাক কর্নার পিস গুলোর জন্য ,৮ টি কর্নার পিসের জন্য পসিবল জায়গা আছে ৮ টি। সুতরাং প্রথম কর্নার পিসের জন্য ৮ টি, ২য় টির জন্য ৭ টি ,৩য় টির জন্য ৬টি এভাবে ৫,৪,৩,২,১। সুতরাং ৮ টি কর্নার পিসের জন্য পসিবল অবস্থান = ৮*৭*৬*৫*৪*৩*২*১ =৮!। আর এরা যেহেতু প্রত্যেকে তিন উপায়ে থাকতে পারে, তাহলে এদের পসিবল অবস্থা হচ্ছে ৩^৮। সুতরাং ৩^৮*৮! উপায়ে।তাহলে টোটাল পসিবল কম্বিনেশন হচ্ছে -যদি এইটি কে W ধরি ,তাহলে W = ৩^৮*৮!* ২^১২ * ১২! = ৫১৯,০২৪,০৩৯,২৯৩,৮৭৮,২৭২,০০০। এইটা হচ্ছে আমার টোটাল পসিবল স্টেট যদি আমরা একটা কিউব কে এসাম্বল করতে চায় প্রতিটা পিস ধরে ধরে। কিন্তু আমরা তো বলেছিলাম এইটা ৪৩,২৫২,০০৩,২৭৪,৪৮৯,৮৫৬,০০০ এই পরিমাণ সম্বভাব্য অবস্থায় থাকতে পারে। এইটাও সত্য । এইবার আসা যাক কেন ৪৩,২৫২,০০৩,২৭৪,৪৮৯,৮৫৬,০০০? একটা কিউব যেকোনো অবস্থা থেকে সল্ভড অবস্থায় আসতে পারে নাহ। যদি আমরা একটা কর্নার টুইস্ট করে দেই অথবা শুধু একটা একটি এডজ ফ্লিপ চেঞ্জ করে দেই অথবা শুধু দুইটা এডজ পিস ইন্টারচেঞ্জ করে দেই তাহলে আমরা সল্ভড অবস্থায় পৌঁছাতে পারবো নাহ। তাহলে কর্নার টুইস্টের ব্যাপার সম্পূর্ণ ডিপেন্ড করছে আমার আগের ৭ টা কর্নারের উপর ,তার মানে আমি কর্নার প্রথম ৭ টা যেকোনো ভাবে রাখতে পারি কিন্তু শেষ কর্নারটির বেলায় আমার একটি উপায়ে রাখতে হবে,যেটি আগের ৭টি কর্নার এর উপর নির্ভর করছে। যেহেতু প্রত্যেক কর্নার তিন ভাবে থাকতে পারে, তার মানে প্রথম ৭টির বেলায় ৩^৭ এবং শেষেরটির বেলায় শুধু মাত্র ১ টি উপায়ে ,তাহলে কর্নার এর জন্য দাঁড়াচ্ছে = ৩*৩*৩*৩*৩*৩*৩*১ = ৩^৭। এডজ এর বেলায় ও একইরকম, প্রথম ১১ টি আমি যেকোনো ভাবে রাখতে পারি কিন্তু শেষ এডজ টি ডিপেন্ড করছে প্রথম ১১ টির উপর তাহলে প্রথম ১১ টি এডজ থাকতে পারে ২ উপায়ে। তাহলে = ২*২*২*২*২*২* ২*২*২*২*২*১ = ২^১১*১। আমি এডজ যেকোনো ভাবে এখন রাখতে পারি কিন্তু কর্নার যাতে দুইটা ইন্টারচেঞ্জ না হয় সেইটা নিশ্চিত করার জন্য আমরা প্রথম ৬ টা কর্নার যেকোনো ভাবে রাখবো কিন্তু শেষ দুইটি কর্নারের জন্য আমরা নির্দিষ্ট একটি করে অবস্থান পাবো । তাহলে ,৮*৭*৬*৫*৪*৩*১*১=৮!/২। এখন আমাদের যে টোটাল পসিবল কম্বিনেশন হয় যেইটা থেকে আমরা সলভড পজিশনে যেতে পারি,
H = ৩^৭*৮!/২*২^১১*১২! = ৪৩,২৫২,০০৩,২৭৪,৪৮৯,৮৫৬,০০০। 43 quintillion, 252 quadrillion, 3 trillion, 274 billion, 489 million and 856 thousand. এই সকল পজিশন থেকে আমরা সল্ভড পজিশনে পৌঁছাতে পারবো। অর্থাৎ আমরা যদি একটি সল্ভড কিউব হাতে নেই তাহলে যেকনো প্রকার কর্নার টুইস্ট, এডজ ফ্লিপ এগুলো ছাড়া শুধু মাত্র ব্যাসিক মুভ দিয়ে (R, L, U, D, F, 😎 আমরা (৪৩,২৫২,০০৩,২৭৪,৪৮৯,৮৫৬,০০০) এতগুলো সম্ভাব্য স্টেট এ আসতে পারবো There are 43,252,003,274,489,856,000 reachable positions (without disassembly).
W হলো সকল পসিবল পজিশন একটা ৩*৩*৩ কিউব থাকতে পারে এবং H হলো ঐ সমস্ত সম্ভাব্য অবস্থান যেখান থেকে আমরা সল্ভড অবস্থায় যেতে পারবো।।
এখন যদি আমরা দেখি ( W : H ) = (W/H) = ১২। আর এই ৩*৩*৩ এর জন্য ১২ টা মাল্টিভার্স চিন্তা করা হয় কিন্তু আমরা শুধু ১টি ইউনিভার্সেই সল্ভেবল করা যায় , যার প্রতি মানুষের এখনো কৌতুহলের কোন অন্ত নেই।