مدرس رياضيات لطلبة الجامعات

تدريس الرياضيات لطلبة الجامعات
التفاضل و التكامل
المعادلات التفاضلية
تحويل فورييه و تحويل لابلاس
المصفوفات و المحددات
التبولوجي
التحليل الدالي
التحليل الرياضي
الجبر الخطي
للاستفسار الاتصال بالرقم
07722689726
أماكن التدريس
اولا : معهد المجد في شارع الصناعة قرب الجامعة التكنولوجية
ثانيا المعهد البريطاني الفرنسي قرب الموال مقابل الباب الخلفي للجامعة المستنصرية.

الوجبة الثالثة و الاخيرة من تمارين التبولوجيا الجبرية.
و فيها اربع تمارين ، السادس عشر و السابع عشر و الثامن عشر و التاسع عشر.
التمرين التاسع عشر هو اخر ما حليت بهذه المادة الرياضية الصرفة.
حَلهُن جميعاً ( سجاد رحيم ).

التمرين السادس عشر : اذا كان لدينا فضاءاً تبولوجياً هاوزدورفياً ، فأن اي فضاء جزئي منه يكون كذلك هاوزدورفياً.
البرهان : افرض ان سين هو الفضاء التبولوجي الهاوزدورفي الكبير و افرض ان صاد هو فضاء جزئي منه ، خذ نقطتين في صاد و كذلك مجموعتين مفتوحتين منه بحيث النقطة الاولى بالمجموعة الاولى و النقطة الثانية بالمجموعة الثانية .
بما ان المجموعة المفتوحة الاولى هي في صاد اذن هي تقاطع لمجموعة مفتوحة من سين مع صاد كلها ، و كذلك الامر مع المجموعة المفتوحة الثانية ، و اذا تذكرنا ان الفضاء الكبير هو هاوزدورفي فيكون تقاطع المجموعتين الجديدتين هو مجموعة خالية و على ضوء ذلك يكون تقاطع المجموعتين القديمتين المأخوذتين من صاد كذلك مجموعة خالية.

التمرين السابع عشر : سين هو فضاء هاوزدورفي اذا فقط اذا كانت المجموعة المتماثلة منه هي مجموعة مغلقة في سين تربيع.
البرهان :
الاتجاه الاول : خذ الزوج المرتب سين صاد في متممة مجموعة التماثل و حوط سين بمجموعة مفتوحة و كذلك افعل مع صاد ، بما ان الفضاء هاوزدورفي فتقاطع هاتين المجموعتين هو مجموعة خالية. و بذلك حصلنا على مجموعة مفتوحة في متممة مجموعة التماثل ، اذن متممة مجموعة التماثل مفتوحة ، و بذلك تكون مجموعة التماثل نفسها مغلقة.
الاتجاه الثاني : خذ نقطتين في الفضاء سين ، و اصنع منهما زوجاً مرتباً ، بما ان متممة مجموعة التماثل مفتوحة اذا يوجد اتحاد من المجموعات المفتوحة يحتوي هذا الزوج المرتب ، فيمكننا ان نجد مجموعة تحتوي سين و اخرى تحتوي صاد و تقاطعهما خالٍ.

التمرين الثامن عشر : اثبت ان المدار الممثل لسين و المدار الممثل صاد اما ان يكون تقاطعهما خالٍ او يكونا متطابقين.
البرهان : افرض ان تقاطعهما غير خالٍ ، فأذن يوجد عنصر اسمه تاء في كليهما ، فاذا كان تاء في المدار السيني فيوجد عنصر اسمه جيم الاول ماخؤذ من الزمرة التبولوجية بحيث تاء يساوي جيم الاول في سين ، و كذلك الامر مع المدار الصادي بحيث تاء يساوي جيم الثاني في صاد ، و من خلال بعض العمليات الجبرية نكتشف ان سين هي في المدار الصادي و كذلك نكتشف ان صاد هي في المدار السيني ، فيكون المدارين متطابقين.

التمرين التاسع عشر : افرض عندنا الفضاء التبولوجي الجزئي " عين " المأخوذ من الفضاء التبولوجي الكبير " سين " ، برهن ان دالة الاحتواء من عين الى سين هي دالة مستمرة.
البرهان : الحالة الاولى ، خذ مجموعة مفتوحة في سين بحيث تقاطعها مع عين خالٍ ، فالصورة العكسية لدالة الاحتواء لهذه المجموعة المفتوحة هو خالٍ كذلك ، فهو مفتوح.
الحالة الثانية ، افرض ان تقاطع المجموعة المفتوحة مع عين ليس خالياً ، و لنسمهُ واو ، فالصورة العكسية لهذا الواو هو تقاطع الصور العكسية للمجموعة المفتوحة مع الصورة العكسية لعين ، فنحصل واو تساوي الصورة العكسية للمجموعة المفتوحة تقاطع عين نفسها ، فتكون الصورة العكسية للمجموعة المفتوحة مفتوحة كذلك.

في فضاء هلبرت Hilbert space ، نواة اي مؤثر تساوي نواة موثر رابط Adjoint ذلك المؤثر تركيب المؤثر نفسه.
سؤال حله " سجاد رحيم " في احد امتحانات التحليل الدالي Functional Analysis.

طرحت الدكتورة " زينة زكي جميل " هذا السؤال علينا قبل عدة اسابيع كسؤال خارجي حاولت فيه معرفة قدرتنا على تجاوز ملزمة المحاضرات المعطاة لنا ، و السؤال يستهدف خاصية لطيفة يمتلكها مؤثر الرابط Adjoint Opreater ، مفادها انه لا داعِ لحساب نواة Kernal تركيب الرابط مع مؤثره و انما نكتفي بحساب نواة المؤثر فقط ، و البرهان يسير ببساطة بأتجاهين لان كِلا الطرفين هما مجموعة ، فنأخذ عنصر من المجموعة الاولى و نبرهن انه في المجموعة الثانية و العكس كذلك ، و احد هذه الاستلزامات هو اسهل من الثاني ، فالاستلزام الثاني يستلزم استخدام تعريف المؤثر الرابط.

بعد الامتحان بعدة ايام تصفحت احد كتب التحليل الدالي ، فوجدت ان هذا السؤال هو بالحقيقة " تمرين " و قد برهن عليه مؤلفي الكتاب في نهاية الكتاب كحل لهذا التمرين ، و كان برهاني مطابق الى حد كبير لبرهانهما ففرحت لذلك فرحاً شديداً ، و كذلك بعد هذا بعدة ايام اخرى ، كنت سائراً ليلاً باتجاه احد المطاعم لتناول العشاء ، فسئلت نفسي : هل يوجد مؤثر اخر يعمل على فضاء هلبرت غير المؤثر الرابط Adjoint يمتلك هذه الخاصية ام هي خاصية له وحده ؟ ، و لم احاول حل هذا السؤال ، و هنا اتركه للأحبة المهتمين بالتحليل الدالي.

بالنهاية اقول ان مؤثر الرابط هو مؤثر مهم في الفيزياء و خصوصاً ميكانيكيا الكم ، و اترك للأحبة ايضاً معرفة ماهية الكميات الفيزيائية التي يحسبها هذا المؤثر.

الرياضياتي جون لامبرت كمؤثر على الفيلسوف ايمانويل كانط.
سجاد رحيم

اثناء قراءتي في مقالات الموسوعة الالكترونية " ويكيبيديا " و تحديداً المقالة التي تتناول حياة الرياضي السويسري جون لامبرت و انجازاته العلمية من رياضيات و فلك و منطق ، ادهشني انه كان على تواصل مع الفيلسوف الالماني الشهير ايمانويل كانط و كانت بينهما مراسلات لدرجة ان كانط قرر ان يهديه نسخة من كتاب " نقد العقل المحض " او ربما يضع اسمه في صفحة الاهداء ؟! ، لكن الموت اخترم لامبرت قبل ظهور هذا الكتاب العمدة ، و هناك ايضا اشارة في ويكيبيديا الى كون لامبرت قد اكتشف بشكل مستقل " النظرية السديمية في خلق الكون " بإستقلال عن كانط .

في الماضي ، كثيراً ما سئلت نفسي من هم العلماء ( و ليس الفلاسفة ) الذين اثروا بكانط ؟ فمن غير المعقول لرجل عاش في عصر الانوار و في قرن شهد مختلف الانجازات الرياضية و الفيزيائية مثل القرن الثامن عشر ، ان لا يكون قد تأثر بالفيزيائيين و الرياضيين الذين عملوا فيه او يكون على الاقل راسلهم او قرأ كتبهم ، دائماً ما كان يأتيني الجواب : ان العالمين اللذين تأثر بهما كانط هما نيوتن و لايبتنز - فقط -.
انا اقترح اربع اسماء علمية اخرى غير لامبرت تأثر بها كانط.
١ - ليونارد اويلر
٢ - جوزيف لاغرانج
٣ - جين دالامبرت
٤- دانيال برنولي

بالنهاية ، اذكر للاحبة ان لامبرت قد برهن ان النسبة الثابتة في الدائرة هي عدد غير نسبي ، و درس بشكل كبير مسلمة التوازي و حاول برهانها ، و كذلك له عمل بالمنطق ربما اثر ايضا في دراسة المقولات عند كانط.

ممهدة هي الاجابة الصحيحة.
سجاد رحيم

قبل ايام طرحتُ تساؤلاً عن اي كلمة نختار لترجمة كلمة Lemma فكان هناك اختيارين اولهن مأخوذة التي قدمها الرياضي ثابت بن قرة ( ت ٩٠١ ميلادي ) من العصر العباسي و التي يبدو انه نحتها بحرفية عن اليونانية ، و لا تشهد الترجمات العربية للنصوص الرياضية اليونانية التي قام بها ثابت بفصاحة هذا الرجل باليونانية فحسب ، بل تشهد كذلك شهادة اخرى محفوظة لنا في ترجمة ثابت بن قرة في وفيات الاعيان لابن خلگان يذكر فيها ان محمد بن موسى بن شاكر قد أُعجبَ بفصاحة ثابت حينما التقاه في مدينة كفر توثا ، و اما الترجمة الاخرى التي قام بها علماء الرياضيات العراقيين من امثال عادل غسان و زملاؤه الذين كانوا اعضاءً في المجمع العلمي العراقي انذاك و التي ترجموها بالكلمة ممهدة او تمهيدية ، و عادل غسان يكتب و يقرأ بالانجليزية مثلما يكتب و يقرأ بالعربية فهو عنده دكتوراه من امريكا في التبولوجيا التفاضلية لكن مشكلته انه لم يطلع على التراث الرياضي العربي فكان تفكيره متأثراً بشكل كبير بالانجليز و الفرنسيين لدرجة انه حينما تناول التكامل في كتابه مقدمة في التحليل الرياضي عبرَ - ببساطة - تاريخياً من اليونان الى الاوربيين بدون ان يذكر اي شيء عما قدمهُ العرب المسلمين في مجال اللامتناهيات في الصغر .

على اي حال ، ذهبَ الاحبة فريقين فبعضٌ ساندوا ثابتاً لكون الترجمة العباسية هي الاقدم و الارصن و الادق و هي مذكورة في معجم موحد صدر نتيجة لحركة علمية قام بها علماء و ليسوا مجرد مترجمين و كان على رأس المساندين لثابت هو استاذنا و صديقنا الدكتور محمد يوسف الحجيري Mohamad Al-Houjairi ، و البعض الاخر ساندوا عادلاً و رفاقه لكون ترجمتهم تؤدي الغرض من هذه النظرية الصغيرة التي تدعى Lemma و التي سوف تستخدم فيما بعد في برهان المبرهنة الكبيرة Theorem ، و تتجاوز حسب قولهم ما يُراد من تقييد كلمة lemma بالبراهين الهندسية كما كان يفعل ثابت و انما تجاوزها لتكون ممهدة لاي برهان رياضي و ليس بالضرورة ان يكون هندسياً ، فلما اشتد الخلاف و وقع النزاع بين الفريقين راسلت رئيس المجمع العلمي العراقي الدكتور محمد حسين بن محمد حسن ال يس مستفسراً عن اي الكلمتين اصح للترجمة فقال : اختارُ الممهدة ، فهالني ما قال فهذا الرجل و ابيه مشبعان بالتراث اللغوي العباسي و معجبان به لدرجة ان لهما كتب في ذلك التراث ، و ابو الرئيس هو خير من تسعى له قدمُ حينما يكون السؤال عن الصاحب بن عباد وزير البويهيين المعروف ، فبرر لي الرئيس ان الزمان قد تغير و العلم قد تطور و كانت المأخوذة تعبر عن ذلك في الماضي اما الأن فالافضل علمياً اختيار الممهدة.

بعد ما جرى ، شعرتُ بضرورة مراجعة كل الكلمات الرياضية التي انحدرت الينا من العصر العباسي ، و نقدها و تمحيصها و معرفة ايها يؤدي الغرض في البحث الرياضي الحديث و ايها التي يمكن استبدالها بترجمات حديثة ، انا اقترح هذه المراجعة من اجل ان نتجاوز العباسيين ، اولئك الذين مازلنا معجبين بكتبهم و لغتهم و مصطلحاتهم ، و الذين ما زالوا مُأثرين في ثقافتنا المعاصرة الى يومنا هذا ، هذا التجاوز - كما اعتقد - قد يمنح العراقيين الذين سيبقون في العراق الفرصة مجدداً من اجل بناء نهضة علمية على غرار نهضة العباسيين التي قامت هنا في بلادهم قبل اكثر من الف سنة.

Lemma
مأخوذة أم تمهيدية ؟.
سجاد رحيم.

يترجم ثابت بن قرة الحراني كلمة lemma بالكلمة العربية " ماخوذة " كي تكون عنواناً للكتاب المنحول على ارخميدس " المأخوذات " ، بينما في العصر الحديث من ثمانينات القرن العشرين و الى الان فقد شاعت ترجمة عادل غسان نعوم و زملاءهُ العراقيين المعروضة في معاجم المصطلحات العلمية في المجمع العلمي العراقي كي تكون مُمهدة او تمهيدية.

يا ترى بمن نأخذ بالترجمة العباسية او الترجمة الحديثة ؟.

تارتاغليا ، ذلك الرياضياتي المظلوم.
سجاد رحيم.

حدث امتحان اليوم في مادة الجبر الخطي Linear Algebra ، و كنتُ من المشاركين في هذا الامتحان و في السؤال الثالث منه ، اعطيت لنا مصفوفة ثلاثة في ثلاثة و طُلبَ منا ان نتأكد فيما اذا كانت هذه المصفوفة قابلة للأقطرة ، فقلت لكي اتأكد يجب ان استخدم المعيار المشهور " اذا كانت القيم الذاتية eigen values للمصفوفة متمايزة فهي قابلة للاقطرة " ، و فعلاً بدأت بأستخراج المعادلة المميزة التي جذورها القيم الذاتية و هي هنا معادلة تكعيبية لان مصفوفتنا ثلاثة في ثلاثة ، لكنني اثناء الحسابات الجبرية الرامية للحصول على هذه المعادلة التكعيبية كنتُ خائفاً ان تكون معادلة معقدة و يجب ان استخدم دستور كاردانو و انا غير حافظ لهُ ، - و من حسن الحظ - كانت المعادلة تُحل فقط بتحليل العوامل للحد الاخير الخالي من المتغير فوجدت احد جذورها ثم بالقسمة الطويلة وجدت الجذرين الاخرين ، و بذلك ظهر لي تمايز هذه القيم الذاتية فأذن مصفوفتنا قابلة للاقطرة .

كنتُ فرحاً اثناء حلي لهذه المعادلة ، لكن لا اعتقد ان فرحي يُقاس بفرحة الرياضياتي - الجبري - الايطالي تارتاغليا الذي اكتشف - ربما عام ١٥٤٥ ميلادي - ما يعرف اليوم بدستور كارادانو و الذي يمكن من خلاله استخراج جذور المعادلة التكعيبية بدلالة معاملاتها ، و تارتاغليا بهذا الانجاز تفوق على اصحابنا من العرب المسلمين ممن درسوا الجبر و كتبوا فيه ابتداءاً بمحمد بن موسى الخوارزمي و انتهاءاً بشرف الدين الطوسي ، و تارتاغليا حقق بذلك حلم عمر الخيام الذي تمنى فيه ان يجد اي جبري " الحل العددي " للمعادلة التكعيبية بمختلف توزيع حدودها كما عرض ذلك في بداية رسالته في الجبر و المقابلة ، لكن الفرحة لم تتم فقد سرق كارادنو صيغة هذا الدستور من تارتاغليا بعد ان اخذ هذا الاخير المواثيق على كاردانو الا يفشيه بين الرياضيين الايطاليين ، فكتبه كاردانو في كتابه الجبري Ars magnus و نُسبَ اليه منذُ ذلك الوقت و الى يومنا هذا ، و انقلبَ هذا الحزن الى مأساة في داخلي حينما تذكرتُ ان تارتاغليا معناها بالايطالية الوأوأه او المتلعثم لانه في صغره حُوصر في كنيسة مع والدته من قِبل اعداء احدى المدن الايطالية فسقط اثناء هربهُ فتهشم باطن فمه و حلت عقدة في لسانه جعلته بطيئاً في نطقه ، فليت شعري ماذا قال حينما سُرقَ دستوره ؟! ، و اي كلام حبسَ في صدرهِ ما استطاع ان يبوح به ؟!.

ملاحظة اخيرة : يجب ان لا يؤخذ كلامي على عواهنهُ في تفوق تارتاغليا على رجال المدرسة الجبرية العربية ، فأنا اشرت بالماضي الى حدسية اسميتها حدسية " احمد سعيدان " قلت فيها ان سعيدان تنبىء بوجود مخطوطة عربية فيها الحل الحسابي او العددي او دستور تارتاغليا للمعادلة التكعيبية ، على اي حال ، الكرة في ملعب من يتقنون اللغة العربية و الرياضيات كي يجدوا هكذا مخطوطة و يؤكدوا هذه الحدسية .

تُرى ما هو ابسط كتاب في التبولوجيا Topology يُمكننا قراءته بحيث يمكن استخدامهُ كمدخل لدراسة التبولوجيا ؟.
سؤال طرحته على نفسي و لم يسئلني اياه احد.
سجاد رحيم

اقترح للاجابة على ذلك ، كتاب مقدمة في التبولوجيا العامة للدكتور سمير بشير حديد .
هذا الكتاب يتميز بعرض سهل للتبولوجيا مع تكثير للامثلة الذي توضح المطلب ، بحيث انه لا يدخل ببعض الامور التبولوجية التاريخية التي اكتُشفت في بدايات ظهور علم التبولوجيا ، و هذه الامور التاريخية صعبة على المبتدىء و مكان بعضها الان في بعض ابواب التبولوجيا الجبرية او التبولوجيا التفاضلية.

الكتاب مكون من اثنى عشر فصلاً و هو بحدود ٢٥٠ صفحة و باللغة العربية ، و عناوين فصوله هي :
١. المجموعات و الدوال
٢. الفضاءات المترية Metric space
٣. الفضاءات التبولوجية Toplogical space
٤.القواعد و التبولوجيات النسبية
٥. الترابط و التراص
٦.الاستمرارية في الفضاءات التبولوجية
٧.الصفات التبولوجية و غير التبولوجية
٨. الصفات الوراثية و غير الوراثية
٩.بديهيات الفصل
١٠. المتتابعات في الفضاءات التبولوجية
١١.الفضاءات المنتظمة و السوية
١٢. الفضاءات المترية كفضاءات تبولوجية.

فالفصل الاول يعطينا تعاريف المجموعة set و الدالة function - و لو المجموعة لا يمكن تعريفها - و مفاهيم التقاطع و الاتحاد و غيرها من العمليات على المجموعات ثم مفهوم الصور و الصور العكسية للدوال . اما الفضاءات المترية في الفصل الثاني فيعطينا فيها مفهوم هذا الفضاء الذي يعتبر تعميم للمسافة الاعتيادية و امور اخرى تخصه مثل مجموعاته المفتوحة و كراته المفتوحة و غيرها.
الفصل الثالث يمكن اعتباره اول فصل في التبولوجيا على اعتبار ان الفصل الاول و الثاني هما اساسيات لا بد منهما ، و في الفصل الثالث يستعرض التعريف الرسمي لكي تكون هناك تبولوجيا على مجموعة ما من خلال تعريف المجموعة المفتوحة في ذلك الفضاء التبولوجي ، - و كما قلنا سابقاً - يوجد عدد كبير من الامثلة على هذه الفضاءات و ايضاً امثلة على المفاهيم التي ترتبط بهذه الفضاءات مثل مفهوم داخل المجموعة و خارجها و حدودها ، في الفصل الرابع يتحدث عن الفضاء النسبي و يجب ان لا يخدعنا المصطلح و ترجمته ، فالفضاء النسبي هو الفضاء التبولوجي الجزئي subspace topology الذي يكون في داخل الفضاء الكبير ، و يمكن الحصول على مجموعاته المفتوحة من خلال تقاطع مجموعته الرئيسية مع المجموعات المفتوحة للفضاء الكبير. في الفصل الخامس التراص عندي اهم الترابط ، الاستمرارية في الفصل السادس تُدرس على ضوء المجموعات العكسية المفتوحة ، الصفات التبولوجية في الفصل السابع تنتقل بين الفضائين التبولوجيين اذا كان بينهما تشاكل isomorphism او homeomorphism و بكلام ابسط اذا كان هناك دالة متقابلة بينهما تكون مستمرة و معكوسها ايضاً مستمرة ، في الفصل الثامن هناك دراسة للصفات الوراثية التي تنتقل من الفضاء الكبير الى الفضاء الجزئي الصغير الذي بداخله ، في الفصل التاسع هناك صفات الفصل مثل T0 و T1 و T2 مع تعاريفها و هنا T2 هو فضاء هاوزدورف و هو اهمها ، في الفصل العاشر المتتابعات ، و في الحادي عشر يدرس صفات الفصل T3 و T4 و علاقتها بالانتظام في الفضاء التبولوجي ، و اخيراً هناك دراسة للفضاءات المتري كفضاء تبولوجي ، فكما نعرف ان كل فضاء متري هو فضاء تبولوجي لكن العكس ليس صحيحاً فبعض الفضاءات التبولوجية لا يمكن تمتيرها .

يجب ان لا يفهم هذا العرض الذي كتبته للكتاب على كونه جاء من دراسة مستقصاة للكتاب بل العكس هو الصحيح فأنا طالعت بعض صفحاته و درست الفصل الاول و جزء من الفصل الثاني ، لقد استعرت هذه النسخة من الدكتورة عفراء راضي التي تُدرس التبولوجيا في قسمنا منذ زمن طويل ، لقد طلب منا استاذنا في التبولوجيا الجبرية الدكتور محمد غازي ان نطالع كتاب سمير بشير لانه يعتبره احد الكتب التي تزودنا بأساس لا بأس به من اجل دراسة التبولوجيا الجبرية ، بالنهاية اقول امرين ، اولهما التبولوجيا ثلاث مستويات اولها العامة و ثانيها الجبرية و ثالثها التفاضلية ، و الامر الاخر من اجل ان يُقرأ كتاب سمير بشير يجب ان يقرأ الطالب قبله كتاب اسس الرياضيات لهادي جابر مصطفى و زميليه و كتاب مقدمة في التحليل الرياضي لعادل غسان نعوم كي يمتلك الاساس المطلوب لدراسة التبولوجيا.

وجبة جديدة من تمارين التبولوجيا الجبرية !.
ثلاث تمارين حلها " سجاد رحيم ".

ستكون هذه التمارين الثلاث هن تبع للتمارين الاثنى عشر اللواتي نشرتهن الاسبوع الماضي ، بالحقيقة هذه التمارين هن بالتبولوجيا العامة لكنهن مفيدات كثيراً في التبولوجيا الجبرية.
انا اقصد بالتبولوجيا العامة Genral Topology هي الجزء الاول و الاساسي من التبولوجيا و الذي فيه ندرس ما معنى ان تكون مجموعة مجموعات هي تبولوجيا و ما هي الفضاءات التبولوجية و ما معنى ان تكون الدالة مستمرة تبولوجياً و ما معنى الترابط و التراص هناك و امور اخرى كثيرة.

التمرين الثالث عشر : برهن ان حاصل الضرب الديكارتي يشكل تبولوجيا.
البرهان : نُعرف المجموعة المفتوحة في تبولوجيا حاصل الضرب الديكارتي على شكل اتحاد حاصل الضرب الديكارتي للمجموعات المفتوحة المأخوذة من المجموعة الاولى و المجموعة الثانية ، و بعد هذا التعريف نطبق الشروط الثلاثة لتكون تبولوجيا ، فنكتشف ان حاصل الضرب الديكارتي هو مجموعة مفتوحة و المجموعة الخالية كذلك ، ثم نتأكد ان اتحاد ما لانهاية من المجموعات المفتوحة هن كذلك مجموعة مفتوحة ، ثم تقاطع مجموعتين مفتوحتين هن كذلك مجموعة مفتوحة.

التمرين الرابع عشر : برهن ان المستوي الاحداثي او الفضاء الاقليدي ذو البعدين يشكل فضاءاً تبولوجياً مع التبولوجيا الاعتيادية .
البرهان : التبولوجيا الاعتيادية usual topology هنا هي مثل التبولوجيا الاعتيادية على الخط المستقيم ، فكما نعرف التبولوجيا الاعتيادية على الخط بأنها تلك المجموعات المفتوحة اللواتي كل نقطة فيهن تكون محاطة بفترة مفتوحة بحيث ان الفترة المفتوحة تكون بداخل المجموعة المفتوحة ، فهنا نعرف التبولوجيا في المستوي على انها تلك المجموعات المفتوحة التي كل نقطة فيها تكون محاط بمربع بحيث ان المربع يكون في داخل المجموعة المفتوحة ، بعد هذا التعريف نتأكد من الشروط الثلاثة ، فنحن نعرف ان اي نقطة في المستوي يمكن وضعها في مربع فيكون كل المستوي هو مجموعة مفتوحة ثم بالمنطق نعرف ان المجموعة الخالية هي مجموعة مفتوحة ، ثم ان النقطة في مالانهاية من المجموعات المفتوحة تكون في احدى هذا المجموعات المفتوحة فنحصل على ذلك المربع فيكون الاتحاد كذلك مجموعة مفتوحة ، ثم في تقاطع مجموعتين مفتوحين يمكن رؤية مربع صغير محاط بالنقطة التي في التقاطع ، اقول يمكن رؤيته هندسياً اما حسابياً فنحتاج بعض الكتابة التحليلية كي نثبت وجوده.

التمرين الخامس عشر : حاصل الضرب الديكارتي لفضائين تبولوجيين هو هاوزدورفي Hausdorff اذا و فقط اذا كان كِلا الفضائين هما هاوزدورفيان.
البرهان : الاتجاه الاول ، نفرض ان حاصل الضرب الديكارتي هو هاوزدورفي و نأخذ نقطة من الفضاء الثاني فيكون حاصل الضرب الديكارتي للفضاء الاول مع هذه النقطة مُشاكل isomorphic للفضاء الاول ، و هذا حاصل الضرب الديكارتي بين الفضاء الاول و النقطة هو فضاء جزئي من حاصل الضرب الديكارتي الكبير ، و نحن نعرف ان الفضاء الجزئي من الفضاء الكبير الهاوزدورفي هو ايضاً هاوزدورفي ، فيضمن لنا التشاكل ان الفضاء الاول هو هاوزدورفي ، و كذلك الامر بالنسبة للفضاء الثاني .
الاتجاه الثاني ، نفرض ان كلا الفضائين هما هاوزدرفيات و نأخذ نقطتين في حاصل الضرب الديكارتي فنتأكد ان هاتين النقطتين محاطتين بمجموعتين مفتوحتين تقاطعهما خالٍ ، فيكون حاصل الضرب الديكارتي هو فضاءاً هاوزدورفياً .

اثنا عشر تمريناً التبولوجيا الجبرية.
حلهم " سجاد رحيم " ضمن مقرر التبولوجيا الجبرية الذي يدرسه لأول مرة في حياته.

في البداية ، بعض من هذه البراهين غير متأكد من صحته ، و بعضها الاخر يحمل صعوبات حقيقية. استاذ المادة الذي يدرسني اياه يقول انها محاولات جيدة ، و ايضاً لم تسنح لي الفرصة لمناقشة الهوامش التي عملها بقلمه الارزق على البراهين التي كتبتها .

التمرين الاول : اعطِ مثالاً يكون فيه تركيب دالتين مستمراً و الدالة الاولى غير مستمرة و الدالة الثانية مستمرة .
خذ الدالة الاولى هي الواحد عند القيم الحقيقية الموجبة و السالب واحد عند القيم الحقيقية السالبة ، فتكون هذه الدالة غير مستمرة عند الصفر . خذ الدالة الثانية هي الدالة التربيعية س٢ و هي مستمرة عند كل القيم الحقيقية ، و الان قم بتركيبهما فتجد انها الدالة الثابتة المساوية للواحد عند كل القيم الحقيقية و هي مستمرة.

التمرين الثاني : برهن ان القشرة النونية n - sphere مغلقة في الفضاء الحقيقي ذو البعد نون زائد واحد.
البرهان : خذ القشرة من الدرجة الاولى و التي هي دائرة الوحدة ، سوف احاول ان ابرهن ان متممتها مفتوحة ، خذ نقطة في هذه المتممة فيمكنني دائما ان اجد مجموعة مفتوحة حول هذه المتممة مهما كانت النقطة قريبة من دائرة الوحدة و هذه المجموعة المفتوحة في المتممة ، فأذن متممة دائرة الوحدة مفتوحة ، فأذن دائرة الوحدة مغلقة .
نتبع نفس المسار لباقي القشرات و من مختلف الرتب.

التمرين الثالث : القشرة النونية مفتوحة اذا كانت هي الفضاء كله ، لكنها غير مفتوحة اذا كانت في الفضاء الحقيقي من الرتبة نون زائد واحد.
البرهان : اذا كانت القشرة النونية هي الفضاء كله فتكون مفتوحة حسب تعريف التبولوجيا.
الان خذ القشرة من الدرجة الاولى ( دائرة الوحدة ) و خذ نقطة على هذه الدائرة فمهما حاولت فلن تجد مجموعة مفتوحة تنغمر في دائرة الوحدة. فأذن هي غير مفتوحة.
و المسار نفسه لبقية القشرات.

التمرين الرابع : ارسم حاصل الضرب الديكارتي لدائرة الوحدة في فترة الوحدة .
الرسم هو اسطوانة قاعدتها دائرة الوحدة و ارتفاعها وحدة واحدة.

التمرين الخامس : اثبت ان قطعة الدونات تختلف عن قشرة الكرة .
قطعة الدونات هي حاصل الضرب الديكارتي لدائرة الوحدة في نفسها و هي في الفضاء الحقيقي من البعد الرابع ، بينما قشرة الكرة فهي في الفضاء ثلاثي الابعاد ، فأذن هما مختلفان.

التمرين السادس : لو كانت عندنا دالة شاملة surjective تنطلق من الفضاء التبولوجي سين الى الفضاء التبولوجي صاد ، فاذا كان عندنا مجموعة تحتوي المجموعات اللواتي صورهن العكسية مفتوحة في سين ، برهن ان هذه المجموعة هي تبولوجي على صاد.
البرهان : نطبق تعريف التبولوجيا فنجد انها تحتوي فضاء صاد كله و كذلك المجموعة الخالية ، و ايضا لو اخذنا ما لا نهاية من المجموعات المفتوحة من داخلها لوجدنا ان اتحادها ايضاً فيها ، و لو اخذنا مجموعتين منها لوجدنا ان تقاطعهما ايضاً فيها.

التمرين السابع : برهن ان دائرة الوحدة تكافىء الفضاء الاسقاطي الحقيقي ذو الرتبة الاولى.
البرهان : الفضاء الاسقاطي الحقيقي ذو الرتبة الاولى يحتوي المستقيمات في المستوي الاحداثي التي تمر بنقطة الاصل ، فيمكننا تصور ان كل مستقيم ينطلق من نقطة الاصل يذهب الى نقطة واحدة في دائرة الوحدة فيكون عندنا التكافؤ.

التمرين الثامن : برهن ان الفترة المفتوحة التي تبدأ بالواحد و تنتهي بالمالانهاية تكافىء الفترة المفتوحة التي تبداً من الصفر الى الواحد.
البرهان : خذ الدالة ص تساوي واحد على سين ، هذا الدالة متباينة و شاملة و مستمرة و معكوسها مستمر فأذن هي الدالة المطلوبة التي تحقق التكافؤ.

التمرين التاسع : اذا كان لام هو فضاءاً جزئيا من سين و كان لام مفتوحاً في سين ، فبرهن ان اي مجموعة مفتوحة في لام تكون مفتوحة في سين .
البرهان : خذ مجموعة مفتوحة في لام ، فاذن هذه المجموعة تكتب على شكل لام تقاطع طاء ، و طاء هي مجموعة مفتوحة في سين ، و نحن بالفرض عندنا لام ايضاً مفتوحة في سين ، و تقاطع مجموعتين مفتوحتين هو ايضاً مجموعة مفتوحة ، فتكون مجموعتنا المأخوذة هي مفتوحة.

التمرين العاشر : برهن ان اي فترة مفتوحة من الاعداد الحقيقية هي مكافئة لمجموعة الاعداد الحقيقية.
البرهان : خذ دالة الظل ، نتأكد انها متباينة و شاملة و مستمرة و معكوسها مستمر ، فأذن يحدث التكافؤ.

التمرين الحادي عشر : برهن ان الفضاء الاسقاطي العقدي ذو الرتبة الثانية يكافىء قشرة الكرة.
البرهان : الفضاء الاسقاطي العقدي ذو الرتبة الثانية فيه المستقيمات تخرج من نقطة الاصل ، فلو تخيلنا ان كل مستقيم يخرج من نقطة الاصل و يصطدم بنقطة في قشرة الكرة ، فنكون حصلنا على التكافؤ المطلوب.

التمرين الثاني عشر : اذا كان سين فضاءاً تبولوجيا و كانت هناك دالة شاملة منه الى فضاء القسمة الخاص به ، فتكون الدالة من فضاء القسمة الى اي فضاء اخر مستمرة اذا و فقط اذا كان تركيب الدالتين مستمراً.
البرهان : الاتجاه الاول ، ما دام دالتنا مستمرة و الدالة التي تنطلق من فضاء القسمة ايضاً مستمرة فيكون تركيبهما مستمراً.
الاتجاه الثاني : افرض ان التركيب مستمر و خذ مجموعة مفتوحة فتكتشف ان صورتها العكسية مفتوحة في فضاء القسمة فأذن الدالة التي تنطلق من فضاء القسمة هي مستمرة ايضاً.

اذا كان لدينا زمرة ابدالية ، و قمنا بتعريف مجموعة كل دوال الهومومورفيزم على هذه الزمرة ثم اثبتنا ان دوال الهومومورفيزم هن حلقة ، فأن زمرتنا هذه تشكل مقاساً على حلقة دوال الهومومورفيزم المعرفة عليها .

Every abelian group is a module over its homomorphism ring

تمرين حلهُ ( سجاد رحيم ) ضمن مقرر الجبر الابدالي.

بادىء ذي بدء ، رمزت لحلقة الهومومورفيزم بالرمز H و عرفت عليها عمليتين هما جمع الدوال و تركيب الدوال ثم تأكدت انها حلقة فعلاً من خلال خطوات روتينية سهلة .

هذه الحلقة مميزة في الجبر المجرد الحديث و تسمى
Endomorphism ring .

ثم عَرفتُ علاقة تربط بين الزمرة المعطاة و هذه الحلقة ، و هنا واجهت بعض الصعوبة لكن حصلت عليها بالنهاية ، ثم طبقت عليها شروط المقاس Module فظهر انها مقاس فعلاً.

ليس هذا التمرين جديداً في الجبر الحديث و لا ما قمت به ابداعاً حقيقياً ، فهذا التمرين قد يكون موجوداً في كتب الجبر الحديث من ستينات او خمسينات القرن الماضي و ربما حله قبلي المئات من الرجال و النساء ، و للتذكير مرة اخرى هو انني قد حليتهُ بدون ان اراه بالكتب.

الشيء المميز في هذا التمرين هو انك من زمرة ابدالية تستطيع تكوين مقاس بدون حلقة خارجية و انما حلقة مُعرفة على الزمرة نفسها ، و هذه البساطة مثيرة فعلاً لانك من شيء واحد و هو الزمرة الابدالية تستطيع انشاء حلقة ثم انشاء مقاس على تلك الحلقة.

المشتقة النونية الزوجية للجيب العقدي عند الصفر هي صفر ، اما مشتقتها الفردية عند الصفر فهي تساوي سالب واحد مرفوعاً لنصف العدد السابق لذلك العدد الفردي.
تمرين حَلهُ ( سجاد رحيم ) ضمن الواجبات التي تطرح في محاضرات مادة التحليل العقدي.

دالة الجيب العقدي sinz تشابه في خصائصها الى حد كبير دالة الجيب الحقيقية sinx , لكن الاختلاف الاساسي هو ان دالة الجيب العقدي لا تتذبذب بالفراغ كما تتذبذب دالة الجيب الحقيقي على المستوي الاحداثي .

البرهان الذي كتبته في هذه الورقة انطلقت فيه من حساب بضع مشتقات فردية و زوجية لهذا الجيب ثم تنبأت بالشكل العام للمشتقة على ضوء هذه التجارب الاولية ، بعدها قمت ببرهان هذا الشكل العام بالاستقراء الرياضي ( التأكد ان الشكل العام صادق عند الواحد ، ثم افترض انه صادق عند ن ثم التأكد انه صادق عند ن زائد واحد ).

كان هذا البرهان قد حصلته بنفسي في مطلع ايلول الماضي ، و هو اول برهان لمسألة تستحق الكلام عنها حصلته في هذه السنة الدراسية ( السنة التحضيرية للماجستير ) ، هكذا تمارين مفيدة لي لكشف مقدار القوة " النزوعية " لعقلي بأتجاه العلم الرياضي ، و كاشفة لأي درجة كانت سنوات الدراسة الذاتية للرياضيات ( سنوات عدم الذهاب للجامعة ) مفيدة في نقل عقلي بسرعة من التعاريف و المقدمات الى النتائج.

انا بعد برهاني على هذا التمرين عرفت بعد تصفحي لكتاب تشرشل في التحليل العقدي انه قد ذكره كتمرين غير محلول ، اود ان اقول اخيراً للاحبة ان ما انشره هنا هو تجاربي الخاصة في البرهان على مسائل الرياضيات الصرفة و ليس نقل البراهين من الكتب و نشرها على الفيسبوك او الانستجرام .