25/08/2024
ایک سوال جب میں ایف ایس سی کا طالب علم تھا تو اکثر میرے ذہن میں اٹھتا تھا اور اس کا تسلی بخش جواب تو نہیں ملتا تھا۔
سوال بیان کرنے سے پہلے میں کچھ تمہیدی گفتگو کرنا چاہوں گا۔ہم نے میٹرک اور انٹرمیڈیٹ کے زمانہ طالب علمی میں سسٹم آف لینئیر ایکویشنز(system of linear equations) کو حل کیا۔وہ سسٹم کبھی دو اور کبھی تین مساواتوں پر مشتمل ہوا کرتا تھا۔ابھی ہم فقط اس سسٹم کی بات کرتے ہیں جو دو مساواتوں پر مشتمل ہوتا ہے۔اس سسٹم کے حل کے لیے ہمارے پاس کئی ایک طریقہ کار تھے۔مثلاً الجری طریقہ جس میں ایک متغیر(variable) کو ساقط (eliminate) کرکے دونوں متغیرات کی قیمتیں نکال لی جاتی تھیں۔دوسرا طریقہ جس میں متغیرات کے عددی سروں (کوآفیشینٹس) کا میٹرکس ترتیب دیا جاتا تھا پھر انورس میتھڈ یا کریمر رول لگا کر اس سسٹم کو حل کر لیا جاتا تھا۔اور اس سسٹم کا سلوشن تب وجود رکھتا تھا جب ان عددی سروں کے میٹرکس کا مقطع (determinent) غیر صفر ہو۔
میرے سوالات درج ذیل ہیں
1-مقطع یعنی ڈیٹرمینینٹ کیا ہوتا ہے
2-اس کا غیر صفر ہونا کیوں اس سسٹم کے سلوشن کے وجود کا فیصلہ کرتا ہے
3-اور سسٹم آف لینئیر ایکویشن کے سلوشن سے کیا مراد ہے
درج بالا تمام سوالات میری ذہنی تذبذب کو اک عمر تک فروغ دیتے رہے ہیں۔
ریاضی کے طالب علم جان لیجیے سسٹم آف لینئیر ایکویشنز سے مراد کوآرڈینیٹ پلین میں پڑیں دو سیدھی لائنز (سڑیٹ لائنز) ہیں اور ان کے سلوشن سے مراد ان کا پوائنٹ آف انٹرسیکشن ہے۔اور اگر کسی سسٹم کا سلوشن اگزسٹ نہیں کرتا تو اس کا مطلب یہ ہوا کہ انھوں نے ایک دوسرے کو قطع نہیں کیا یعنی کے وہ پیرالل ہیں۔ڈیٹرمینینٹ کا صفر ہونا یہ ظاہر کرتا ہے کہ ان لائنز کی سلوپ برابر ہے اور جن لائنز کی سلوپ برابر ہو تو وہ پیرالل ہوتی ہیں اور پیرالل لائنز کبھی ایک دوسرے کو قطع نہیں کرتی ہیں۔
لیکن مجھے جو جواب ملتا تھا وہ یہ کہ مقطع بٹے کے نیچے ہے اس لیے یہ صفر ہوگا تو جواب نہیں نکلیں گے۔اب آپ خود اندازہ کیجیے یہ کتنا مضحکہ خیز جواب ہے۔
اور رہی ڈیٹرمینینٹ کی بات تو وہ ایک فنکشن ہے جس کی ڈومین سیٹ آف میٹرکس اور رینج حقیقی اعداد یا غیر حقیقی اعداد ہیں۔
یاسر رشید
