28/11/2021
Diddl - Goletz
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 … comment en est-on arrivé là ? Pas si simple ! … et pour répondre à cette question, nous allons devoir voyager de la Mésopotamie (actuelle Irak) à l’Afrique du Nord en passant par l’Egypte, l’Inde et la Grèce.
Une petite légende autour du mot "calcul" (qui vient de « calculus », en latin, caillou), nous raconte que le berger déposait dans un panier autant de cailloux que de moutons quittaient la bergerie. En rentrant des prés, le berger sortait les cailloux du panier afin de vérifier le compte de moutons.
C'est ce qu'on appelle la correspondance terme à terme. Elle consiste à associer à chaque élément de l'ensemble à compter (ici les moutons), des éléments d'une autre variété (cailloux, doigts, ...). Elle est la base de tout système de numération et permet en particulier de comparer la taille des ensembles.
L’évolution de nos chiffres s'étale sur plusieurs millénaires. C'est au Paléolithique (il y a 30 000 ans) qu'on trouve les premières marques permettant de conserver les nombres sur des supports tels que les os ou le bois. La plus ancienne est un péroné de babouin portant 29 encoches trouvé au Swaziland en Afrique australe.
Compter par paquets : la base du système
Classification des numérations
En Mésopotamie
En Egypte
En Grèce
En Chine
Chez les mayas
En Inde
De l'Inde à l'Occident
Compter par paquets : la base du système
On a tous eu un jour l’occasion de compter une quantité importante de petits objets : des pièces de monnaie, des billes, des cartes, … Notre compte fini, on en effectue un deuxième afin d’être certain de ne pas s’être trompé. Mais il est rare, malheureusement, de tomber deux fois sur le même résultat. Et là, notre esprit ingénieux (!) nous conseille d’user d’un stratagème pour ne pas se faire posséder une nouvelle fois par le grand nombre : on fait des petits paquets de 10 ! Et si cela ne suffit pas : avec 10 petits paquets de 10, nous formons un gros paquet de 100.
Nous réinventons le système de numération de base 10 (système décimal). Pourquoi « de base 10 », car pour obtenir un petit paquet, il faut 10 unités et pour obtenir un gros paquet, il faut 10 petits paquets.
Pour passer au rang des dizaines (petits paquets), il faut 10 unités et pour passer au rang des centaines (gros paquets), il faut 10 dizaines.
10 unités d'un rang valent 1 unité du rang immédiatement supérieur.
L'écriture décimale demande 10 symboles (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Nos 10 doigts en sont incontestablement à l’origine. Que serait aujourd’hui notre système d’écriture si nous avions deux doigts seulement ???
Il est possible en effet d'écrire les nombres dans d'autres bases que la base décimale ! Prenons par exemple le système binaire (base 2) qui ne dispose que de deux symboles : 0 et 1 (deux doigts!)
0 s’écrit 0 (en base 2)
1 s’écrit 1
2 s’écrit 10
3 s’écrit 11
4 s’écrit 100
5 s’écrit 101 etc…
Ce système est par exemple utilisé dans la programmation des ordinateurs. En électronique, soit le circuit est fermé (0), soit il est ouvert (1). A condition d’avoir un nombre suffisant de circuits, on peut coder n’importe quel nombre. Le code ASCII utilise ainsi les nombres binaires pour représenter des symboles tels les caractères, les chiffres, les signes de ponctuation...
Classification des numérations
Chaque civilisation avait son système de numération plus ou moins performant dans sa propre base.
- Dans le principe additif, la valeur d'un nombre est égale à la somme des symboles qui le composent. Un nombre est formé par la juxtaposition de symboles répétés autant de fois qu'il le faut.
Pour noter le chiffre 9 par exemple, les égyptiens répètent neuf fois le symbole de l’unité.
On voit vite les limites de ce procédé quand il s’agit de représenter des grands nombres mais surtout d'effectuer des calculs. Le principe additif imposait en effet une distance entre écriture et calcul exigeant l’usage de dispositifs matériels tels le boulier ou l’abaque.
- Comment peut on écrire alors un nombre avec moins symboles ?
Le principe de position semble en être la meilleure réponse et constitue une avancée capitale dans l'histoire de l’écriture des nombres.
L'idée ingénieuse est que la valeur du symbole varie en fonction de la place qu’il occupe dans l’écriture du nombre.
Dans 553, par exemple, le "5 de gauche" occupe la place des centaines et vaut 10 fois plus que le "5 du centre" occupant la place des dizaines. Ce sont pourtant les mêmes symboles !
- Certaines civilisations ont adopté un principe mixte appelé numération hybride faisant intervenir simultanément l'addition et la multiplication dans le principe de position.
Pour comprendre, le nombre 932 représenté dans un tel type de numération s'écrirait : 910031021
En Mésopotamie
Depuis l'Anatolie à la vallée de l'Indus, et de la mer Caspienne au Soudan, on utilise des petits jetons de terre cuite de formes et de tailles différentes suivant la quantité qu’ils représentent. Les plus anciens retrouvés remontent à une époque allant du IXème au VIIème millénaire avant J.C.
En 3500 avant J.C., en Mésopotamie, dans les société de Sumer et d'Elam, ces jetons sont emprisonnés dans une boule creuse en argile qui permet de vérifier que les transactions commerciales sont exactes, on leurs donnera le nom de calculi.
-Petit cône = 1
-Petite bille = 10
-Grand cône = 60
-Grand cône percé = 600
-Grosse bille = 3600
-Grosse bille percée = 36000
Ces cailloux constituent l'un des premiers systèmes de numération. Ce système suit le principe additif et sa base est sexagésimale (base 60).
Les origines de la base 60 se cachent également sur nos mains : il s’agit d’une combinaison entre les 5 doigts de la main gauche et les phalanges des quatre doigts de la main droite, le pouce servant à compter les phalanges, soit 12 au total. Et 5 x 12 = 60 !
Extrait de "Histoire universelle des chiffres" Georges Ifrah - Editions Robert Laffont 1994
L’astronomie a préservé ce système que l’on retrouve aujourd’hui au travers des unités de temps (1h = 60min = 3600s) et des mesures d’angles (un tour entier = 360°).
Par exemple, 75 en base 10 s'écrit 1,15 en base 60. En effet, 75 min = 1h15min.
Mais la manipulation n’est pas facile car pour vérifier que la marchandise correspond bien au nombre de « calculi » enfermés dans la boule, il faut casser celle-ci.
Durant la seconde moitié du IVème millénaire avant J.C., à Sumer, naît l’écriture, et avec elle, les premières représentations écrites des nombres.
La boule « s’aplatit » et devient une tablette sur laquelle sont gravés des pictogrammes représentant la nature de la marchandise : épis de blé, animaux, …
Cette écriture évolue vers une forme simplifiée, dite cunéiforme que l'on trouve chez les babyloniens vers 2500 avant J.C.
Vers le IIème millénaire avant J.C., elle évoluera encore pour permettre l'écriture de nombres plus grands et voir apparaître la première numération de position. En fait, cette écriture combine le principe additif et le principe de position. Suivant la place qu'occupe le symbole, celui-ci correspond soit à une unité, soit à une soixantaine, soit à une soixantaine de soixantaines.
Il n'existe que deux symboles le "clou vertical" et le "chevron". Les neuf premiers chiffres se représentent par répétitions de clous verticaux (principe additif). 10 est représenté par le chevron. Pour écrire les nombres de 11 à 59, on répète les symboles autant de fois que nécessaire (principe additif).
Le nombre 60 se représente à nouveau par le clou (principe de position).
Le système de numération babylonien, parfois ambiguë, évoluera au fil du temps. Les scribes auront par exemple l’idée d’un signe de séparation des symboles se présentant sous la forme d’un double chevron exprimant qu’il n’y a rien. Il s'agit de la première trace du zéro (IIIème siècle avant J.C.)
Tablette de terre cuite portant des nombres en écriture cunéiforme
Autre tablette babylonienne montrant une table de multiplication
Calcul d'aire de terrain (Umma - Région sumérienne)
En Egypte
Au IIIème millénaire avant J.C., en Egypte, les scribes écrivent les nombres sur des papyrus sous forme de hiéroglyphes. Les égyptiens utilisent un système de numération (reposant sur le principe additif) moins performant que celui des mésopotamiens mais connaissent déjà l’écriture décimale.
Ils peuvent représenter les nombres jusqu’au million. Chaque signe possède une valeur qui correspond à l'une des 6 premières puissances de 10. L’unité est une barre verticale ; la dizaine est une anse de panier ; la centaine est une corde enroulée ; le millier est une fleur de lotus ; la dizaine de mille est un doigt dressé ; la centaine de mille est un têtard et le million est un dieu.
Le nombre représenté ci-dessous à droite est 2 423 968. Essayez de comprendre comment est construit ce système d’écriture. C’est facile !
Nous leurs devons aussi les fractions, puisqu’ils sont à l’origine des fractions de numérateur 1.
Nous trouvons à ce sujet un épisode sanglant de la mythologie égyptienne où Seth (Dieu de la violence) arrache l’œil à Horus (Dieu à tête de faucon et à corps d’homme) et le partage en 6 morceaux.
Son œil est appelé Oudjat ; chacune de ses parties symbolise une fraction de numérateur 1 et de dénominateurs 2, 4, 8, 16, 32 et 64.
Thot (Dieu humain) reconstitue l’œil, symbole du bien contre le mal mais la somme de ces parts n’est pas égale à 1 (l’œil entier) mais à 63/64. Thot accordera le 64ème manquant à tout scribe recherchant et acceptant sa protection.
Mur d'une construction de Thoutmosis III à Karnak
L'oeil d'Horus
En Grèce
Grecs et romains ont inventé des systèmes de numération alphabétiques très peu adaptés aux calculs.
Le système romain, par exemple, est composé de symboles (I, V, X, L, C, D et M) notés côte à côte selon le principe additif et combine les bases 5 et 10.
Notons, qu’en réalité, ces symboles ne sont pas tous les formes initiales des chiffres romains. Les plus anciens sont les signes I, V et X qui dérivent directement de la pratique de l'entaille.
Pour voir leur évolution au fil des temps depuis les étrusques, cliquez sur le lien externe : Histoire des chiffres
Entailles de bergers trouvées en Dalmatie,
extrait de "Histoire universelle des chiffres" Georges Ifrah - Editions Robert Laffont 1994
Un exemple : 1789 se note MDCCL # #
M(1000) + D(500) + CC(2x100=200) + L(50) + # # #(3x10=30) + IX(10-1=9)
Imaginez comment effectuer des opérations avec une telle notation !!!
L’écriture grecque n'était guère plus commode. Pour les grecs, les nombres sont nécessairement liés à des conceptions géométriques. Ils n'ont pas encore acquis un statut indépendant qui les ferait exister par eux même.
En Chine
Le premier système de numération chinois est décimal et de type hybride. Il fait appel à 13 symboles fondamentaux : les 9 unités et les 4 premières puissances de 10. Celui-ci a peu évolué au cours de l’histoire. On trouve ces symboles sur les os et les écailles divinatoires de l’époque Yin (XIVème/XIème siècles avant J.C.).
Comparaison entre les symboles actuels (1ère ligne) et les symboles archaïques (2ème ligne)
Les chinois du IIème siècle avant J.C. disposent d’un autre type de numération dit « numération savante ». Ce système suit le principe additif dans la base 10. Les symboles sont composés de bâtonnets en alternant les rangs par des barres verticales ou horizontales pour éviter la confusion.
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