31/12/2021
পর্ব-১
BODMAS – যে নিয়মটা আমরা ভুলভাবে শিখেছি........
-------------------------------------------------------
পাটীগণিত বা বীজগণিতের সরল অঙ্কে যোগ,বিয়োগ,গুণ,ভাগ এমন বীজগাণিতিক অপারেশনগুলো কোনটার পরে কোনটার কাজ করতে হবে (Order of Operation), সেটা আমরা ছোটবেলা থেকে শিখে এসেছি BODMAS রুলস দ্বারা, যা সম্পূর্ণরূপে ভুল। সাধারণত এটা শেখানো হয় এভাবে;
B=Bracket, O=Of, D=Division, M=Multiply, A=Addition, S=Subtraction
অর্থাৎ আগে ব্রাকেটের কাজ , তারপর ‘Of(সূচক), তারপর Division(ভাগ), তারপর Multiplication(গুণ), এরপর Addition(যোগ), এরপর Subtraction(বিয়োগ)।
এখানে বেশকিছু সমস্যা আছে। আমরা ধাপে ধাপে সেটা জানার চেষ্টা করব।
**জেনে রাখ, আগে 'ভাগ', পরে 'গুণ' এমন কোনো নিয়ম বাস্তবে নেই।
এটা তোমাদের অনেকেরই বিশ্বাস করতে কষ্ট হবে।কারণ তোমরা এটা ভিন্নভাবে শিখে আসছ। তাহলে কি আমরা ভুলভাবে শিখে আসছি??
হ্যাঁ। BODMAS এর ভেতরে আগে D আছে, তাই Division বা ভাগের কাজ আগে হবে, এটাই সবাইকে শেখানো হয়, যেটা অপ্রয়োজনীয়। আসলে গুণ ও ভাগের অগ্রাধিকার একই। যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকারও একই। তবে গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার যোগ-বিয়োগের থেকে বেশি।
অগ্রাধিকারের ক্রমটা এই রকম:
1) বন্ধনী বা Bracket(B)
2) সূচক বা Order (O) [এটাকে Of শেখানো হয়, সেটা নিয়ে পরের পর্বে আমরা বিস্তারিত জানব]
৩) গুণ-ভাগ, Division/Multiplication (D/M)
৪) যোগ-বিয়োগ, (Addition/Subtraction)
একটু লক্ষ্য কর, ৩ আর ৪ এ আমি দুটো দুটো করে একসাথে লিখেছি। ব্যাপারটা আমরা একটু বুঝার চেষ্টা করি।
আমেরিকাতে BODMAS এর মতো আরও একটা মনে রাখার কৌশল আছে: PEMDAS [Parenthesis, Exponent, Multiplication, Division, Addition, Subtraction ]। PEMDAS এর ভিতরে গুণ (M) আছে ভাগের (D) আগে। তাহলে তো দুই রকম নিয়ম হয়ে গেল, তাই না??
তাহলে যদি এমন একটা সমস্যা থাকে,
3×7÷3÷2 কীভাবে করব?
আমরা যারা জানি যে ভাগ আগে করতে হয়, তারা এবারে একটু দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে যাব।
কেননা এখানে দুইটা ভাগের অপারেশন আছে। আগে 7÷3 হিসেব করতে হবে, নাকি আগে 3÷2?
করে দেখ, দুইবার দুইরকম ফল পাবে। তবে মূল নিয়মটা জানলে চিন্তার কিছু নেই। এখানে মূল নিয়ম দুটো
১. যে অপারেশনের অগ্রাধিকার বেশি, তাকে আগে হিসেব করতে হবে।
২. যদি একই অগ্রাধিকারের অনেকগুলো অপারেশন থাকে তাহলে ‘বাম থেকে ডানে’ হিসেব করতে হবে।
যেমন এখানে আছে শুধু গুণ আর ভাগ, যাদের অগ্রাধিকার একই। ২ নম্বর নিয়মটা এখানে খাটবে। তাহলে বাম থেকে ডানে হিসেব করে যেতে হবে।
3×7÷3÷2
= 21÷3÷2
= 7÷2
= 3.5
এটা জানলে কোন ভাগটা আগে করব, তা নিয়ে সন্দেহ থাকবে না। এমনকি এখানে ভাগের আগে গুণ করা হয়েছে সেটাও খেয়াল রাখতে পার। আর উত্তরটা তোমাদের বিশ্বাস না হলে পৃথিবীর যেকোনো ক্যালকুলেটরে পরীক্ষা করে দেখতে পার।
আরেকটু চিন্তাশীল মানুষদের জন্য বলতে পারি, গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার যে কারণ নেই সেটা তোমরা অনুভব করতে পারবে, ভাগ কী সেটা বুঝলে।
field theory তে ভাগ বলে কিছু নাই, ভাগকে ভাবা হয় বিপরীতকের গুণ হিসাবে। 8÷2=8×½ । যত জায়গায় ÷2 আছে, সব জায়গায় ×½ বসিয়ে ভাবতে পার। আর সব যদি গুণ হয়ে যায়, তখন তো আর আগে-পরের ব্যাপার থাকবে না।
** যোগ আগে, বিয়োগ পরে এমন কোনো নিয়ম নেই
গুণভাগের কথাটা যোগ আর বিয়োগের জন্যেও সত্যি। একটা গাণিতিক সমস্যার কথা চিন্তা করা যাক।
13-5+3-2+2
এমন অঙ্ক দেখলে আমরা ছোটবেলায় প্রায়ই কনফিউজড হয়ে যেতাম। যেহেতু আমরা জানতাম যোগ আগে, তাই মাঝে 5 আর 3 কিংবা শেষের 2 আর 2 আগে যোগ করে ফেলতাম। কিন্তু এক্ষেত্রে, যোগগুলো একসাথে করে নিতে হবে।
13-5+3-2+2
= 13+3+2-5-2
= 18-7
= 11
এটাতে ঠিক উত্তর পাওয়া যায়, সন্দেহ নেই। কিন্তু কম্পিউটার যখন হিসেব করে সে কিন্তু এমন সাজিয়ে নেয় না। কারণ পদ্ধতিটা আরও সহজ। যেহেতু যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার একই, তাই এক্ষেত্রে, বাম থেকে ডানে হিসেব করে যেতে হবে।অর্থাৎ
13-5+3-2+2
= 8+3-2+2
= 11-2+2
= 9+2
= 11
লক্ষ কর, এখানে শুরুতেই আমি বিয়োগ করে ফেলেছি, তাতে উত্তর ভুল কিছুই আসেনি।
এখানেও চিন্তাশীল মানুষদের জন্য আমরা বলতে পারি, যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার কারণ নেই। বিয়োগকে ভাবা যায় ঋণাত্মকের যোগ হিসাবে 13-5=13+(-5) । যত জায়গায় -2 আছে, সব জায়গায় +(-2) বসিয়ে ভাবতে পারেন। 13-5+3-2+2=13+(-5)+3+(-2)+2। সবাই এখন যোগ
**যোগ-বিয়োগ আর গুণ-ভাগ দুটোই থাকলে?
চিন্তা কী? উপরের ১ নম্বর নিয়মটা চিন্তা করে, যার অগ্রাধিকার বেশি, সে আগে। গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার বেশি তাই গুণ-ভাগ আগে করতে হবে। তারপর যোগ-বিয়োগ। বাম থেকে ডানে যাওয়ার নিয়মটা শুধুমাত্র তাদের জন্য সত্যি যেখানে অগ্রাধিকার একই। একটা উদাহরণ দেখা যাক।
12÷2÷3×4-6+5×7
এখানে গুণভাগ-ওয়ালা অংশগুলোকে যেমন (12÷2÷3×4) এবং (5×7) কে আগে আলাদা করে নেই। প্রয়োজনে ব্র্যাকেট দিয়ে নিতে পারি। সেগুলোর ভিতরে যদি গুণভাগ দুই-ই থাকে তাহলে বাম থেকে ডানে যেতে পারব।
12÷2÷3×4-6+5×7
= (12÷2÷3×4)-6+(5×7)
= (6÷3×4)-6+35
= (2×4)-6+35
= 8-6+35
লক্ষ্য কর, গুণ-ভাগের কাজ শেষ হলে, পড়ে থাকবে যোগ-বিয়োগ, যাদের অগ্রাধিকার একই। সুতরাং বাম থেকে ডানে যেতে পারি।
8-6+35
= 2+35
= 37
এটা জানলে আর খুব একটা দ্বিধায় পড়তে হবে না কাউকে।
-------------------------------------------------------------------
