02/10/2025
সমতুল ভগ্নাংশ
**************
তোমাকে যদি একটি ভগ্নাংশ দিয়ে বলা হয় এর কয়েকটি সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করে দাও তুমি কি তা পারবে?
যদি বলো হ্যা পারবো, তাহলেতো খুব ভালো। আর যদি বলো, না পারবোনা, তাহলে, চলো এক্ষুনি শিখে নেই কিভাবে একটি ভগ্নাংশের সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করতে হয়।
প্রথমে জেনে নিব সমতুল ভগ্নাংশ কি?
সমতুল ভগ্নাংশ:
কোন একটি ভগ্নাংশের লব ও হরকে ০ বাদে যে কোনো একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে অথবা ভাগ করলে যে ভগ্নাংশ তৈরি হয় তাই প্রদত্ত ভগ্নাংশটির সমতুল ভগ্নাংশ।
উদাহরণ:
ধরে নেই ১২/১৮ ভগ্নাংশটির কয়েকটি সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করতে হবে। কাজটি আমরা দুই ভাবে করতে পারব। এক এক করে নিচে তা দেখানো হলো:
১। লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করে সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করা যায়।
উদাহরণ:
১২/১৮
= (১২×২) / (১৮×২)
= ২৪/৩৬
অনুরূপভাবে লব ও হরকে ৩ দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায় ৩৬/৫৪ এবং ৪ দ্বারা গুণ করে পাওয়া যায় ৪৮/৭২ ।
এখানে ২৪/৩৬, ৩৬/৫৪ ও ৪৮/৭২ ভগ্নাংশগুলো প্রদত্ত ভগ্নাংশ ১২/১৮ এর সমতুল ভগ্নাংশ। তাহলে, নিশ্চয়ই এখন আর বুঝতে বাকি নাই যে, এভাবে লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণের মাধ্যমে অসংখ্য সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করা সম্ভব।
২। লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করে সমতল ভগ্নাংশ তৈরি করা যায়।
উদাহরণ:
লব ও হরকে ২ ও ৩ দ্বারা ভাগ করে পাওয়া যায় যথাক্রমে ৬/৯ ও ৪/৬।
এখানে, ৬/৯ ও ৪/৬ ভগ্নাংশ দুটি প্রদত্ত ভগ্নাংশ ১২/১৮ এর সমতুল ভগ্নাংশ। এভাবে লব ও হরকে একই সংখ্যা দ্বারা ভাগের মাধ্যমেও অসংখ্য সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করা সম্ভব।
আশা করছি, কোনো একটি ভগ্নাংশের সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি করতে তোমার আর কোন সমস্যা থাকল না।
আলোচনা এখানেই শেষ করছি না। সমতুল ভগ্নাংশ নিয়ে আরেকটু আলোচনা করা প্রয়োজন মনে করছি। কারণ দুটি ভগ্নাংশ দিয়ে আমাদেরকে যদি বলা হয় এই ভগ্নাংশ দুটি সমতুল ভগ্নাংশ কিনা যাচাই করে দেখাও আমরা তা কিভাবে করে দেখাবো তা আলোচনা করা প্রয়োজন।
উদাহরণ:
ধরে নেই ১২/১৮ ও ৪/৬ ভগ্নাংশ দুটি দিয়ে আমাদেরকে বলা হলো ভগ্নাংশ দুটি সমতুল কিনা যাচাই করে দেখাও। আমরা যা করব তা নিম্নরূপ:
আমাদের জানা থাকতে হবে দুটি ভগ্নাংশ তখনই পরস্পর সমতুল হবে যখন,
১ম ভগ্নাংশের লব × ২য় ভগ্নাংশের হর
= ১ম ভগ্নাংশের হর × ২য় ভগ্নাংশের লব
তাহলে চলো প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি যাচাই করে দেখি এরা সমতুল ভগ্নাংশ কিনা।
এখানে,
১ম ভগ্নাংশের লব × ২য় ভগ্নাংশের হর
= ১২ × ৬
= ৭২
আবার
১ম ভগ্নাংশের হর × ২য় ভগ্নাংশের লব
= ১৮ × ৪
= ৭২
যেহেতু উভয় ক্ষেত্রেই ফলাফল সমান তাই আমরা সিদ্ধান্ত দিতে পারি, প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি অবশ্যই সমতুল ভগ্নাংশ।
তাহলে আশা করা যায়, এখন থেকে তুমিও সমতুল ভগ্নাংশ যাচাই করতে পারবা।
এবার তোমার জন্য প্রশ্ন:
ভাগের নিয়ম ব্যবহার করে ১/৫ ভগ্নাংশটির দুটি সমতুল ভগ্নাংশ তৈরি কর। তোমার উত্তর কমেন্ট করে জানিয়ে দাও।
28/09/2025
মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে লসাগু নির্ণয়
***********************************
তোমাকে যদি দুইটি বা তার অধিক সংখ্যক সংখ্যা দিয়ে বলা হয় মৌলিক গুণনীয়ক এর সাহায্যে লসাগু নির্ণয় কর তুমি কি তা পারবে? যদি বলো যে হ্যাঁ পারব, তাহলে তো খুবই ভালো কথা। কিন্তু যারা বলবে যে, না পারিনা তাদেরকে বলবো চলো শিখে নেই কিভাবে কাজটা করতে হয়।
ধরো আমাদেরকে চারটি সংখ্যা দেওয়া হলো ১২, ৩০, ৩৬ ও ৪০। আমাদেরকে বলা হলো, এই চারটি সংখ্যার লসাগু নির্ণয় করতে হবে মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে। কাজটা কিভাবে করবো চলো দেখে নেই।
সবার প্রথমে সংখ্যা চারটির প্রত্যেকটিকে মৌলিক গুননীয়কে বিশ্লেষণ করতে হবে। সংখ্যা চারটির মৌলিক গুণনীয়কে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:
১২
= ২×৬
=২×২×৩
১২ এর মৌলিক গুননীয়ক ২, ২, ৩।
৩০
= ২×১৫
= ২×৩×৫
৩০ এর মৌলিক গুননীয়ক ২, ৩, ৫।
৩৬
= ২×১৮
= ২×২×৯
= ২×২×৩×৩
৩৬ এর মৌলিক গুননীয়ক ২, ২, ৩, ৩।
৪০
= ২×২০
= ২×২×১০
= ২×২×২×৫
৪০ এর মৌলিক গুননীয়ক ২, ২, ২, ৫।
সকল সংখ্যা বিশ্লেষণের পর আমরা দেখতে পাচ্ছি এখানে, অনন্য মৌলিক গুণনীয়ক রয়েছে তিনটি। যথা ২, ৩ ও ৫।
এখানে, আমরা লক্ষ্য করছি যে,
৪০ এর রয়েছে সর্বোচ্চ সংখ্যক ২ । অর্থাৎ ৪০ এর মৌলিক গুণনীয়কে রয়েছে তিনটি ২।
৩৬ এর রয়েছে সর্বোচ্চ সংখ্যক ৩ । অর্থাৎ ৩৬ এর মৌলিক গুণনীয়কে রয়েছে দুইটি ৩।
৩০ ও ৪০ এর রয়েছে সর্বোচ্চ সংখ্যক ৫। অর্থাৎ ৩০ ও ৪০ উভয়েরই মৌলিক গুণনীয়কে রয়েছে একটি ৫।
তাহলে, আমাদের নির্ণেয় লসাগু হবে প্রদত্ত সংখ্যা চারটির অর্থাৎ ১২, ৩০, ৩৬ ও ৪০ এর সর্বোচ্চ সংখ্যক মৌলিক গুণনীয়কগুলোর গুণফল।
সুতরাং
নির্ণেয় লসাগু
= ২×২×২×৩×৩×৫
= ৩৬০
আশা করছি এরপর মৌলিক গুণনীয়ক এর সাহায্যে লসাগু নির্ণয় করতে তোমার আর কোন অসুবিধা হবে না।
এবার তোমার জন্য প্রশ্ন:
মৌলিক গুণনীয়কের সাহায্যে ২৪, ৩৬, ৫৪, ৭২ ও ৯৬ এর লসাগু নির্ণয় কর। উত্তরে তুমি কি পেলে আমাকে কমেন্ট করে জানাও।
24/09/2025
দুই বা ততোধিক সংখ্যার গরিষ্ঠ (সবচেয়ে বড়) সাধারন গুণনীয়ক অর্থাৎ গসাগু নির্ণয় করতে পারো?
যদি পারো তাহলেতো খুবই ভালো কথা। কিন্তু যারা পারো না আমি তাদেরকে বলছি।
গসাগু নির্ণয়:
সাধারণত দুইভাবে গসাগু নির্ণয় করা হয়।
১) গুণনীয়কের সাহায্যে
২) ভাগের সাহায্যে
আমি তোমাদেরকে এখানে গুণনীয়কের সাহায্যে গসাগু নির্ণয় করা শিখাবো।
৪,৮,২৪ এর গসাগু নির্ণয়:
প্রথমে ৪,৮,২৪ সংখ্যাগুলোর গুণনীয়ক নির্ণয় করি। সংখ্যাগুলোর গুননীয়কে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:
৪=১×৪=২×২ (গুণনীয়ক ১,২,৪)
৮=১×৮=২×৪ (গুননীয়ক ১,২,৪,৮)
২৪=১×২৪=২×১২=৩×৮=৪×৬ (গুণনীয়ক ১,২,৩,৪,৬,৮,১২,২৪)
এখানে ৪, ৮ ও ২৪ এই সংখ্যা তিনটির সাধারণ গুণনীয়ক ১,২,৪। এই গুণনীয়কগুলোর মধ্যে গরিষ্ঠ (সবচেয়ে বড়) সাধারণ গুণনীয়ক অর্থাৎ গসাগু হলো ৪।
আশা করছি এরপর গুণনীয়কের সাহায্যে গসাগু নির্ণয় করতে তোমাদের আর কোন সমস্যা হবে না।
তোমার জন্য প্রশ্ন:
১৫, ২১ ও ৩৫ সংখ্যা তিনটির গসাগু কত? কমেন্টে উত্তর দাও।
21/09/2025
তোমরা কি মৌলিক ও যৌগিক সংখ্যা চিনতে পারো?
যদি তোমার মৌলিক সংখ্যা ও যৌগিক সংখ্যা চিনতে কোন অসুবিধা না থেকে থাকে তাহলে তো খুবই ভালো কথা। তবে যারা চিনতে পারো না আমি তাদেরকে বলছি, চলো জেনে নেই কিভাবে যাচাই করব কোন একটি সংখ্যা মৌলিক না যৌগিক?
মৌলিক সংখ্যা কিভাবে চিনবো?
কোন একটি সংখ্যার গুননীয়ক যদি শুধুমাত্র ২টি হয়, এর কমও নয় আবার বেশিও নয় তাহলে তাকে আমরা মৌলিক সংখ্যা বলি। মৌলিক সংখ্যার গুননীয়ক দুটি হলো ১ এবং ওই সংখ্যাটি নিজে। যেমন ২, ৩, ৫, ৭, ১১ সংখ্যাগুলো মৌলিক সংখ্যা। কারণ এই সংখ্যাগুলোর প্রতিটির গুণনীয়ক শুধুমাত্র দুইটি্। সংখ্যাগুলোর গুননীয়কে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:
২=১×২ (গুননীয়ক ১,২)
৩=১×৩ (গুননীয়ক ১,৩)
৫=১×৫ (গুননীয়ক ১,৫)
৭=১×৭ (গুননীয়ক ১,৭)
১১=১×১১ (গুননীয়ক ১,১১)
তাহলে এবার তোমার জন্য প্রশ্ন :
৩৫ ও ৩৭ সংখ্যা দুটির মধ্যে কোন মৌলিক সংখ্যা আছে কি? থাকলে কমেন্টে জানাও।
যৌগিক সংখ্যা কিভাবে চিনব?
কোন একটি সংখ্যার গুননীয়ক যদি ২টির অধিক হয় অর্থাৎ ৩ বা ততোধিক হয় তাহলে তাকে আমরা যৌগিক সংখ্যা বলি। যেমন ৪, ৬, ৮, ৯ সংখ্যাগুলো যৌগিক সংখ্যা। কারণ এদের গুননীয়ক ২টির চাইতে বেশি। সংখ্যাগুলোর গুননীয়কে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:
৪=১×৪=২×২ (গুণনীয়ক ১,২,৪)
৬=১×৬=২×৩ (গুণনীয়ক ১,২,৩,৬)
অনুরূপভাবে ৮ ও ৯ এর গুণনীয়কগুলো তুমি নিজে বের করে কমেন্ট কর ।
এবার প্রশ্ন হচ্ছে ১ সংখ্যাটি নিয়ে। এটি কি মৌলিক না যৌগিক?
উত্তর হচ্ছে ১ সংখ্যাটি মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়। কারণ ১ এর গুননীয়ক ১ নিজেই। অর্থাৎ ১ এর গুননীয়ক শুধুমাত্র ১টি। ১ এর গুননীয়কে বিশ্লেষণ নিম্নরূপ:
১ =১×১ (গুননীয়ক ১)
অথচ কোন সংখ্যা মৌলিক হওয়ার জন্য গুণনীয়ক লাগে ২টি আর যৌগিক হওয়ার জন্য লাগে ২ এর অধিক সংখ্যক গুণনীয়ক। এর কোনোটিই ১ ক্ষেত্রে পাওয়া যাচ্ছে না। তাই ১ মৌলিক বা যৌগিক কোনোটিই নয়।
এবার তোমার জন্য প্রশ্ন:
২৭ ও ২৯ এর মধ্যে কোন যৌগিক সংখ্যা আছে কি? থাকলে কমেন্টে জানাও।
আশা করছি এখন আর মৌলিক সংখ্যা ও যৌগিক সংখ্যা চিনতে তোমার কোন সমস্যা হবে না।
18/09/2025
মিলিয়ন বিলিয়নের হিসাবটা জেনে রাখো
============================
তোমরা কি মিলিয়ন বিলিয়নের হিসাবটা জানো? যদি জানো তাহলে তো খুব ভালো। যারা জানো না তাদের জন্য বলছি। 1 মিলিয়ন মানে হল আমাদের দেশীয় রীতিতে 1 নিযুত বা 10 লক্ষ। আর 1 বিলিয়ন মানে হল 100 কোটি।
1 মিলিয়নকে স্থানীয় মানের সাহায্যে লিখতে হয় 1,000,000। সর্ব ডান থেকে বাম দিকে ঘর গুলোর নাম যথাক্রমে ones, tens, hundreds এবং এর বামের তিনটি ঘর হল thousands এর ঘর, তার বামের তিনটি ঘর হল millions এর ঘর এবং তারও বামের ঘর হল billions এর ঘর। আমরা বিলিয়নকে স্থানীয় মানের সাহায্যে লিখতে পারি 1,000,000,000 ।
17/09/2025
স্বার্থক অংক নিয়ে কথা
=========================
তোমরা কি জানো আমরা বাস্তব জীবনে যে অংক গুলো ব্যবহার করি তার মধ্যে কয়টি স্বার্থক অংক রয়েছে এবং সেই অংক গুলো কি কি?
জানলে খুবই ভালো কথা। যারা জানো না তাদের জন্য বলছি। আমরা বাস্তব জীবনের নানা ধরনের গণনার কাজে দশটি প্রতীক বা অংক ব্যবহার করে থাকি। অংকগুলো হলো 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ও 9। এই অংক গুলোর মধ্যে 0 বাদে নয়টি অংক হচ্ছে স্বার্থক অংক। এই অংক গুলোর প্রতিটি একটা করে মানকে প্রকাশ করে যা দিয়ে আমরা গণনার কাজ করতে পারি। কিন্তু 0 এর মধ্যে কোন সংখ্যা নেই। যেহেতু এর মধ্যে সংখ্যার অভাব রয়েছে তাই এটিকে আমরা সংখ্যার অভাব জ্ঞাপক অংক বলে থাকি। তবে 0 ছাড়া কিন্তু গণনার কাজ করা অসম্ভব। 0 স্বার্থক অংকের পাশে বসে সংখ্যা প্রকাশ করতে পারে। তাই আমাদের প্রাত্যহিক জীবনের হিসাব-নিকাশের জন্য 0 অবশ্যই একটি অপরিহার্য অংক।
12/12/2024
২০২৫ সালের এসএসসি পরীক্ষার রুটিন
15/09/2024
সামষ্টিক মূল্যায়ন ২০২৪। গণিত সপ্তম শ্রেণী। প্রশ্নের ধারা ও মানবন্টন
15/09/2024
সামষ্টিক মূল্যায়ন ২০২৪। গণিত অষ্টম শ্রেণী। প্রশ্নের ধারা ও মানবন্টন
17/09/2025
12/12/2024
27/09/2024
15/09/2024
15/09/2024