Thư Viện Toán Học

Có vẻ như các bạn sv năm 1 đang học về những kiến thức này

ÁNH XẠ ( ) ( )
Nói đến toán mà không có ánh xạ thì như ăn rau luộc mà không có nước chấm 🤣🤣🤣
Lưu ý :
1) Bài viết trình bày được dựa trên nguồn tư liệu và quan điểm cá nhân 👨‍🏫
2) Bài viết khá dài 🤪
Ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý.
Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu là 5cm/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.
Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan (quan hệ) giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử y ∈ Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong , đặc biệt là lý thuyết xác suất, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y.
Bài này chỉ viết về các ánh xạ (hàm) đơn trị.

Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa:
Ánh xạ f từ một tập hợp X vào một tập hợp Y (ký hiệu f : X ->Y ) là một quy tắc cho mỗi phần tử x ∈ X tương ứng với một phần tử xác định y ∈ Y, phần tử y được gọi là ảnh của phần tử x, ký hiệu y=f(x).
∀x ∈ X, ∃y ∈ Y,y=f(x)
Tập X được gọi là tập nguồn, tập Y được gọi là tập đích.
Với mỗi y ∈ Y, tập con của X gồm các phần tử, có ảnh qua ánh xạ f bằng y, được gọi là tạo ảnh của phần tử y qua f, ký hiệu là f^(-1)(y) ( f^(-1) (x) là ảnh ngược của x)
f^(-1)(y) ={x∈X|f(x)=y}
Với mỗi tập con A ⊂ X , tập con của Y gồm các phần tử là ảnh của x ∈ A qua ánh xạ f được gọi là ảnh của tập A ký hiệu là f(A)
f(A)= { f(x) |x ∈ A}
Với mỗi tập con B ⊂ Y, tập con của X gồm các phần tử x có ảnh f(x) ∈ B được gọi là của tập B ký hiệu là f^(-1)(B)
f^(-1)(B)= {x ∈ X| f(x) ∈ B }
Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa:
Một ánh xạ F từ tập X vào tập Y là một quan hệ F từ X vào Y thoả mãn điều kiện: mọi phần tử x ∈ X đều có quan hệ F với một và chỉ một phần tử y∈ Y.
Viết dưới dạng mệnh đề, ánh xạ F , ký hiệu F.
Một vài tính chất căn bản :
☝️----Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng
✌️---- Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh
☝️✌️-Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh
✌️✌️- Ảnh của phần là hợp của các phần ảnh
👩‍🏫-Toàn ánh, đơn ánh và song ánh
👨‍🏫 - Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y. Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.
∀a , b ∈ X : a ≠ b = > f(a) ≠ f(b)
hay
∀a , b ∈ X : f(a) = f(b) => a = b
👨‍🏫-Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y
f(X)=Y
hay
∀y ∈ Y, ∃x ∈ X:f(x)=y
👨‍🏫-Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" (từ X lên Y).
Một số ánh xạ đặc biệt :
☝️ Ánh xạ hằng: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x ∈ X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y ∈ Y.
✌️ Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f(x)=x.
☝️✌️Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con X ⊂ Y vào Y cho f(x)= x với mọi x ∈ X. Khi đó ta ký hiệu f: X -> Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu f: X -> Y là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con f(X) ⊂ Y , f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f(X) nên có thể thay thế các phần tử của tập con f(X) ⊂ Y bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123
👩‍🏫 Ánh xạ tích và ánh xạ ngược
- Ánh xạ tích
☝️ Cho hai ánh xạ f(X) -> Y và g(Y)->Z. Tích của hai ánh xạ f, g, ký hiệu là g o f là ánh xạ từ X vào Z, xác định bởi đẳng thức:
(gof)(x)=g(f(x))
✌️ Một số tính chất của ánh xạ tích
Nếu gof là đơn ánh thì f là đơn ánh.
Nếu gof là toàn ánh thì g là toàn ánh.
Nếu gof là song ánh thì f và g đều là song ánh.
- Ánh xạ ngược
Cho ánh xạ f:X -> Y, nếu có ánh xạ g: Y -> X sao cho
∀x ∈ X: gof (x)=x
∀y ∈ Y: fog (y)=y
thì g được gọi là ánh xạ ngược, hay nghịch đảo của f, ký hiệu là f^(-1)
Ánh xạ f có ánh xạ ngược khi và chỉ khi f là song ánh.
Nguồn :

Share lại vì mình nghĩ sẽ có bạn cần
Chào mn, mình ngoi lên lại rồi đây!!!!!

LŨY THỪA LÀ GÌ ? ( quen thuộc quá ahihi )
: Giới thiệu
👉Lũy thừa một phép toán hai ngôi ( ) của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.
👉Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa có nghĩa là "nhân chồng chất lên".
Đặc biệt
a² còn gọi là "a bình phương";
a³ còn gọi là "a lập phương".
👉Lũy thừa với số mũ nguyên
👨‍🏫 Lũy thừa của không và một
0^n = 0.
1^n = 1.
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ nguyên dương .
👩‍🚀Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
a^n là gồm n chữ a tích lại với nhau .
👩‍🚀Tính chất quan trọng :
a^(m+n) = a^m.a^n
a^(m-n) = a^m/a^n ( dĩ nhiên a khác 0 )
a^(m.n) = (a^m)^n
(a.b)^m = a^m.b^m
(a/b)^m = a^m/b^m
✍️ a^1 = a
👩‍🚀Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa có tính giao hoán.
Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ 0
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.
a^0 = 1
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó m = - n a khác không và n là số nguyên dương là:
a^(-n) = 1/a^n
👉Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ
👩‍🚀Căn bậc n của một số thực dương :
Một căn bậc n của số a là một số x sao cho x^n = a.
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho x^n = a.
Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là n√a, trong đó √ là ký hiệu căn.
✍️Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là
a^(m/n) = (a^m)^1/n = n√(a^m)
Định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
còn tiếp .............
Nguồn :

chào 2018

Admin vừa cập nhật thêm tài liệu toán 11 12 vào link ở tìm hiểu thêm . Các bạn vào xem tải về mà học

Thư Viện Toán Học - Google Drive

Góc ứng dụng :))
Nguồn:

Đáp án :
3 BẠN THÔNG MINH
- Bạn đứng cuối hàng không biết mình đội mũ gì nên chắc chắn trong hai bạn đứng đầu hàng có ít nhất một bạn đội mũ đỏ (nếu cả hai bạn đầu hàng mà đội mũ xanh thì bạn đứng cuối đã biết mình đội mũ đỏ - vì chỉ có 2 mũ xanh)
- Bạn đứng giữa không biết mình đội mũ gì nên chắc chắn bạn đứng đầu phải đội mũ đỏ (nếu đội mũ xanh thì bạn đứng giữa đã biết mình đội mũ đỏ rồi - vì như đã lập luận ở trên ít nhất có một trong hai bạn đứng đầu và đứng giữa đội mũ đỏ)
- Vì cả ba bạn đều thông minh nên bạn đứng đầu đã đoán ra mình đội mũ đỏ (nếu không thì hoặc là bạn đứng cuối hoặc là bạn đứng giữa đã trả lời được).

Lịch sử số pi (π )
: Tính vô tỉ , tính siêu việt và Động lực tính toán số π
👉Tính vô tỉ , tính siêu việt
Không phải tất cả các tiến bộ toán học liên quan tới π đều nhằm vào việc tăng độ chính xác của phép xấp xỉ. Khi Euler giải Bài toán Basel vào năm 1735, tìm ra giá trị chính xác của tổng các căn bậc hai, ông đã thiết lập một mối liên hệ giữa π và các số nguyên tố mà về sau góp phần vào sự phát triển và nghiên cứu hàm Riemann zeta
(π^2)/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + .... +1/n^2 + ......
Nhà khoa học Thụy Sĩ Johann Heinrich Lambert vào năm 1761 chứng minh rằng π là số vô tỉ, có nghĩa nó không bằng tỉ số của bất kì hai số hữu tỉ nào . Phép chứng minh của Lambert khai thác một biểu diễn phân số liên tục của hàm tan . Nhà toán học Pháp Adrien-Marie Legendre vào năm 1794 chứng tỏ rằng π^2 cũng là số vô tỉ. Năm 1882, nhà toán học Đức Ferdinand von Lindemann chứng tỏ rằng π là số siêu việt, xác nhận một phỏng đoán được cả Legendre và Euler đưa ra trước đó .
👉Động lực tính toán số π .
Đối với hầu hết các tính toán số liên quan tới π, một ít chữ số thôi đã cung cấp độ chính xác cần thiết. Chẳng hạn, theo Jörg Arndt và Christoph Haenel, 39 chữ số là đủ để thực hiện các tính toán vũ trụ học, bởi đây là độ chính xác cần thiết để tính thể tích vũ trụ hiện biết với độ chính xác cỡ một nguyên tử . Bất chấp điều này, nhiều người đã làm việc rất vất vả để tính toán π tới hàng nghìn, hàng triệu và nhiều hơn thế các chữ số . Nỗ lực này một phần có thể quy cho sự thúc ép con người phá vỡ các kỉ lục, và những thành tích như thế với π thường xuất hiện trên trang nhất báo chí trên khắp thế giới . Chúng cũng có những lợi ích thực tiễn, như là kiểm tra các siêu máy tính, kiểm tra các thuật toán giải tích số (bao gồm các thuật toán nhân chính xác cao); và trong địa hạt toán học thuần túy, chúng cung cấp dữ liệu để đánh giá tính ngẫu nhiên các chữ số của π .

LŨY THỪA LÀ GÌ ? ( quen thuộc quá ahihi )
: Giới thiệu
👉Lũy thừa một phép toán hai ngôi ( ) của toán học thực hiện trên hai số a và b, kết quả của phép toán lũy thừa là tích số của phép nhân có b thừa số a nhân với nhau. Lũy thừa ký hiệu là a^b, đọc là lũy thừa bậc b của a, số a gọi là cơ số, số b gọi là số mũ.
👉Phép toán ngược với phép tính lũy thừa là phép khai căn. Lũy thừa có nghĩa là "nhân chồng chất lên".
Đặc biệt
a² còn gọi là "a bình phương";
a³ còn gọi là "a lập phương".
👉Lũy thừa với số mũ nguyên
👨‍🏫 Lũy thừa của không và một
0^n = 0.
1^n = 1.
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ nguyên dương .
👩‍🚀Trong trường hợp b = n là số nguyên dương, lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng a:
a^n là gồm n chữ a tích lại với nhau .
👩‍🚀Tính chất quan trọng :
a^(m+n) = a^m.a^n
a^(m-n) = a^m/a^n ( dĩ nhiên a khác 0 )
a^(m.n) = (a^m)^n
(a.b)^m = a^m.b^m
(a/b)^m = a^m/b^m
✍️ a^1 = a
👩‍🚀Trong khi các phép cộng và phép nhân có tính chất giao hoán, phép tính lũy thừa có tính giao hoán.
Tương tự các phép cộng và nhân có tính kết hợp, còn phép tính lũy thừa thì không.. Khi không có dấu ngoặc, thứ tự tính của các lũy thừa là từ trên xuống, chứ không phải là từ dưới lên:
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ 0
Lũy thừa với số mũ 0 của số a khác không được quy ước bằng 1.
a^0 = 1
👨‍🏫Lũy thừa với số mũ nguyên âm
Lũy thừa của a với số mũ nguyên âm m, trong đó m = - n a khác không và n là số nguyên dương là:
a^(-n) = 1/a^n
👉Lũy thừa của số thực dương với số mũ hữu tỷ
👩‍🚀Căn bậc n của một số thực dương :
Một căn bậc n của số a là một số x sao cho x^n = a.
Nếu a là số thực dương, n là số nguyên dương thì có đúng một số thực dương x sao cho x^n = a.
Số x này được gọi là căn số học bậc n của a. Nó được ký hiệu là n√a, trong đó √ là ký hiệu căn.
✍️Lũy thừa với số mũ hữu tỷ của số thực dương
Lũy thừa với số mũ hữu tỷ tối giản m/n (m, n là số nguyên, trong đó n dương), của số thực dương a được định nghĩa là
a^(m/n) = (a^m)^1/n = n√(a^m)
Định nghĩa này có thể mở rộng cho các số thực âm mỗi khi căn thức là có nghĩa.
còn tiếp .............
Nguồn :