গণিত একাডেমী.কম

কেন শূন্য গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সংখ‌্যা।

গণিতের বিশাল জগতে কোন সংখ্যা সবচেয়ে বেশি প্রভাব ফেলে? অনেকেই হয়তো এক বা পাইয়ের (৩.১৪১৬) কথা বলেন। যদিও বিজ্ঞানী ও গণিতবিদেরা একমত যে শূন্য বা জিরো সব গণিতের ভিত্তিমূল। এটি কেবল একটি সংখ্যা নয়, বরং একটি বিপ্লবী ধারণা যা আধুনিক বিজ্ঞান, অর্থনীতি ও প্রযুক্তির পথ প্রশস্ত করেছে।
সংখ্যা হিসেবে শূন্যের ধারণাকে মানব ইতিহাসের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বুদ্ধিবৃত্তিক উদ্ভাবনের একটি বিবেচনা করা হয়। বিভিন্ন প্রাচীন সভ্যতায় গণনা করার পদ্ধতি ছিল, কিন্তু তারা শূন্যকে একটি ধারণা বা স্থান-ধারক হিসেবে ব্যবহার করত না। শূন্যকে প্রথম আনুষ্ঠানিকভাবে সংখ্যা হিসেবে ব্যবহার করা শুরু হয় ভারতবর্ষে। প্রায় দেড় হাজার বছর আগে এর ব্যবহার দেখা যায়। ভারতীয় গণিতবিদেরা শূন্যকে কেবল পরিমাণের অনুপস্থিতি হিসেবে নয়, বরং গাণিতিক সমীকরণে একটি সক্রিয় ভূমিকা পালনের জন্য প্রবর্তন করেন।
শূন্যের সবচেয়ে তাৎপর্যপূর্ণ ব্যবহারগুলোর মধ্যে একটি হলো এর স্থান-ধারক হিসেবে ভূমিকা। শূন্য আমাদের স্থানীয় মান ব্যবস্থাকে কার্যকর করেছে। আমরা শূন্য ব্যবহার করে এক ও দশ আলাদা করতে পারি। এক, এক শ, এক লাখসহ বিভিন্ন সংখ্যার পার্থক্য তৈরি হয় কেবল শূন্যের অবস্থানের কারণে। শূন্য না থাকলে ১, ১০ বা অন্য সব সংখ্যাকে আলাদাভাবে চিহ্নিত করা অসম্ভব হতো। এই আবিষ্কারের ফলেই বিশাল ও জটিল সংখ্যা সহজে লেখা ও গণনা করা সম্ভব হয়েছে।
শূন্যের ধারণা বীজগণিত ও ক্যালকুলাসের জন্ম দিয়েছে। বীজগণিতে শূন্য একটি অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে। সমীকরণ সমাধান করার সময় আমরা প্রায়ই শূন্যের সঙ্গে তুলনা করি। বিভিন্ন সমীকরণের সমাধান মূলত শূন্যের ধারণার ওপর নির্ভরশীল। অন্যদিকে, আধুনিক পদার্থবিজ্ঞান ও প্রকৌশলের ভিত্তি ক্যালকুলাস, যা অসীমভাবে ক্ষুদ্র ধারণা নিয়ে কাজ করে। শূন্যের ধারণাটি সীমা ধারণার মূলে রয়েছে, যা ক্যালকুলাসের বিকাশের জন্য ছিল অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।
আজকের ডিজিটাল জগৎ সম্পূর্ণভাবে শূন্যের ওপর নির্ভরশীল। কম্পিউটারগুলো বাইনারি কোড ব্যবহার করে কাজ করে, যা কেবল ০ ও ১ নিয়ে গঠিত। এই দুটি প্রতীক লাখ লাখ জটিল নির্দেশ, ডেটা সংরক্ষণ ও ইন্টারনেট সংযোগের ভিত্তি তৈরি করে। যদি প্রাচীন গণিতবিদেরা শূন্যের ধারণা উদ্ভাবন না করতেন, তবে আজকের আধুনিক কম্পিউটিং ও প্রযুক্তি সম্ভবত অসম্ভব হতো। সব মিলিয়ে, শূন্য কেবল ‘কিছুই নয় বোঝায় না, বরং এটি মানবজাতির জ্ঞান ও বৈজ্ঞানিক অগ্রগতির সবচেয়ে শক্তিশালী ভিত্তি। এই নীরব সংখ্যাই আমাদের মহাবিশ্বকে বুঝতে ও প্রযুক্তির মাধ্যমে এটিকে পরিবর্তন করতে সক্ষম করেছে।

❑''মানুষ‌কে অপমান না ক‌রেও
সংশোধন করার অসাধারণ শিক্ষা।''
হঠাৎ এক‌দিন রাস্তায় এক বৃ‌দ্ধের সা‌থে এক যুব‌কের দেখা। যুবক একটুখানি অগ্রসর হয়ে স‌ম্বোধন ক‌রে বিনয়ের সাথে বৃদ্ধ‌কে জিজ্ঞাসা কর‌লো, -স্যার,আমাকে চিন‌তে পে‌রে‌ছেন? উত্ত‌রে বৃদ্ধ লোক‌ বল‌লেন, -না বাবা, আমি তোমা‌কে চিন‌তে পা‌রি‌নি। অতপর বৃদ্ধ লোক জান‌তে চাই‌লেন, "তুমি কে?"
তারপর যুবক‌ বললো, "আমি একসময় আপনার ছাত্র ছিলাম। ও আচ্ছা! ব‌লে সেই বৃদ্ধ লোক‌ যুব‌কের কা‌ছে কুশলা‌দি জানার পর জিজ্ঞাসা কর‌লেন এখন তু‌মি কি কর‌ছো? যুবক‌ অত‌্যন্ত বিন‌য়ের সা‌থে জবাব দিলো, আমি একজন শিক্ষক। বর্তমা‌নে শিক্ষকতা কর‌ছি।"

সা‌বেক ছা‌ত্রের মুখ থে‌কে এই কথা শু‌নে বৃদ্ধ শিক্ষ‌ক অত‌্যন্ত খু‌শি হ‌য়ে বললেন, বাহ্! বেশ তো! খুব ভালো! খুব ভালো! ঠিক আমার মতো হয়েছো তাহলে!" যুবক মৃদুহেসে জবাব দিলো,"জী,আসলে আমি আপনার মতো একজন শিক্ষক হতে পে‌রে‌ছি ব‌লে নি‌জে‌কে ধন‌্য ম‌নে কর‌ছি।" তখন সেই যুবক এর পিছ‌নের কারণ বর্ণনা কর‌তে গি‌য়ে বল‌লো, -"আপনি আমাকে আপনার মতো হতে ভীষণ অনুপ্রাণিত করেছেন স্যার!"

বৃদ্ধ শিক্ষক কিছুটা কৌতূহল নি‌য়ে যুবকের শিক্ষক হওয়ার নেপথ্য কারণ জান‌তে চাই‌লে, যুবক‌ তার শিক্ষক হ‌য়ে উঠার গল্প বল‌তে গি‌য়ে বৃদ্ধ শিক্ষক‌'কে ষ্মরণ ক‌রিয়ে দি‌লো, স্কু‌লে ঘ‌টে যাওয়া সেই পুরনো দিনের ঘটনা। পুরনো দি‌নের ঘটনা বর্ণনা কর‌তে গি‌য়ে যুবক‌ তখন বৃদ্ধ শিক্ষ‌ককে উ‌দ্দেশ‌্য ক‌রে বল‌লো-

"ম‌নে আছে স্যার? একদিন আমার এক সহপা‌ঠি বন্ধু, যে আপনারও ছাত্র ছিল, সে একটি নতুন হাতঘড়ি নি‌য়ে ক্লা‌সে এসেছিল। তার ঘড়ি‌টি এতোটাই সুন্দর ছিল যে, আমি কোনভাবেই লোভ সামলা‌তে পা‌রি‌নি। সিদ্ধান্ত নিয়েছিলাম, যেভাবেই হোক ঘ‌ড়ি‌টি আমার চাই। অতঃপর, সুযোগমতো আমি তার প‌কেট থে‌কে ঘ‌ড়িট‌ি চু*রি করি। কিছুক্ষণ পর আমার সেই বন্ধু তার ঘড়ির অনুপস্থিতি লক্ষ্য করে এবং অবিলম্বে আমাদের স্যার অর্থাৎ আপনার কাছে অভিযোগ করে। তার এই অ‌ভি‌যোগ শু‌নে আপনি ক্লাসের উদ্দেশ্যে বলে‌ছি‌লেন, "আজ ক্লাস চলাকালীন সম‌য়ে এই ছাত্রের ঘড়িটি চু*রি হয়েছে, যেই চু*রি করে থাকো, ঘা‌ড়ি‌টি ফিরিয়ে দাও।"

আপনার নির্দেশ শু‌নেও আমি ঘা‌ড়ি‌টি ফেরত দিতে পারিনি। কারণ, ঘড়িটি ছিল আমার কা‌ছে খুবই লে‌াভনীয়, তাছাড়া, আমরা খুবই গরীব ছিলাম, এমন ঘড়ি ক্রয় করার সামর্থ্যও আমাদের ছিল না। তারপর আপনি দরজা বন্ধ করে সবাই কে বেঞ্চ ছে‌ড়ে উঠে দাঁড়ি‌য়ে ক্লাসরু‌মের ফ্লো‌রের ম‌ধ্যে একটি গোলাকার বৃত্ত তৈরি করতে বললেন এবং সবাই‌কে চোখ বন্ধ করার নির্দেশন দি‌লেন, অতঃপর ঘড়ি উদ্ধার না হওয়া পর্যন্ত আপনি পর্যায়ক্রমে আমাদের সবার পকেট খুঁজ‌তে লাগ‌লেন। আমরা সবাই আপনার নির্দেশনা মোতাবেক নিরবে দাঁ‌ড়ি‌য়ে রইলাম।

এক এক ক‌রে পকেট চেক ক‌রতে গিয়ে একটা সময় আপনি যখন আমার পকেটে হাত দি‌য়ে ঘ‌ড়ি‌টি খুঁ‌জে পে‌লেন তখন ভ‌য়ে, লজ্জায় আমার শরীর কাঁপ‌ছিল। কিন্তুু সেই মুহূ‌র্তে ঘড়ি‌টি আমার প‌কে‌টে পাবার পরও আপনি কিছু ব‌লেন‌ নি এবং শেষ ছাত্র পর্যন্ত সবার প‌কেটই চেক কর‌ছি‌লেন। সব‌শে‌ষে আপ‌নি সবাই‌কে বললেন ঘ‌ড়ি পাওয়া গে‌ছে, এবার তোমরা সবাই চোখ খুল‌তে পা‌রো। ঘ‌ড়ি‌টি পাবার পর আমার সেই বন্ধু‌টি আপনার কা‌ছে জান‌তে চে‌য়ে‌ছিল, "ঘ‌ড়ি‌টি কার প‌কে‌টে পাওয়া গি‌য়ে‌ছিল? ‌কিন্তুু আপনি তা‌কে ব‌লে‌ছি‌লেন, ঘ‌ড়ি‌টি কার প‌কে‌টে পাওয়া গে‌ছে তা গুরুত্বপূর্ণ নয়। তোমার ঘ‌ড়ি পাওয়া গে‌ছে সেটাই গুরুত্বপূর্ণ।

সেই দি‌নের ঘটনা নি‌য়ে পরবর্তী‌তে আপনি আমার সা‌থে কো‌নো কথা ব‌লেন‌নি। এমন‌কি সে কাজের জন‌্য আপনি আমাকে তিরস্কারও করেননি। নৈতিক শিক্ষা দেওয়ার জন্য আপ‌নি আমাকে স্কু‌লের কো‌নো কামরায় নিয়ে যাননি। সেই ঘটনা ছিল আমার জীবনের সবচেয়ে লজ্জাজনক দিন। অথচ আপ‌নি অত‌্যন্ত বু‌দ্ধিমত্তার সা‌থে, কৌশল অবলম্বন ক‌রে চু‌*রি হওয়া ঘ‌ড়ি‌টি উদ্ধার কর‌লেন এবং আমার মর্যাদা চিরতরে রক্ষা করলেন।

সে ঘটনার পর আমি অ‌নেক‌দিন অনু‌শোচনায় ভোগে‌ছি। ক্লা‌সে ঘ‌টে যাওয়া ঘটনার রেশ সে দিন চ‌লে গে‌লেও এর প্রভাব র‌য়ে যায় আমার ম‌নের ম‌ধ্যে। বি‌বে‌কের যু‌দ্ধে বার বার দং‌শিত হ‌য়ে‌ছি। তারপর আমি সিদ্ধান্ত নিলাম এই সব অ‌নৈ‌তিক কাজ আর কখ‌নো করব না। একজন ভা‌লো মানুষ হ‌বে‌া। একজন শিক্ষক হ‌বো। স‌ত্যিকার অ‌র্থে মানুষ গড়ার কা‌রিগর হ‌বো। আপনার কাছ থে‌কে সে দিন আমি স্পষ্টভাবে বার্তা পেয়েছিলাম প্রকৃতপ‌ক্ষে কি ধর‌ণের একজন শিক্ষা‌বি‌দ হওয়া উ‌চিত। অপমান ছাড়াও মানু‌ষকে সং‌শোধন করা যায় সে‌টি আপনার কাছ থে‌কে শি‌খে‌ছি। আপনার উদারতা এবং মহানুভবতা আজ আমা‌কে শিক্ষ‌কের মর্যাদায় আসীন ক‌রে‌ছে।

সা‌বেক ছা‌ত্রের কথাগু‌লো শোনতে শোনতে বৃদ্ধ শিক্ষকের চোখে জল গড়িয়ে পড়লো! চোখের জল মুছতে মুছতে মৃদু হেসে শিক্ষক বললেন, "হ‌্যাঁ, সেই ঘটনা আমার দিব্যি ম‌নে আছে। কিন্তুু আমি তোমাকে মনে রাখিনি, কারণ সে সময় শুধু তোমাদের নয় আমার চোখও বন্ধ ছিল। তারপর শিক্ষক দীর্ঘশ্বাস ত্যাগ করে বললেন, "তুমিই বলো বাবা, কোন শিক্ষক কি সন্তানতূল্য ছাত্রদের চোরের বেশে দেখতে পারে? শিক্ষক চায় তার ছাত্রদের বীরের বেশে দেখে গর্ববোধ করতে।

শিক্ষকতায় আপনি কেন এলেন তা নিজের কাছে স্পষ্ট রাখুন। চাকরি, টাইম-পাস অথবা পার্টটাইম জব হিসেবে নয়, শিক্ষকতাকে একটি মহান সেবা বা মিশন হিসেবে গ্রহণ করুন। তাহলেই আপনি শিক্ষকতায় ভালো করবেন।
•
'অর্থের বিনিময়ে শিক্ষা' নয়, 'আলোকিত মানুষ গড়ার জন্যে শিক্ষা'- এ নীতি নিয়ে শিক্ষার্থীদের সামনে দাঁড়ান।
•
ক্লাসে এসে শিক্ষার্থীদের সাথে হাসিমুখে কুশল বিনিময় করুন।
•
সময়মতো ক্লাসে আসুন। দেরি করে ক্লাসে এসে স্লাইডের মাধ্যমে চটজলদি পড়িয়ে ফাঁকি দেয়ার মানসিকতা পরিহার করুন।
•
বড় হওয়ার স্বপ্ন ও লক্ষ্য শিক্ষার্থীর মনে এঁকে দিন।
এ লক্ষ্য অর্জনে তার ঘাটতিগুলোকে সহজভাবে নিন। তার যে কিছু অনন্য মেধা, গুণ ও যোগ্যতা আছে তা খুঁজে পেতে তাকে সাহায্য করুন।
•
এক শিক্ষার্থীকে কখনোই অন্য শিক্ষার্থীর সাথে তুলনা করবেন না। প্রত্যেক শিক্ষার্থীই অনন্য। তাদের এ অনন্যতাকে গুরুত্ব দিন। সর্বতোভাবে শিক্ষার্থীদের অনুপ্রাণিত করুন।
•
শিক্ষার্থীদের নাম জানুন ও মনে রাখুন।
'অ্যাই ছেলে/ অ্যাই মেয়ে' কিংবা রোল নম্বর ধরে ডাকবেন না। নাম ধরে ডাকলে শিক্ষার্থীরা অনুপ্রাণিত হয়।
•
শিক্ষার্থীদের সাথে সম্পর্কের সীমা বজায় রেখে বন্ধুসুলভ আচরণ করুন। তবে রসিকতা করে নিজের ব্যক্তিত্বকে ক্ষুণ্ণ করবেন না।
•
বিপরীত লিঙ্গের শিক্ষার্থীদের সাথে কথায়, বডি ল্যাঙ্গুয়েজে শালীন ও মার্জিত আচরণ করুন। শোভন সীমা বজায় রাখুন।
•
ক্লাস নেয়ার আগে হোমওয়ার্ক করুন, প্রস্তুতি নিন। যে বিষয়ে পড়াচ্ছেন তার আপডেটেড কারিকুলাম সম্পর্কে অবহিত থাকুন।
প্রয়োজনীয় শিক্ষা উপকরণ ব্যবহার করুন।
•
প্রতিটি ক্লাস নেয়ার আগে পাঁচ মিনিট চোখ বন্ধ করে মনের পর্দায় দেখুন- ক্লাসে সবাই আপনার পড়ানো বুঝতে পারছে, আপনার সান্নিধ্য তাদেরকে আনন্দিত ও অনুপ্রাণিত করছে, আপনার কথাগুলো তারা মনোযোগ দিয়ে শুনছে, উদ্বুদ্ধ হচ্ছে। আপনাকে সুন্দরভাবে গ্রহণ করছে। দেখবেন, বাস্তবেও তা-ই হচ্ছে।
•
শিক্ষার্থীদের নীতিকথা বলার আগে নিজে তা অনুসরণ করুন। তাহলেই আপনার কথার শুভপ্রভাব তাদের ওপর পড়বে।
•
কোনো পড়া বোঝানোর সময় শিক্ষার্থীদের মতামত নিন- আসলেই তারা বুঝতে পারছে কিনা। এর পরিপ্রেক্ষিতে নিজের বক্তব্যকে আরো সহজ এবং গল্প ও উদাহরণসমৃদ্ধ করুন।
•
নিজেকে শিক্ষার্থীদের অবস্থানে নিয়ে গিয়ে ধৈর্য সহকারে বোঝানোর চেষ্টা করুন।
•
কোনো শিক্ষার্থী পড়া বুঝতে না পারলে তাকে গালমন্দ করবেন না। তার ওপর বিরক্তও হবেন না; বরং ক্লাসের পরে সুবিধাজনক সময়ে পড়া বুঝিয়ে দিন। প্রশান্ত থাকুন, তাহলে তার মতো করে তাকে বোঝাতে পারবেন।
•
নিজের লেখা বই/ নোট পড়তে বাধ্য করবেন না। অন্য লেখকদের বইকে প্রাপ্য সম্মান দিলে আপনার সম্মানও বেড়ে যাবে।
•
যে বিষয় পড়াচ্ছেন তা কত জটিল/ কঠিন এবং সে-বিষয়ে সাধারণত কেউ ভালো করতে পারে না- এ ধরনের কথা বলে শিক্ষার্থীদের ভয় দেখাবেন না। শিক্ষক হিসেবে আপনার দেয়া সাহস শিক্ষার্থীদের সে-বিষয়ের প্রতি মনোযোগী করে তুলবে।
আর মনোযোগ যে-কোনো কঠিন বিষয়কে সহজ করে তোলে।
•
শিক্ষার্থীদের কাছে কোনো শিক্ষককে নিয়ে কটু মন্তব্য করবেন না।
প্রশংসা করতে না পারলে মৌন থাকুন।
•
কোন শিক্ষকের চেয়ে কোন শিক্ষক ভালো পড়ান/ কে বেশি জনপ্রিয়- এ জাতীয় প্রশ্ন করে শিক্ষার্থীদের বিভ্রান্তিতে ফেলবেন না।
•
ক্লাসে কম পড়িয়ে নিজের কোচিং বা ব্যাচে পড়তে প্রলুব্ধ করা বা বাধ্য করা থেকে বিরত থাকুন।
•
প্রশ্নপত্র ফাঁসের চক্রান্তে জড়াবেন না। শিক্ষার্থী ও তাদের অভিভাবকদেরকে ফাঁস হওয়া প্রশ্ন নিতে প্রলুব্ধও করবেন না। অন্যায় করা আর অন্যায়ে ইন্ধন দেয়া-দুটোই অপরাধ।
•
কোনো প্রশ্নের উত্তর জানা না থাকলে বলুন- এর উত্তর আপনি পরে জেনে জানাবেন। এতে আপনার জ্ঞানের ভাণ্ডার সমৃদ্ধ হবে। ভুল উত্তর দেয়া/ গোঁজামিল দেয়া বা এরকম প্রশ্ন কেন করেছে ভেবে রাগান্বিত হওয়া থেকে বিরত থাকুন।
•
ভালো রেজাল্টধারীদের প্রতি সুনজর দিতে গিয়ে যারা অপেক্ষাকৃত কম ভালো করছে, তাদের প্রতি অমনোযোগী হবেন না। আপনার একটু সহযোগিতা ও চেষ্টা তাদেরকেও এগিয়ে নেবে।
•
ব্যক্তিগত রোষের কারণে কোনো শিক্ষার্থীকে কম নম্বর দেয়ার মতো অন্যায় করবেন না। এ ব্যাপারে সচেতন ও সংযত থাকুন। আসলে ক্ষমা সর্বোত্তম গুণ এবং স্রষ্টা ক্ষমাশীলকে পছন্দ করেন।
•
দীর্ঘদিন কোনো শিক্ষার্থী আপনার ক্লাসে অনুপস্থিত অথবা অনিয়মিত থাকলে নিজ উদ্যোগে তার ও তার পরিবারের সাথে যোগাযোগ করুন।
•
জন্মদিনে কেক, ফাস্ট ফুড, চকলেট স্কুলে আনতে উদ্বুদ্ধ না করে শিক্ষার্থীদের গাছ লাগানো, পরিচ্ছন্নতা কার্যক্রম বা যে-কোনো সৎকর্মে অনুপ্রাণিত করুন।
•
শিক্ষার্থীদেরকে অপদার্থ, নালায়েক, মূর্খ, বোকা- এ জাতীয় নেতিবাচক কথা বলা থেকে বিরত থাকুন। ইতিবাচক কথার মাধ্যমে তাদেরকে উদ্বুদ্ধ ও অনুপ্রাণিত করুন।
•
বকাঝকা ও গালিগালাজের মাধ্যমে মানসিক অত্যাচার কিংবা শারীরিক শাস্তি আসলে শিক্ষক হিসেবে আপনার পরাজয়কেই প্রমাণিত করে। তাই অভিযুক্ত শিক্ষার্থীদের মনোভাব বুঝে সংশোধনের জন্যে প্রয়োজনীয় পদক্ষেপ নিন।
•
কথা শোনে না, পড়তে চায় না, অমনোযোগী-শিক্ষার্থীদের সম্পর্কে এভাবে ঢালাও অনুযোগ না করে তাদের প্রতি সমমর্মী হোন, তাদেরকে মনোযোগী করে তোলার কৌশলগুলো নিয়ে ভাবুন ও পদক্ষেপ নিন।
•
জনপ্রিয় শিক্ষক হওয়ার বাসনা থেকে শিক্ষার্থীদের সাথে ব্যক্তিগত ফোনালাপ বা তথাকথিত সামাজিক যোগাযোগ মাধ্যমে তাদের সাথে সম্পৃক্ত হওয়া থেকে সচেতনভাবে বিরত থাকুন।
•
ক্লাস চলাকালে মোবাইলে কথা বলা থেকে বিরত থাকুন। ফোন সাইলেন্ট মোডে রাখুন। শিক্ষাপ্রতিষ্ঠানে দায়িত্বরত অবস্থায় বিনোদনের জন্যে ইন্টারনেট, ফেসবুক অথবা ইউটিউবে ব্যস্ত থাকবেন না।
•
কোনো শিক্ষার্থী কথা বলতে এলে ধৈর্য ধরে তার কথা শুনুন। সেই মুহূর্তে সম্ভব না হলে বা শিক্ষার্থী পরে কোনো সময় দেখা করতে চাইলে এপয়েন্টমেন্ট দিন।
নিজের রুমের চেয়ে টিচার্স কমনরুমে কথা বলাকে অগ্রাধিকার দিন।
•
জরুরি নোটিশ বা ডকুমেন্ট আদানপ্রদানের জন্যে 'ফেসবুক গ্রুপ' করতে শিক্ষার্থীদের বাধ্য করবেন না। প্রয়োজনে ই-মেইল করুন।
•
পিকনিক/ বনভোজন/ আনন্দভ্রমণ/ শিক্ষাসফরে খেয়াল রাখুন- ছাত্রছাত্রীরা চোখের আড়াল হচ্ছে কিনা। সচেতন থাকুন- আনন্দের উন্মাদনায় যেন কোনো দুর্ঘটনা না ঘটে।
•
শিক্ষার্থীদের কাছে নিজেকে রোল মডেল হিসেবে উপস্থাপন করুন।

গণিতের সকল সূত্র
বীজগাণিতিক সূত্রাবলী:
1. (a+b)²= a²+2ab+b²
2. (a+b)²= (a-b)²+4ab
3. (a-b)²= a²-2ab+b²
4. (a-b)²= (a+b)²-4ab
5. a² + b²= (a+b)²-2ab.
6. a² + b²= (a-b)²+2ab.
7. a²-b²= (a +b)(a -b)
8. 2(a²+b²)= (a+b)²+(a-b)²
9. 4ab = (a+b)²-(a-b)²
10. ab = {(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²
11.(a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
12. (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
13. (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
14.(a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³
15. (a-b)³= a³-b³-3ab(a-b)
16. a³+b³= (a+b) (a²-ab+b²)
17. a³+b³= (a+b)³-3ab(a+b)
18.a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
19. a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b)
20. (a² + b² + c²) = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ca)
21.2 (ab + bc + ca) = (a + b + c)² – (a² + b² + c²)
22. (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) (b + c) (c + a)
23. a³ + b³ + c³ – 3abc =(a+b+c)(a² + b²+ c²–ab–bc– ca)
24. a3 + b3 + c3 – 3abc =½ (a+b+c) { (a–b)²+(b–c)²+(c–a)²}
25.(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
26. (x + a) (x – b) = x² + (a – b) x – ab
27. (x – a) (x + b) = x² + (b – a) x – ab
28. (x – a) (x – b) = x² – (a + b) x + ab
29.(x+p) (x+q) (x+r) = x³ + (p+q+r) x² + (pq+qr+rp) x +pqr
30. bc (b-c) + ca (c- a) + ab (a - b) = - (b - c) (c- a) (a - b)
31. a² (b- c) + b² (c- a) + c² (a - b) = -(b-c) (c-a) (a - b)
32. a (b² - c²) + b (c² - a²) + c (a² - b²) = (b - c) (c- a) (a - b)
33. a³ (b - c) + b³ (c-a) +c³ (a -b) =- (b-c) (c-a) (a - b)(a + b + c)
34. b²-c² (b²-c²) + c²a²(c²-a²)+a²b²(a²-b²)=-(b-c) (c-a) (a-b) (b+c) (c+a) (a+b)
35. (ab + bc+ca) (a+b+c) - abc = (a + b)(b + c) (c+a)
36. (b + c)(c + a)(a + b) + abc = (a + b +c) (ab + bc + ca)

বার্ষিক মূল্যায়ন নির্দেশিকা, সিলেবাস এবং নমুনা প্রশ্ন। অষ্টম শ্রেণির গনিত প্রশ্নকাঠামো ও মানবণ্টন এক নজরে

বার্ষিক মূল্যায়ন নির্দেশিকা, সিলেবাস এবং নমুনা প্রশ্ন। নবম শ্রেণির গনিত প্রশ্নকাঠামো ও মানবণ্টন এক নজরে

🎯গণিতের ২০০⁺ সূত্র ও শর্টকাট টেকনিক

❏ (𝑎＋𝑏)² ＝ 𝑎²＋𝑏²＋2𝑎𝑏 | ＝ (𝑎 – 𝑏)²＋4𝑎𝑏
❏ 𝑎² ＋ 𝑏² ＝ (𝑎＋𝑏)² – 2𝑎𝑏 | ＝ (𝑎 – 𝑏)²＋2𝑎𝑏.
❏ 𝑥 + ⅟𝑥 = 𝑛 ➺ 𝑥² ＋ ⅟𝑥² ＝ 𝑛² – 2 | 𝑥³ ＋ ⅟𝑥³ ＝ 𝑛³ – 3𝑛
❏ 𝑥 – ⅟𝑥 = 𝑛 ➺ 𝑥² ＋ ⅟𝑥² ＝ 𝑛²＋2 | 𝑥³ ＋ ⅟𝑥³ ＝ 𝑛³＋ 3𝑛
❏ (𝑎 – 𝑏)² ＝ 𝑎² – 2𝑎𝑏＋𝑏² | ＝ (𝑎＋𝑏)² – 4𝑎𝑏
❏ 𝑎² – 𝑏² ＝ (𝑎 ＋𝑏)(𝑎 – 𝑏)
❏ 2(𝑎²＋𝑏²) ＝ (𝑎＋𝑏)²＋(𝑎 – 𝑏)²
❏ 4𝑎𝑏 ＝ (𝑎＋𝑏)² – (𝑎 – 𝑏)²
❏ 𝑎𝑏 ＝ {(𝑎＋𝑏)/2}² – {(𝑎 – 𝑏)/2}²
❏ (𝑎＋𝑏＋𝑐)² ＝ 𝑎²＋𝑏²＋𝑐²＋2(𝑎𝑏＋𝑏𝑐＋𝑐𝑎)
❏ (𝑎＋𝑏)³ ＝ 𝑎³＋3𝑎²𝑏＋3𝑎𝑏²＋𝑏³
❏ (𝑎＋𝑏)³ ＝ 𝑎³＋𝑏³＋3𝑎𝑏(𝑎＋𝑏)
❏ 𝑎 – 𝑏)³ ＝ 𝑎³ – 3𝑎²𝑏＋3𝑎𝑏² – 𝑏³
❏ (𝑎 – 𝑏)³ ＝ 𝑎³ – 𝑏³ – 3𝑎𝑏(𝑎 – 𝑏)
❏ 𝑎³＋𝑏³ ＝ (𝑎＋𝑏) (𝑎² – 𝑎𝑏＋𝑏²)
❏ 𝑎³＋𝑏³ ＝ (𝑎＋𝑏)³ – 3𝑎𝑏(𝑎＋𝑏)
❏ 𝑎³ – 𝑏³ ＝ (𝑎 – 𝑏) (𝑎²＋𝑎𝑏＋𝑏²)
❏ 𝑎³ – 𝑏³ ＝ (𝑎 – 𝑏)³＋3𝑎𝑏(𝑎 – 𝑏)
❏ (𝑎² ＋ 𝑏² ＋ 𝑐²) ＝ (𝑎 ＋ 𝑏 ＋ 𝑐)² – 2(𝑎𝑏 ＋ 𝑏𝑐 ＋ 𝑐𝑎)
❏ 2 (𝑎𝑏 ＋ 𝑏𝑐 ＋ 𝑐𝑎) ＝ (𝑎 ＋ 𝑏 ＋ 𝑐)² – (𝑎² ＋ 𝑏² ＋ 𝑐²)
❏ (𝑎 ＋ 𝑏 ＋ 𝑐)³ ＝ 𝑎³ ＋ 𝑏³ ＋ 𝑐³ ＋ 3 (𝑎 ＋ 𝑏) (𝑏 ＋ 𝑐) (𝑐 ＋ 𝑎)
❏ 𝑎³ ＋ 𝑏³ ＋ 𝑐³ – 3𝑎𝑏𝑐 ＝ (𝑎＋𝑏＋𝑐)(𝑎² ＋ 𝑏²＋ 𝑐²–𝑎𝑏–𝑏𝑐– 𝑐𝑎)
❏ 𝑎3 ＋ 𝑏3 ＋ 𝑐3 – 3𝑎𝑏𝑐 ＝ ½ (𝑎＋𝑏＋𝑐) { (𝑎–𝑏)²＋(𝑏–𝑐)²＋(𝑐–𝑎)²}
❏ (𝑥 ＋ 𝑎) (𝑥 ＋ 𝑏) ＝ 𝑥² ＋ (𝑎 ＋ 𝑏) 𝑥 ＋ 𝑎𝑏
❏ (𝑥 ＋ 𝑎) (𝑥 – 𝑏) ＝ 𝑥² ＋ (𝑎 – 𝑏) 𝑥 – 𝑎𝑏
❏ (𝑥 – 𝑎) (𝑥 ＋ 𝑏) ＝ 𝑥² ＋ (𝑏 – 𝑎) 𝑥 – 𝑎𝑏
❏ (𝑥 – 𝑎) (𝑥 – 𝑏) ＝ 𝑥² – (𝑎 ＋ 𝑏) 𝑥 ＋ 𝑎𝑏
❏ (𝑥＋p) (𝑥＋q) (𝑥＋r) ＝ 𝑥³ ＋ (p＋q＋r) 𝑥² ＋ (pq＋qr＋rp) 𝑥 ＋pqr
❏ 𝑏𝑐 (𝑏 – 𝑐) ＋ 𝑐𝑎(𝑐 – 𝑎) ＋ 𝑎𝑏(𝑎 – 𝑏) ＝ – (𝑏 – 𝑐) (𝑐 – 𝑎) (𝑎 – 𝑏)
❏ 𝑎² (𝑏 – 𝑐) ＋ 𝑏²(𝑐 – 𝑎) ＋ 𝑐²(𝑎 – 𝑏) ＝ – (𝑏 – 𝑐) (𝑐 – 𝑎) (𝑎 – 𝑏)
❏ 𝑎 (𝑏² – 𝑐²) ＋ 𝑏(𝑐² – 𝑎²) ＋ 𝑐(𝑎² – 𝑏²) ＝ (𝑏 – 𝑐) (𝑐 – 𝑎) (𝑎 – 𝑏)
❏ 𝑎³ (𝑏 – 𝑐) ＋ 𝑏³ (𝑐 – 𝑎) ＋𝑐³ (𝑎 – 𝑏) ＝ – (𝑏 – 𝑐) (𝑐 – 𝑎) (𝑎 – 𝑏)(𝑎 ＋ 𝑏 ＋ 𝑐)
❏ 𝑏² – 𝑐²(𝑏² – 𝑐²) ＋ 𝑐²𝑎²(𝑐² – 𝑎²)＋𝑎²𝑏²(𝑎² – 𝑏²) ＝ – (𝑏 – 𝑐) (𝑐 – 𝑎) (𝑎 – 𝑏) (𝑏＋𝑐) (𝑐＋𝑎) (𝑎＋𝑏)
❏ (𝑎𝑏 ＋ 𝑏𝑐＋𝑐𝑎) (𝑎＋𝑏＋𝑐) – 𝑎𝑏𝑐 ＝ (𝑎 ＋ 𝑏)(𝑏 ＋ 𝑐) (𝑐＋𝑎)
❏ (𝑏 ＋ 𝑐)(𝑐 ＋ 𝑎)(𝑎 ＋ 𝑏) ＋ 𝑎𝑏𝑐 ＝ (𝑎 ＋ 𝑏 ＋𝑐) (𝑎𝑏 ＋ 𝑏𝑐 ＋ 𝑐𝑎)
📖 আয়তক্ষেত্র
❏ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ＝ (দৈর্ঘ্য ⨉ প্রস্থ) বর্গ একক
❏ আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা ＝ 2 (দৈর্ঘ্য＋প্রস্থ) একক
❏ আয়তক্ষেত্রের কর্ণ ＝ √(দৈর্ঘ্য²＋প্রস্থ²) একক
❏ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ＝ ক্ষেত্রফল÷প্রস্ত একক
❏ আয়তক্ষেত্রের প্রস্ত ＝ ক্ষেত্রফল÷দৈর্ঘ্য একক
📖 বর্গক্ষেত্র
❏ বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ＝ (যে কোন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য)² বর্গ একক
Raisul Islam Hridoy
❏ বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা ＝ 4 ⨉ এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক
❏ বর্গক্ষেত্রের কর্ণ ＝ √2 ⨉ এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক
❏ বর্গক্ষেত্রের বাহু ＝ √ক্ষেত্রফল বা পরিসীমা/4 একক
📖 ত্রিভূজ
❏ সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ＝ √¾ ⨉ (বাহু)²
❏ সমবাহু ত্রিভূজের উচ্চতা ＝ √3/2 ⨉ (বাহু)
❏ বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ＝ √s(s – 𝑎) (s – 𝑏) (s – 𝑐) ◈এখানে 𝑎, 𝑏, 𝑐 ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য, s ＝ অর্ধপরিসীমা◈পরিসীমা 2s ＝ (𝑎＋𝑏＋𝑐)
❏ সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ＝ ½ (ভূমি ⨉ উচ্চতা) বর্গ একক
❏ সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ＝ ½(𝑎 ⨉ 𝑏) ◈এখানে ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় 𝑎 এবং 𝑏.
❏ সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল ＝ 2√4 𝑏² – 𝑎²/4 এখানে, 𝑎 ＝ ভূমি; 𝑏 ＝ অপর বাহু।
❏ ত্রিভুজের উচ্চতা ＝ 2 ⨉ (ক্ষেত্রফল/ভূমি)
❏ সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ＝ √ লম্ব²＋ভূমি²
❏ লম্ব ＝ √অতিভূজ² – ভূমি²
❏ ভূমি ＝ √অতিভূজ² – লম্ব²
❏ সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা ＝ √𝑏² – 𝑎²/4 ◈এখানে 𝑎 ＝ ভূমি; 𝑏 ＝ সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য।
❏ ত্রিভুজের পরিসীমা ＝ তিন বাহুর সমষ্টি
📖 রম্বস
❏ রম্বসের ক্ষেত্রফল ＝ ½ ⨉ (কর্ণদুইটির গুণফল)
❏ রম্বসের পরিসীমা ＝ 4 ⨉ এক বাহুর দৈর্ঘ্য
📖 সামান্তরিক
❏ সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল ＝ ভূমি ⨉ উচ্চতা ＝
❏ সামান্তরিকের পরিসীমা ＝ 2 ⨉ (সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
📖 ট্রাপিজিয়াম
❏ ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল ＝ ½ ⨉ (সমান্তরাল বাহু দুইটির যোগফল) ⨉ উচ্চতা
📖 ঘনক
❏ ঘনকের ঘনফল ＝ (যেকোন বাহু)³ ঘন একক
❏ ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ＝ 6 ⨉ বাহু² বর্গ একক
❏ ঘনকের কর্ণ ＝ √3 ⨉ বাহু একক
📖 আয়তঘনক
❏ আয়তঘনকের ঘনফল ＝ (দৈৰ্ঘা ⨉ প্রস্ত ⨉ উচ্চতা) ঘন একক
❏ আয়তঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ＝ 2(𝑎𝑏 ＋ 𝑏𝑐 ＋ 𝑐𝑎) বর্গ একক [ যেখানে 𝑎 ＝ দৈর্ঘ্য 𝑏 ＝ প্রস্ত 𝑐 ＝ উচ্চতা ]
❏ আয়তঘনকের কর্ণ ＝ √𝑎²＋𝑏²＋𝑐² একক
❏ চারি দেওয়ালের ক্ষেত্রফল ＝ 2 (দৈর্ঘ্য ＋ প্রস্থ) ⨉ উচ্চতা
📖 বৃত্ত
❏ বৃত্তের ক্ষেত্রফল ＝ πr² ＝ 22/7 ⨉ r² {এখানে π ＝ ধ্রুবক 22/7, বৃত্তের ব্যাসার্ধ ＝ r}
❏ বৃত্তের পরিধি ＝ 2πr
❏ গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল ＝ 4πr² বর্গ একক
❏ গোলকের আয়তন ＝ 4πr³/3 ঘন একক
❏ h উচ্চতায় তলচ্চেদে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ ＝ √( r² – h²) একক
❏ বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s ＝ πrθ/180° ,◈এখানে θ ＝ কোণ
📖 সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার / বেলন
◈সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,
❏ সিলিন্ডারের আয়তন ＝ πr²h
❏ সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (সিএসএ) ＝ 2πrh।
❏ সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (টিএসএ) ＝ 2πr (h ＋ r)
📖 সমবৃত্তভূমিক কোণক
◈সমবৃত্তভূমিক ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,
❏ কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল ＝ πrl বর্গ একক
❏ কোণকের সমতলের ক্ষেত্রফল ＝ πr(r＋l) বর্গ একক
❏ কোণকের আয়তন ＝ ⅓πr²h ঘন একক
📖 বহুভুজ
❏ বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা ＝ n(n – 3)/2
❏ বহুভুজের কোণগুলির সমষ্টি ＝ (2n – 4)সমকোণ ◈এখানে n ＝ বাহুর সংখ্যা
❏ চতুর্ভুজের পরিসীমা ＝ চার বাহুর সমষ্টি
📖 ত্রিকোণমিতির সূত্রাবলীঃ
❏ sinθ ＝ লম্ব / অতিভূজ [ সা ল অতি]
❏ cosθ ＝ ভূমি / অতিভূজ [ ক ভূ অতি]
❏ taneθ ＝ লম্ব / ভূমি [ টে ল ভূ ]
❏ cotθ ＝ ভূমি / লম্ব
❏ secθ ＝ অতিভূজ / ভূমি
❏ cosecθ ＝ অতিভূজ / লম্ব
❏ sinθ ＝ 1/cosecθ | cosecθ ＝ 1/sinθ
❏ cosθ ＝ 1/secθ | secθ ＝ 1/cosθ
❏ tanθ ＝ 1/cotθ | cotθ ＝ 1/tanθ
❏ sin²θ ＋ cos²θ ＝ 1
❏ sin²θ ＝ 1 – cos²θ
❏ cos²θ ＝ 1 – sin²θ
❏ sec²θ – tcn²θ ＝ 1
❏ sec²θ ＝ 1＋ tcn²θ
❏ tcn²θ ＝ sec²θ – 1
❏ cosec²θ – cot²θ ＝ 1
❏ cosec²θ ＝ cot²θ ＋ 1
❏ cot²θ ＝ cosec²θ – 1
📖 বিয়োগের সূত্রাবলি
❏ বিয়োজন – বিয়োজ্য ＝ বিয়োগফল।
❏ বিয়োজন ＝ বিয়োগফ ＋ বিয়োজ্য
❏ বিয়োজ্য ＝ বিয়োজন – বিয়োগফল
📖 গুণের সূত্রাবলি
❏ গুণফল ＝ গুণ্য ⨉ গুণক
❏ গুণক ＝ গুণফল ÷ গুণ্য
❏ গুণ্য ＝ গুণফল ÷ গুণক
📖 ভাগের সূত্রাবলি
নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে
❏ ভাজ্য ＝ ভাজক ⨉ ভাগফল ＋ ভাগশেষ।
❏ ভাজ্য ＝ (ভাজ্য – ভাগশেষ) ÷ ভাগফল।
❏ ভাগফল ＝ (ভাজ্য – ভাগশেষ)÷ ভাজক।
নিঃশেষে বিভাজ্য হলে।
❏ ভাজক ＝ ভাজ্য÷ ভাগফল।
❏ ভাগফল ＝ ভাজ্য ÷ ভাজক।
❏ ভাজ্য ＝ ভাজক ⨉ ভাগফল।
📖 ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু সূত্রাবলী
❏ ভগ্নাংশের গ.সা.গু ＝ লবগুলোর গ.সা.গু / হরগুলোর ল.সা.গু
❏ ভগ্নাংশের ল.সা.গু ＝ লবগুলোর ল.সা.গু / হরগুলার গ.সা.গু
❏ ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল ＝ ভগ্নাংশদ্বয়ের ল.সা.গু ⨉ ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু.
📖 গড় নির্ণয়
❏ গড় ＝ রাশি সমষ্টি /রাশি সংখ্যা
❏ রাশির সমষ্টি ＝ গড় ⨉ রাশির সংখ্যা
❏ রাশির সংখ্যা ＝ রাশির সমষ্টি ÷ গড়
❏ আয়ের গড় ＝ মোট আয়ের পরিমাণ / মোট লোকের সংখ্যা
❏ সংখ্যার গড় ＝ সংখ্যাগুলোর যোগফল /সংখ্যার পরিমান বা সংখ্যা
❏ ক্রমিক ধারার গড় ＝ (শেষ পদ ＋১ম পদ ) / 2
📖 সুদকষার পরিমান নির্নয়ের সূত্রাবলী
❏ সুদ ＝ (সুদের হার ⨉ আসল ⨉ সময়) / ১০০
❏ সময় ＝ (100 ⨉ সুদ) / (আসল ⨉ সুদের হার)
❏ সুদের হার ＝ (100 ⨉ সুদ) / (আসল ⨉ সময়)
❏ আসল ＝ (100 ⨉ সুদ) / (সময় ⨉ সুদের হার)
❏ আসল ＝ {100 ⨉ (সুদ – মূল)} / (100＋সুদের হার ⨉ সময় )
❏ সুদাসল ＝ আসল ＋ সুদ
❏ সুদাসল ＝ আসল ⨉ (1＋ সুদের হার) ⨉ সময় |[চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে]।
📖 লাভ – ক্ষতির এবং ক্রয় – বিক্রয়ের সূত্রাবলী
❏ লাভ ＝ বিক্রয়মূল্য – ক্রয়মূল্য
❏ ক্ষতি ＝ ক্রয়মূল্য – বিক্রয়মূল্য
❏ ক্রয়মূল্য ＝ বিক্রয়মূল্য – লাভ
❏ অথবা
❏ ক্রয়মূল্য ＝ বিক্রয়মূল্য ＋ ক্ষতি
❏ বিক্রয়মূল্য ＝ ক্রয়মূল্য ＋ লাভ
❏ অথবা
❏ বিক্রয়মূল্য ＝ ক্রয়মূল্য – ক্ষতি
📖 1 – 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যামনে রাখার সহজ উপায়ঃ
❏ শর্টকাট : 4 4 2 2 3 2 2 3 2 1
❏ 1থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 25টি
❏ 1থেকে10পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 4টি 2,3,5,7
❏ 11থেকে20পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 4টি 11,13,17,19
❏ 21থেকে30পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 2টি 23,29
❏ 31থেকে40পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 2টি 31,37
❏ 41থেকে50পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 3টি 41,43,47
❏ 51থেকে 60পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 2টি 53,59
❏ 61থেকে70পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 2টি 61,67
❏ 71থেকে80 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 3টি 71,73,79
❏ 81থেকে 90পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 2টি 83,89
❏ 91থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ＝ 1টি 97
📖 1 – 100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 25 টিঃ 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
❏ 1 – 100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল 1060
📖 কোন কিছুর গতিবেগ
❏ গতিবেগ ＝ অতিক্রান্ত দূরত্ব/সময়
❏ অতিক্রান্ত দূরত্ব ＝ গতিবেগ ⨉ সময়
❏ সময় ＝ মোট দূরত্ব/বেগ
❏ স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ ＝ নৌকার প্রকৃত গতিবেগ ＋ স্রোতের গতিবেগ।
❏ স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ ＝ নৌকার প্রকৃত গতিবেগ – স্রোতের গতিবেগ
📖 সরল সুদ
❏ যদি আসল ＝ P, সময় ＝ T, সুদের হার ＝ R, সুদ – আসল ＝ c হয়, তাহলে
❏ সুদের পরিমাণ ＝ PRT/100
❏ আসল ＝ {100 ⨉ সুদ – আসল(c)}/(100＋TR)
📖 সমান্তর ধারার ক্রমিক সংখ্যার যোগফল –
❏ (যখন সংখ্যাটি1 থেকে শুরু)1＋2＋3＋4＋……＋n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি ＝ [n(n＋1)/2]
❏ n ＝ শেষ সংখ্যা বা পদ সংখ্যা s ＝ যোগফল
❏ সমান্তর ধারার বর্গ যোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে(যখন 1² ＋ 2²＋ 3² ＋ 4²…….. ＋n²), – প্রথম n পদের বর্গের সমষ্টি S ＝ [n(n＋1)2n＋1)/6]
❏ সমান্তর ধারার ঘনযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে (যখন 1³＋2³＋3³＋………….＋n³)– প্রথম n পদের ঘনের সমষ্টি S ＝ [n(n＋1)/2] ²
❏ পদ সংখ্যা ও পদ সংখ্যার সমষ্টি নির্নয়ের ক্ষেত্রেঃ
❏ পদ সংখ্যা N ＝ [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] ＋1
❏ n তম পদ ＝ c ＋ (n – 1)d এখানে, n ＝ পদসংখ্যা, c ＝ 1ম পদ, d ＝ সাধারণ অন্তর
❏ সমান্তর ধারার ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল – S ＝ M² এখানে,M ＝ মধ্যেমা ＝ (1ম সংখ্যা＋শেষ সংখ্যা)/2
📖 বর্গ
❏ (1)² ＝ 1, (11)² ＝ 121, (111)² ＝ 12321, (1111)² ＝ 1234321, (11111)² ＝ 123454321
নিয়ম – যতগুলো 1 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে 1 থেকে শুরু করে পর পর সেই সংখ্যা পর্যন্ত লিখতে হবে এবং তারপর সেই সংখ্যার পর থেকে অধঃক্রমে পরপর সংখ্যাগুলো লিখে 1 সংখ্যায় শেষ করতে হবে।
❏ (3)² ＝ 9, (33)² ＝ 1089, (333)² ＝ 110889, (3333)² ＝ 11108889, (33333)² ＝ 1111088889
যতগুলি 3 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 9 এবং 9 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 3 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 8, তার পর বাঁদিকে একটি 0 এবং বাঁদিকে 8 এর সমসংখ্যক 1 বসবে।
❏ (6)² ＝ 36,(66)² ＝ 4356,(666)² ＝ 443556,(6666)² ＝ 44435556,(66666)² ＝ 4444355556
যতগুলি 6 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 6 এবং 6 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 6 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 5, তার পর বাঁদিকে একটি 3 এবং বাঁদিকে 5 এর সমসংখ্যক 4 বসবে।
❏ (9)² ＝ 81,(99)² ＝ 9801,(999)² ＝ 998001,(9999)² ＝ 99980001,(99999)² ＝ 9999800001
যতগুলি 9 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 1 এবং 1 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 9 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 0, তার পর বাঁদিকে একটি 8 এবং বাঁদিকে 0 এর সমসংখ্যক 9 বসবে।
📖 জনক
❏ Numerology (সংখ্যাতত্ত্ব) – Pythcgorcs(পিথাগোরাস)
❏ Geometry(জ্যামিতি) – Euclid(ইউক্লিড)
❏ cclculus(ক্যালকুলাস) – Newton(নিউটন)
❏ Mctri𝑥(ম্যাট্রিক্স) – crthur ccyley(অর্থার ক্যালে)
❏ Trigonometry(ত্রিকোণমিতি)Hippcrchus(হিপ্পারচাস)
❏ crithmetic(পাটিগণিত) brchmcguptc(ব্রহ্মগুপ্ত)
❏ clgebrc(বীজগণিত) – Muhcmmcd ibn Musc cl – Khwcrizmi(মোহাম্মদ মুসা আল খারিজমী)
❏ Logcrithm(লগারিদম) – John Ncpier(জন নেপিয়ার)
❏ Set theory(সেট তত্ত্ব) – George ccntor(জর্জ ক্যান্টর)
❏ Zero(শূন্য) – brchmcguptc(ব্রহ্মগুপ্ত)
📖 অঙ্কের ইংরেজি শব্দ
❏ পাটিগণিত ও পরিমিতি
❏ অঙ্ক – digit, অনুপাত – Rctio, মৌলিক সংখ্যা – Prime number, পূর্ণবর্গ – Perfect squcre,উৎপাদক – Fcctor,ক্রমিক সমানুপাতী – continued proportion, ক্রয়মূল্য – cost price, ক্ষতি – Loss, গড় – cvercge, গতিবেগ – Velocity, গুণফল – Product, গ,সা,গু – Highest common Fcctor, ঘাত – Power, ঘনমূল – cube root, ঘনক – cube, ঘনফল – Volume, পূর্নসংখ্যা – Integer, চাপ – crc, চোঙ – cylinder, জ্যা – chord, জোড় সংখ্যা – Even number, ধ্রুবক – constcnt, পরিসীমা – Perimeter, বাস্তব – Recl, বর্গমূল – Squcre root, ব্যস্ত অনুপাত – Inverse rctio, বিজোড়সংখ্যা – Odd number, বিক্রয়মূল্য – Selling price, বীজগণিত – clgebrc, মূলদ Rctioncl, মধ্য সমানুপাতী – Mecn proportioncl, যোগফল ＝ Sum
❏ ল,সা,গু – Lowest common Multiple, লব – Numerctor, শতকরা – Percentcge, সমানুপাত – Proportion, সমানুপাতী – Proportioncl, সুদ – Interest, হর – denominatior
জ্যামিতি
❏ অতিভূজ – Hypotenuse, অন্তঃকোণ – Interncl cngle, অর্ধবৃত্ত – Semi – circle, অন্ত ব্যাসার্ধ – In – rcdius, আয়তক্ষেত্র – Rectcngle, উচ্চতা – Height, কর্ণ–dicgoncl, কোণ – cngle, কেন্দ্র – centre, গোলক – Sphere, চতুর্ভুজ – Qucdrilctercl, চোঙ – cylinder,জ্যামিতি – Geometry,দৈর্ঘ্য – Length, পঞ্চভূজ – Pentcgon, প্রস্থ – brecdth
❏ পূরককোন – complementcry cngles, বাহু – Side, বৃত্ত – circle, ব্যাসার্ধ – Rcdius, ব্যাস – dicmeter, বহুভূজ – Polygon, বর্গক্ষেত্র – Squcre, বহি:স্থ E𝑥terncl, শঙ্কু – cone, সমকোণ – Right cngle, সমবাহু ত্রিভূজ – Equilctercl tricngle, অসমবাহু ত্রিভূজ – Scclene tricngle, সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ – isosceles Tricngle,সমকোণী ত্রিভুজ Right cngled tricngle, সূক্ষ্মকোণী – ccute cngled tricngle, স্থূলকোণী ত্রিভুজ Obtuse cngled tricngle, সমান্তরাল – Pcrcllel, সরলরেখা – Strcight line, সম্পূরক কোণ – Supplementcry cngles, সদৃশকোণী – Equicngulcr
Collected

♦️বৃত্ত সংক্রান্ত বিভিন্ন সংজ্ঞা ও উপপাদ্য সমূহ ♦️

#বৃত্তঃ একই সমতলে অবস্থিত একটি নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে সমদুরবর্তী সকল বিন্দু দ্বারা গঠিত সুষম আবদ্ধ বক্রাকার চিত্রকে বৃত্ত বলে।

#কেন্দ্রঃ যে নির্দিষ্ট বিন্দু থেকেবৃত্তের পরিধির উপর সকল বিন্দুর দূরত্ব সমান সেই বিন্দুকে কেন্দ্র বলে।

#ব্যাসার্ধঃ বৃত্তের কেন্দ্র থেকে পরিধির উপর যেকোনো বিন্দুর দূরত্ব কে ব্যাসার্ধ বলে।

#জ্যাঃ বৃত্তের পরিধির উপর যেই কোন দুটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ কে জ্যা বলে।

#ব্যাসঃ বৃত্তের কেন্দ্রগামী জ্যাকে ব্যাস বলে।

#পরিধিঃ বৃত্তের সীমান্ত বরাবর দৈর্ঘ্যকে পরিধি বলে।

#বৃত্তচাপঃ বৃত্তের যেকোনো দুটি বিন্দুর মধ্যে পরিধির অংশকে চাপ বলে।

#অর্ধ_বৃত্তচাপঃ যে বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য পরিধির অর্ধেক তাকে অর্ধবৃত্ত বলে।

#বৃত্তাংশঃ বৃত্তের একটি জ্যা ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অংশকে বৃত্তাংশ বলে।

#বৃত্তকলাঃ বৃত্তের দুইটি ব্যাসার্ধ ও একটি চাপ দ্বারা গঠিত অঞ্চলকে বৃত্তকলা বলে।

#বৃত্তস্থ_কোণঃ বৃত্তের দুটি জ্যা পরস্পর কে বৃত্তের উপর কোন বিন্দুতে ছেদ করলে এদের মধ্যবর্তী কোণকে বৃত্তস্থ কোণ বা বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোন বলে।

#কেন্দ্রস্থ_কোণঃ একটি কোণের শীর্ষবিন্দু কোন বৃত্তের কেন্দ্রে অবস্থিত হলে কোণটিকে ঐ বৃত্তের একটি কেন্দ্রস্থ কোণ বলা হয়।

#বৃত্তস্থ_চতুর্ভুজঃ যে চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু বৃত্তের উপর অবস্থিত হয় সেই চতুর্ভুজকে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ বলে।

#স্পর্শকঃ একটি বৃত্ত ও একটি সরলরেখার যদি একটি ও কেবল ছেদবিন্দু থাকে তবে সরলরেখাটিকে বৃত্তের স্পর্শক বলা হয়।

#সাধারণ_স্পর্শকঃ একটি সরলরেখা যদি দুইটি বৃত্তের স্পর্শক হয় তবে উক্ত রেখাটিকে সাধারণ স্পর্শক বলা হয়।

#বৃত্তের_বৈশিষ্ট্য

বৃত্তের কেন্দ্র, ব্যাসার্ধ, ব্যাস, পরিধি, ক্ষেত্রফল, স্পর্শক, প্রতিসমতা ইত্যাদির উপর ভিত্তি করে যেসব বৈশিষ্ট্য পরিলক্ষিত হয়, তার কতকগুলো বৈশিষ্ট্য নিচে উল্লেখ করা হলোঃ

◾একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে পরিসীমা বিবেচনা করে যেসব দ্বিমাত্রিক ক্ষেত্র যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, বহুভুজ, বৃত্ত ইত্যাদি অঙ্কন করা যায় তাদের মধ্যে বৃত্ত ক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল হবে সবচেয়ে বেশি।

◾বৃত্তের পরিধি ও বৃত্তের ব্যাসার্ধ সমানুপাতিক।

◾বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণগুলো পরস্পর সমান।

◾বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত সবসময়ই ২২ : ৭, যা π বলে পরিচিত অর্থাৎ, π = ২২/৭

◾বৃত্তের কেন্দ্র থেকে ব্যাসভিন্ন যেকোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

◾বৃত্তের দুইটি সমান সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে তাদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

◾একটি বৃত্তের অসংখ্য ব্যাসার্ধ আঁকা যায়।

◾একই সমতলে অবস্থিত এবং সমরেখ নয় এমন তিনটি বিন্দু দিয়ে একটি ও কেবল একটি বৃত্ত অঙ্কন করা যায়।

◾বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

◾বৃত্তস্থ ট্রাপিজিয়ামের তির্যক বাহুদ্বয় পরস্পর সমান।

◾দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যা দুইটির উপর লম্ব।

◾বৃত্তের যেকোনো জ্যা এর লম্বদ্বিখণ্ডক কেন্দ্রগামী।

◾বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের একটি বাহুকে বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

◾বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের যেকোনো কোণের সমদ্বিখণ্ডক ও তার বিপরীত কোণের বহির্দ্বিখণ্ডক বৃত্তের উপর ছেদ করে।

◾বৃত্তের একই চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ।

◾সব বৃত্তই পরস্পর সদৃশ।

◾যেসব বৃত্তের ব্যাসার্ধ পরস্পর সমান, সেসব বৃত্ত পরস্পর সর্বসম।

◾বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও তার ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল সমানুপাতিক।

◾বৃত্তের অধিচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি সূক্ষ্মকোণ।

◾যে বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু (0,0) এবং ব্যাসার্ধ ১ একক, তার নাম একক বৃত্ত (unit circle)।

◾বৃত্তের ব্যাস বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

◾বৃত্তের প্রত্যেক ছেদকের ছেদবিন্দুদ্বয়ের অন্তর্বর্তী সকল বিন্দু বৃত্তের অভ্যন্তরে থাকে।

◾যেকোনো বৃত্তের স্পর্শবিন্দুতে স্পর্শকের উপর অঙ্কিত লম্ব কেন্দ্রগামী।

◾বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণ দুইটি পরস্পর লম্ব হলে, তাদের ছেদ বিন্দু হতে কোনো বাহুর উপর অঙ্কিত লম্ব বিপরীত বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

◾বৃত্তের ঘূর্ণন প্রতিসমতার মাত্রা অসীম।

◾ত্রিভুজের লম্ববিন্দু ও পরিকেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশের মধ্যবিন্দুই নববিন্দুবৃত্তের কেন্দ্র।

◾বৃত্তের কোনো বিন্দু দিয়ে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ এবং ঐ বিন্দুতে ব্যাসার্ধের উপর অঙ্কিত লম্ব উক্ত বিন্দুতে বৃত্তটির স্পর্শক হয়।

◾বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন যেকোনো জ্যা এর মধ্যবিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা ঐ জ্যা এর উপর লম্ব।

◾কোন বৃত্তের উপচাপে অন্তর্লিখিত কোণ একটি স্থুলকোণ।

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ।

◾বৃত্তের প্রমিত সমীকরণ হলো (x-a)2 + (y-b)2 = c2 যেখানে বৃত্তের কেন্দ্র (a,b) এবং ব্যাসার্ধ c একক।

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করলে, স্পর্শ বিন্দু ছাড়া প্রত্যেক বৃত্তের অন্য সব বিন্দু অপর বৃত্তের বাইরে থাকে।

◾অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সবসময়ই ৯০°:

◾বৃত্তের ক্ষেত্রফল ও বৃত্তে অন্তর্লিখিত বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের অনুপাত π : 2.

◾বৃত্তের সমান সমান জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী।

◾বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক।

◾বৃত্তে অন্তর্লিখিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণ দুইটি পরস্পর সম্পূরক।

◾একটি বৃত্তের ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তার বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে অঙ্কিত জ্যাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হয়।

◾বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা।

◾বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক আঁকলে ঐ বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দুরত্ব সমান হয়।

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পর অন্তঃস্পর্শ করলে, স্পর্শ বিন্দু ছাড়া ছোট বৃত্তের অন্য সব বিন্দু বড় বৃত্তটির অভ্যন্তরে থাকে।

◾কোনো চতুর্ভুজের দুইটি বিপরীত কোণের সমষ্টি ১৮০° হলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত বা একই বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়।

◾যেকোনো সরলরেখা একটি বৃত্তকে সর্বোচ্চ দুইটি বিন্দুতে ছেদ করতে পারে।

◾একটি বৃত্ত যদি একটি সমকোণী ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে তাহলে বৃত্তটির কেন্দ্র হবে অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

◾বৃত্তের ব্যাসার্ধ r একক হলে বৃত্তের পরিধি =2πr একক।

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পর বহিঃস্পর্শ করলে, এদের কেন্দ্রদ্বয় ও স্পর্শ বিন্দু সমরেখ অর্থাৎ একই রেখায় অবস্থিত।

◾একটি বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করলে তাদের ছেদবিন্দুটি বৃত্তের কেন্দ্র হয়।

◾বৃত্তের কেন্দ্রগামী যেকোনো রেখাই এর প্রতিসাম্য রেখা।

◾বৃত্তের কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুইটি স্পর্শক টানলে ঐ বিন্দু ও কেন্দ্রের সংযোজক সরলরেখা স্পর্শ-জ্যা এর উপর লম্ব।

◾বৃত্তের যেসব জ্যা কেন্দ্র হতে সমদূরবর্তী সেইসব জ্যা পরস্পর সমান।

◾একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রবিশিষ্ট অংসখ্য বৃত্ত আঁকা যায়।

◾বৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু (0,0) এবং ব্যাসার্ধ a একক, তার সমীকরণটি হবে x2+y2 = a2.

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে অন্তঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের অন্তরের সমান।

◾সব সর্বসম বৃত্ত সদৃশ কিন্তু সব সদৃশ বৃত্ত সর্বসম নয়।

◾বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতর।

◾দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তার একই পাশে অবস্থিত অপর দুইটি বিন্দুতে সমান সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হয়।

◾সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজকে ব্যাস বিবেচনা করে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা সমকৌণিক শীর্ষবিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে।

◾বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক একটি আয়তক্ষেত্র।

◾সমান সমান ভূমির উপর অবস্থিত যেকোনো দুইটি ত্রিভুজের শিরঃকোণদ্বয় সম্পূরক হলে, তাদের পরিবৃত্তদ্বয় সমান হয়।

◾বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পশবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের উপর লম্ব।

◾সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট যেসব বহুভুজ যেমন ত্রিভুজ, চতুর্ভুজ, পঞ্চভুজ বা বৃত্ত আঁকা যায়, সেইসব বহুভুজের পরিসীমাগুলোর মধ্যে বৃত্তের পরিধি সবচেয়ে কম।

◾বৃত্তের প্রতিসাম্য রেখা অসীম।

◾বৃত্তের কোনো বিন্দুতে একটি ও কেবল একটি স্পর্শক অঙ্কন করা যায়।

◾দুইটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করলে, কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব বৃত্তদ্বয়ের ব্যাসার্ধের সমষ্টির সমান।

◾নববিন্দুবৃত্তের ব্যাসার্ধ ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধের অর্ধেকের সমান।

◾বৃত্তে অন্তর্লিখিত কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল ঐ চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের সমষ্টির সমান।