Learning with JOY and JABIN

This is totally a learning page. Keep connected with the page and learn unlimited.
Coming soon

গসাগুর ভাগ প্রক্রিয়া: নিয়মটা তো জানি, কিন্তু কাজ করে ‘কেন’?
______________________________________________________________
ছেলেবেলায় আমরা যা কিছু শিখি, তার অনেককিছুর শুধু নিয়মটাই আমাদের শেখা হয়। নিয়মটা কেন এমন হলো, সেটা আর শেখা হয় না। বড় হতে হতে সেই কৌতূহলটুকুও হারিয়ে যায়। ফলে শেখাটা এক রকম অসমাপ্ত থেকে যায়। এমনই একটা নিয়ম হলো গসাগু নির্ণয়ের ভাগ প্রক্রিয়া।

পদ্ধতিটা মনে হয় আমাদের অনেকেরই জানা। তবু একবার মনে করিয়ে দিই।

-----------------------------------------------
ছোট সংখ্যা দিয়ে বড়টাকে ভাগ করো। এবার ভাগশেষ যা আসবে তা দিয়ে আগের ভাজককে ভাগ করো। এভাবে করতে থাকো, যখন মিলে যাবে অর্থাৎ ভাগশেষ শূন্য চলে আসবে তখন শেষ ভাজকটাই হবে গসাগু।
-----------------------------------------------

উদাহরণ দিলে ভালো করে বোঝা যাবে। ধরা যাক আমরা 20 আর 68 এর গসাগু বের করতে চাই। নিচের ছবিতে ভাগ প্রক্রিয়ায় সেটা করে দেখানো হলো।
_________________________________________________________

20) 68 (3 # 20 দিয়ে 68 কে ভাগ দিই
60 ভাগশেষ হলো 8
------------------
8 ) 20 (2 # ভাগশেষ 8 দিয়ে আগের ভাজক
16 20 কে ভাগ দিই। ভাগশেষ 4।
--------------
4) 8 (2 # ভাগশেষ 4 দিয়ে আগের ভাজক
8 8 কে ভাগ দিই। মিলে গেল।
------------- গসাগু হবে শেষ ভাজক মানে 4।
0
_________________________________________________________

এই পদ্ধতিটাকে বলে ইউক্লিডীয় অ্যালগরিদম, মহামতি ইউক্লিড এখন থেকে ২৩০০ বছর আগে তার এলিমেন্টস গ্রন্থে এই নিয়ম প্রথম বর্ণনা করেন। নিয়মটা আমাদের অনেকের জানা, কিন্তু আমরা অনেকেই জানি না এটা কেন কাজ করে। জানি না কেন বারবার ভাগশেষকে ভাজক বানিয়ে এভাবে আমরা ভাগ করে যাই, আর কেনই বা শেষের ভাজকটাই হয় গসাগু।


******************************
একটু ফিরে দেখা (গসাগু)
******************************

এ পর্যায়ে গসাগুর মূল অর্থটা আরেকবার মনে করে নিই। গসাগু হলো গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক। যেসব সংখ্যা দিয়ে 20 কে নিঃশেষে ভাগ করা যায় তারাই 20 এর গুণনীয়ক। সেগুলো হলো 1,2,4,5,10,20। একইভাবে 68 এর গুণনীয়কগুলো হলো 1,2,4,17,34,68। এই দুই দলের ভেতরে কমন বা সাধারণ হলো 1, 2 আর 4। এই তিনটা হলো 20 আর 68 এর সাধারণ গুণনীয়ক। আর তাদের ভেতরে সবচেয়ে বড় বা গরিষ্ঠ হলো 4। তাই 4 হলো গসাগু।

অর্থাৎ 4 হলো সবচেয়ে বড় সংখ্যা যাকে দিয়ে 20 ও 68 দুটোকেই নিঃশেষে ভাগ করা যায়। উপরের ভাগ প্রক্রিয়ায় শেষ পর্যন্ত আমরা 4 ই উত্তর পেয়েছি। কিন্তু ইউক্লিডের ভাগ প্রক্রিয়া কী করে এমন একটা সংখ্যা খুঁজে বের করে?


******************************
মূল রহস্য জানার আগে প্রস্তুতি পর্ব
******************************

ভাগ প্রক্রিয়ার গভীরে ঢুকতে গেলে আমাদের জানতে হবে বিয়োগ প্রক্রিয়া। সেটাই আমাদের মূল রহস্, বিয়োগ প্রক্রিয়াটা কী সেটা বলব এর পরের অনুচ্ছেদে। তবে তার আগে বিভাজ্যতার একটা জরুরি ব্যাপার বুঝতে হবে। কথাটা এমনিতে শুনতে সহজ-

দুটো সংখ্যা যদি অন্য একটা সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য হয়, তাহলে সেই দুটো সংখ্যার যোগফল এবং বিয়োগফলও ওই অন্য সংখ্যাটা দিয়ে বিভাজ্য। যেমন 25 আর 15 দুটোই 5 দিয়ে বিভাজ্য। তাই এদের বিয়োগফল 10 আর যোগফল 40-ও হবে 5 দিয়ে বিভাজ্য।

এটার প্রমাণও সহজ। ধরা যাক a ও b দুটো পূর্ণসংখ্যাই আরেকটা পূর্ণসংখ্যা c দিয়ে বিভাজ্য।

যেহেতু a সংখ্যাটা c দিয়ে বিভাজ্য, এদের ভাগফল a/c হবে একটা পূর্ণসংখ্যা। সেই ভাগফলকে নাম দিই m।

a/c=m
∴ a=mc ------- (i)

একইভাবে b/c ও হবে পূর্ণসংখ্যা, সেই ভাগফলকে একটা পূর্ণসংখ্যা n ধরলে পাবো,
b/c=n,
∴ b=nc ------- (ii)

(i)+(ii) থেকে পাবো,
a+b=c(m+n)
∴ (a+b)/c=(m+n)

m,n পূর্ণসংখ্যা হলে m+n ও হবে পূর্ণসংখ্যা। তার মানে a,b এর যোগফল a+b, ও হবে c দ্বারা বিভাজ্য। একইভাবে (i)-(ii) করলে আসবে (a-b)/c=(m-n)। ফলে a,b এর বিয়োগফল a+b, ও হবে c দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ দুটো সংখ্যা আরেকটা সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য হলে যোগফল বিয়োগফলও ওই আরেকটা সংখ্যা দিয়ে বিভাজ্য।

এটা জানা হলে এবার যাওয়া যেতে পারে মূল রহস্য বিয়োগ পদ্ধতি বুঝতে।


******************************
মূল রহস্য (বিয়োগ পদ্ধতি)
******************************

ইউক্লিডের পদ্ধতির মূল রহস্য বোঝা যাবে একটা সম্পর্ক জানলে, সেটা হলো
GCD(a, b)=GCD(a, b-a)

এখানে GCD(a,b) মানে হলো দুটো সংখ্যা a আর b এর গসাগু (GCD=Greatest Common Divisor)। এই উপরের লাইনটা বলছে যে দুটো সংখ্যার গসাগু যা হবে, ওদের বিয়োগফল এবং ওদের যেকোনো একটা সংখ্যার গসাগু-ও একই হবে।

এটা বুঝলেই মূল বোঝাটা শেষ। কারণ এই সম্পর্কটাই বারবার ব্যবহার করা হয় ইউক্লিডের অ্যালগরিদমে। এই সম্পর্কটা ঠিক কেন সেটা বোঝাই এবার।

ধরা যাক, a আর b এর গসাগু p। তাহলে p হলো সেই সবচেয়ে বড় সংখ্যা যেটা দিয়ে a আর b দুটোই বিভাজ্য।

p দিয়ে যেহেতু a, b দুটোই বিভাজ্য, তাহলে প্রস্তুতি পর্বে যা জেনেছি সেখান থেকে বলে দেয়া যায় যে b, a এর বিয়োগফল (b-a)ও p দিয়ে বিভাজ্য। এখান থেকে চিন্তা করা যায় যে a এবং (b-a) এর গসাগু হবে p। কেন? আগেই বলেছি p গসাগু হওয়ার মানে হলো p হবে এমন সবচেয়ে বড় সংখ্যা যা দিয়ে a এবং (b-a) দুটোই বিভাজ্য। p দিয়ে দুটোই বিভাজ্য, সেটা তো বুঝলাম, কিন্তু এটার চেয়ে বড় আর কেউ নেই, সেটা কী করে নিশ্চিত হই? হওয়া যায় আসলে।

p এর চেয়ে বড় কোনো সংখ্যা q দিয়ে যদি a আর (b-a) দুটোই বিভাজ্য হতো, সেই বড়ভাই q দিয়ে a আর (b-a) এর যোগফলও বিভাজ্য হয়ে যেত। কিন্তু a আর (b-a) এর যোগফল b। তার মানে q দিয়ে যদি a আর (b-a) দুটোই বিভাজ্য হতো, তাহলে q দিয়ে b ও বিভাজ্য হয়ে যেত।

ভেবে দেখো এমন হলে সেই বড়ভাই q নিজেই হয়ে যেত a, b এর গসাগু, p কে হটিয়ে দিয়ে। কিন্তু আমরা আগেই বলে দিয়েছি (a,b) এর গসাগু p, এর চেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক আর নাই। আর কোনো বড় ভাইটাই এখানে নাই।

সুতরাং p এর চেয়ে বড় আর কোনো সংখ্যা নেই যা দিয়ে a আর (b-a) দুটোই বিভাজ্য। অর্থাৎ a এবং (b-a) এর গসাগু হবে p। অর্থাৎ GCD(a, b)=GCD(a, b-a) ।


*********************************
বিয়োগ থেকে ভাগের পথে (প্রথম ধাপ)
*********************************

এবারে GCD(a, b)=GCD(a, b-a) এই সম্পর্ক ব্যবহার করে আমরা শুরুর অঙ্কটা করব। বের করতে হবে GCD(20,68)। আমরা প্রতিবার ছোটটাকে রাখব আর বিয়োগফলটাকে রাখব। ডানদিকে আমাদের পুরনো ভাগ পদ্ধতিটাও দিচ্ছি বোঝার সুবিধার্থে।
________________________________________________
GCD(20,68) | 20) 68 (3
= GCD(20,48) ∵ 68-20=48 | 60
= GCD(20,28) ∵ 48-20=28 | --------
= GCD(20,8) ∵ 28-20=8 | 8
________________________________________________

এবারে এটার সঙ্গে আমরা একেবারে শুরুর ভাগ প্রক্রিয়াটা মিলিয়ে দেখি। আসলে এখানে যে তিন লাইন আছে, তাকেই সংক্ষেপে লেখা হয়েছে ভাগ প্রক্রিয়ায়।

68 থেকে আমরা 20 কে কতবার বাদ দিতে পারি, যেন ঋণাত্মক কিছু না আসে? ধরো একটা চৌবাচ্চায় 68 মগ পানি আছে। এখন একটা বড় বালতি যেটাতে 20 মগ পানি আঁটে, সেই বালতি দিয়ে কতবার চৌবাচ্চা থেকে পানি তুলে নিতে পারবে?

উত্তর হলো 3 বার। একারণেই বামদিকে 3 বার বিয়োগ করা হয়েছে। আর ভাগ প্রক্রিয়ায় এ কারণেই ভাগফল এসেছে 3। আর 20 মগের বালতি দিয়ে 3 বার পানি ওঠালে মোট পানি উঠবে তিন-বিশে ষাট মগ, তারপর বাকি থাকবে 68-60=8 মগ। উপরে বামপাশের শেষ লাইনে যে বিয়োগফল, এটাই সেই 8। আর ডানদিকে ভাগ প্রক্রিয়ায় এই 8-কেই আমরা পাই ভাগশেষ হিসাবে।

এই বিয়োগের প্রক্রিয়া আমাদের নিশ্চিত করছে যে, শেষ বিয়োগফল 8 আর শুরুর ছোট সংখ্যা 20 এর গসাগু যা, মূল দুটো সংখ্যা 20 আর 68 এর গসাগুও তা। GCD(20,68) = GCD(20,8)।

ভাগের দিকে তাকালে এই কথাটার মানে দাঁড়ায়, “ভাজক আর ভাজ্যের গসাগু হবে ভাজক আর ভাগশেষের গসাগুর সমান”।


*********************************
বিয়োগ থেকে ভাগের পথে (দ্বিতীয় ধাপ)
*********************************

দেখো, উপরের বিয়োগগুলোতে 20 কে আমরা স্থির রেখেছি, কারণ 20 ছিল ছোট। তিনবার বাদ দেয়ার পরে 20 এর চেয়ে ছোট একটা সংখ্যা চলে 8 এসেছে। এখন 20 কে আর স্থির না রেখে 8 কে স্থির করি।

GCD(20,8) কে একটু সাজিয়ে GCD(8,20) লিখে নিচ্ছি, 8 কে আগে রাখছি। এমনিতে যদিও গসাগুতে আগে পরে কোনোই ব্যাপার না, এখানে আমি সামনে রাখছি এটা বোঝাতে যে, 8 স্থির থাকবে, আর বাকিটাতে বিয়োগফল বসবে।

________________________________________________
| 8 ) 20 (2
GCD(8,20) | 16
= GCD(8,12) ∵ 20-8=12 | --------
= GCD(8, 4) ∵ 12-8=4 | 4
________________________________________________

আবার শুরুর ভাগ প্রক্রিয়ায় তাকাও। সেখানে আগের বারের ভাগশেষ 8 কে ভাজক বানানো হয়েছে। বিয়োগের এখানে 8 কে স্থির রেখে আমরাও সেই কাজটাই করেছি।
20 থেকে 8 কে 2 বার বাদ দেয়া যায়। তাই ভাগ প্রক্রিয়ায় ভাগফল ছিল 2। দুইবারে আট আর আট 16 বাদ দেওয়ার পর ভাগশেষ পড়ে থাকে 4।

উপরে বামপাশে বিয়োগ প্রক্রিয়ার শুরুর আর শেষের লাইনে তাকালে দেখি, 8 আর 20 এর গসাগু হবে 8 আর 4 এর গসাগুর সমান। এদেরকেই দেখা যাচ্ছে ডানপাশেও: ভাজক, ভাজ্য আর ভাগশেষে।

অর্থাৎ আবারও আমরা এটাই দেখতে পাচ্ছি যে, ভাজক আর ভাজ্যের গসাগু হয়েছে ভাজক আর ভাগশেষের গসাগুর সমান। ঠিক একারণেই আমরা ভাগ প্রক্রিয়ায় বারবার আগের ভাগশেষকে ভাজক বানাই। আর আগের ভাজককে বানাই ভাজ্য। এর ফলে সুবিধা হয় যে আগের থেকে ছোট দুটো সংখ্যা নিয়ে হিসেব করা যায়।

-----------------------------------------
বিয়োগ প্রক্রিয়া হোক বা ভাগ, আমাদের লক্ষ্য হলো সংখ্যাদুটোকে ছোট করতে থাকা। ভাগ প্রক্রিয়াকে ভাবা যায় বিয়োগ প্রক্রিয়ারই দ্রুত আর সংক্ষিপ্ত রূপ হিসেবে। বিয়োগে যেটা কয়েক ধাপে করতে হয়, সেটা ভাগ প্রক্রিয়ায় একধাপেই আমরা করে ফেলি।
-----------------------------------------


*********************************
বিয়োগ থেকে ভাগের পথে (শেষ ধাপ)
*********************************

কিন্তু বিমান যত দ্রুতই উড়ুক, তাকে থামতে জানতে হয়। এবার উপরে বিয়োগের প্রক্রিয়ার শেষ লাইনে তাকাই। GCD(8,4) । এই অবস্থায় এসে আমরা দেখি এমন দুটো সংখ্যা আমরা পেয়েছি, যাদের একটা দিয়ে অন্যটা বিভাজ্য। এমন হলে গসাগু বের করা খুব সোজা। গসাগু হবে এদেরই একটা। এদের ভেতর যে সংখ্যাটা দিয়ে অন্যটা বিভাজ্য সেই সংখ্যাটাই হবে গসাগু। 4 দিয়ে 8 বিভাজ্য। তাই 4 হবে গসাগু।

এর কারণটা সহজ। 4 দিয়ে 8 নিঃশেষে বিভাজ্য, আবার 4 নিজেও 4 দ্বারা বিভাজ্য। তার মানে 4 সংখ্যাটা 4, 8 দুটোরই সাধারণ গুণনীয়ক। শুধু তা-ই না, এটাই যে সবচেয়ে বড় সাধারণ গুণনীয়ক সেটাও নিশ্চিত বলতে পারি। গুণনীয়ক কখনও মূল সংখ্যা থেকে বড় হয় না। তাই গসাগুও কখনই মূল সংখ্যাদুটোর কোনোটা থেকে বড় হতে পারে না।
4 এর চেয়ে বড় আর কোনো সংখ্যা দিয়ে 4 এবং 8 দুটোই বিভাজ্য হবে না। তাই 4 হলো 4 এবং 8 এর গসাগু।

GCD(4,8)=4

এজন্য ভাগ প্রক্রিয়ায় যখনই মিলে যায়, যখনই আমরা বুঝে যাই একটা দিয়ে অন্যটা বিভাজ্য, তখনই আমাদের কাজ শেষ। আমরা বলতে পারি, যেই ধাপে মিলে গেল সেই ভাজকটাই হলো গসাগু।

ব্যাস এটাই হলো ভাগ প্রক্রিয়া।


******************************
পুনশ্চ -১
******************************

ভাগপ্রক্রিয়া বোঝা শেষ। তবে আগ্রহীরা চাইলে বিয়োগের প্রক্রিয়া আরও দুইবার চালিয়ে যেতে পারব। GCD(4,8)= GCD(4,4)= GCD(0,4)।

শূন্য এবং যেকোনো ধনাত্মক সংখ্যার গসাগু হলো ওই ধনাত্মক সংখ্যা। কারণটা একটু আগে যেমন বলেছি তেমন। এখানে দেখো 0 সংখ্যাটা সব সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য, তাই সে 4 দিয়েও বিভাজ্য। আর 4 নিজে 4 দ্বারা বিভাজ্য। 0 ও 4 দুটোই 4 দ্বারা বিভাজ্য। আরও স্পষ্ট করে বললে 4 হলো সবচেয়ে বড় সংখ্যা যা দিয়ে 0 ও 4 দুইই বিভাজ্য। তাই 4-ই হবে গসাগু।


******************************
পুনশ্চ -২
******************************

প্রশ্ন আর কৌতূহলগুলো জাগিয়ে রেখো সবসময়। গণিত কিন্তু ভেতরে-বাইরে সুন্দর, এর আনন্দ ছড়ানো আছে পরতে পরতে। শুধু বাইরেটা দেখেই মুগ্ধ হয়ে ফিরে যেয়ো না।
যা কিছু শিখছ, সেগুলোর আরেকটু গভীরে যাওয়ার চেষ্টা জারি রেখো। তবেই দেখবে এর প্রকৃত সৌন্দর্যকে উপভোগ করতে পারছ একটু একটু করে। ভালোবাসা রইল, শুভ হোক গণিতযাত্রা।.

চমক হাসান
২৭ জুন, ২০২০

BODMAS – যে নিয়মটা প্রায়ই ভুলভাবে শেখানো হয় আমাদের
-------------------------------------------------------

পাটীগণিত বা বীজগণিতের সরল অঙ্কে যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ এমন অপারেশনগুলো কোনটার পরে কোনটা করতে হবে (Order of Operation), সেটা প্রায়ই আমাদেরকে শেখানো হয় একটা ছোট্ট স্মরণসূত্র (mnemonic) দিয়ে: BODMAS। সাধারণত এটা শেখানো হয় এভাবে: B=Bracket, O=Of, D=Division, M=Multiply, A=Addition, S=Subtraction। এবং শেখানো হয় আগে ব্রাকেটের কাজ , তারপর ‘Of’, তারপর Division, তারপর Multiplication, এরপর Addition এরপর Subtraction। এখানে বেশকিছু সমস্যা আছে। এক এক করে সমসাগুলো বলি।

-------------------------------------------------------------------
কথা ১: জেনে রাখুন আগে 'ভাগ', পরে 'গুণ' এমন কোনো নিয়ম আসলে নাই
-------------------------------------------------------------------

এটা অনেকেরই বিশ্বাস করতে কষ্ট হবে আমি জানি। সারা জীবনের শিক্ষা কি তবে ভুল হয়ে গেল? হ্যাঁ। BODMAS এর ভেতরে আগে D আছে, তাই Division বা ভাগের কাজ আগে হবে, এটাই সবাইকে শেখানো হয়, যেটা অপ্রয়োজনীয়। আসলে গুণ ও ভাগের অগ্রাধিকার একই। যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকারও একই। তবে গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার যোগ-বিয়োগের থেকে বেশি।

অগ্রাধিকারের ক্রমটা এই রকম:
1) বন্ধনী বা Bracket(B)
2) সূচক বা Order (O) [এটাকে Of শেখানো হয়, সেটা নিয়ে শেষে লিখেছি]
৩) গুণ-ভাগ, Division/Multiplication (D/M)
৪) যোগ-বিয়োগ, (Addition/Subtraction)

দেখুন, ৩ আর ৪ এ কায়দা করে আমি দুটো দুটো করে একসাথে লিখেছি। এই ব্যাপারটা আমিও জানতাম না অনেকদিন। এটা নিয়ে খটকা লাগল যখন দেখলাম আমেরিকাতে BODMAS এর মতো আরও একটা মনে রাখার কৌশল আছে: PEMDAS [Parenthesis, Exponent, Multiplication, Division, Addition, Subtraction ]। PEMDAS এর ভিতরে গুণ (M) আছে ভাগের (D) আগে। তাহলে তো দুই রকম নিয়ম হয়ে গেল। পরে যখন জানলাম গুণ আর ভাগের অগ্রাধিকার একই, তখন বুঝলাম দুটো নিয়ম আসলে একই কথা বলে।

তাহলে যদি এমন একটা অঙ্ক থাকে 2×8÷2÷2 কীভাবে করব? যারা জানেন যে ভাগ আগে করতে হয়, তারা এবারে একটু দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে যাবেন কেননা এখানে দুইটা ভাগের অপারেশন আছে। আগে 8÷2 হিসেব করতে হবে, নাকি আগে 2÷2? করে দেখুন, দুইবার দুইরকম ফল পাবেন। তবে মূল নিয়মটা জানলে চিন্তার কিছু নেই। মূল নিয়মটা দুটো-

-------------------------------------------------------------------
১. যে অপারেশনের অগ্রাধিকার বেশি, তাকে আগে হিসেব করতে হবে।
২. যদি একই অগ্রাধিকারের অনেকগুলো অপারেশন থাকে তাহলে ‘বাম থেকে ডানে’ হিসেব করতে হবে
-------------------------------------------------------------------

যেমন এখানে আছে শুধু গুণ আর ভাগ, যাদের অগ্রাধিকার একই। ২ নম্বর নিয়মটা এখানে খাটবে। তাহলে বাম থেকে ডানে হিসেব করে যেতে হবে।
2×8÷2÷2
= 16÷2÷2
= 8÷2
= 4

এটা জানলে কোন ভাগটা আগে করব, তা নিয়ে সন্দেহ থাকবে না। এমনকি এখানে ভাগের আগে গুণ করা হয়েছে সেটাও খেয়াল রাখতে পারেন। আর উত্তর বিশ্বাস না হলে পৃথিবীর যেকোনো ক্যালকুলেটরে পরীক্ষা করে দেখতে পারেন।

আরেকটু চিন্তাশীল মানুষদের জন্য বলতে পারি, গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার যে কারণ নেই সেটা আপনারা অনুভব করতে পারবেন ভাগ কী সেটা বুঝলে। আদতে field theory তে ভাগ বলে কিছু নাই, ভাগকে ভাবা যায় বিপরীতকের গুণ হিসাবে। 8÷2=8×½ । যত জায়গায় ÷2 আছে, সব জায়গায় ×½ বসিয়ে ভাবতে পারেন। আর সব যদি গুণ হয়ে যায়, তখন তো আর আগে-পরের ব্যাপার থাকবে না।

-------------------------------------------------------------------
কথা ২: যোগ আগে, বিয়োগ পরে এমন কোনো কথা নাই
-------------------------------------------------------------------

গুণভাগের কথাটা যোগ আর বিয়োগের জন্যেও সত্যি। একটা অঙ্কের কথা ভাবুন।
13-5+3-2+2
এমন অঙ্ক দেখলে আমি ছোটবেলায় প্রায়ই দ্বিধান্বিত হয়ে যেতাম। যেহেতু আমি জানতাম যোগ আগে, তাই মাঝে 5 আর 3 কিংবা শেষের 2 আর 2 আগে যোগ করে ফেলতাম। পরে অবশ্য স্যারেরা শিখিয়েছিলেন আগে যোগগুলো একসাথে করে নিতে
13-5+3-2+2
= 13+3+2-5-2
= 18-7
= 11

এটাতে ঠিক উত্তর পাওয়া যায়, সন্দেহ নেই। কিন্তু কম্পিউটার যখন হিসেব করে সে কিন্তু এমন সাজিয়ে নেয় না। কারণ পদ্ধতিটা আরও সহজ। যেহেতু যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার একই, আপনি স্রেফ বাম থেকে ডানে হিসেব করে যান।
13-5+3-2+2
= 8+3-2+2
= 11-2+2
= 9+2
= 11

লক্ষ করুন, এখানে শুরুতেই আমি বিয়োগ করে ফেলেছি, তাতে উত্তর ভুল কিছুই আসেনি।
এখানেও চিন্তাশীল মানুষদের জন্য বলতে পারি, যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার কারণ নেই। বিয়োগকে ভাবা যায় ঋণাত্মকের যোগ হিসাবে 13-5=13+(-5) । যত জায়গায় -2 আছে, সব জায়গায় +(-2) বসিয়ে ভাবতে পারেন। 13-5+3-2+2=13+(-5)+3+(-2)+2। সবাই এখন যোগ।

-------------------------------------------------------------------
কথা ৩: যোগ-বিয়োগ আর গুণ-ভাগ দুটোই থাকলে?
-------------------------------------------------------------------

চিন্তা কী? উপরের ১ নম্বর নিয়মটা ভাবুন। যার অগ্রাধিকার বেশ সে আগে। গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার বেশি তাই গুণ-ভাগ আগে করবেন। তারপর যোগ-বিয়োগ। বাম থেকে ডানে যাওয়ার নিয়মটা শুধুমাত্র তাদের জন্য সত্যি যেখানে অগ্রাধিকার একই। একটা উদাহরণ দেখা যাক।
12÷2÷3×4-6+5×7

এখানে গুণভাগ-ওয়ালা অংশগুলোকে যেমন (12÷2÷3×4) এবং (5×7) কে আগে আলাদা করে নিন। প্রয়োজনে ব্র্যাকেট দিয়ে নিতে পারেন। সেগুলোর ভিতরে যদি গুণভাগ দুই-ই থাকে তাহলে বাম থেকে ডানে যেতে পারেন।
12÷2÷3×4-6+5×7
= (12÷2÷3×4)-6+(5×7)
= (6÷3×4)-6+35
= (2×4)-6+35
= 8-6+35

খেয়াল করুন গুণ-ভাগের কাজ শেষ হলে, পড়ে থাকবে যোগ-বিয়োগ। যাদের অগ্রাধিকার একই। সুতরাং বাম থেকে ডানে যেতে পারেন।
8-6+35
= 2+35
= 37

এটা জানলে আর খুব একটা দ্বিধায় পড়তে হবে না কাউকে।

-------------------------------------------------------------------
কথা ৪: O তে Of নাকি Order
-------------------------------------------------------------------

সত্যি হলো Of বলে কোনো অপারেশন গণিতের কোনো তত্ত্বে নেই। এই উপমহাদেশীয় গণিতের বইগুলোতে ‘এর’ বলে একটা কথা আছে, যেটা আদতে ‘গুণ’ অপারেশন। যেমন (১২ এর ১/ ৩)=১২ x ১/৩ = ৪। এই ‘এর’ এর ইংরেজি ‘of’ ।

‘10 এর ½’ এটা মানে যে 10 × ½, এমন করে বাচ্চাদের শেখানোর চিন্তাটা আসলে খারাপ না। এর দিয়ে গুণ বোঝানো হয় এটা তারা জানল। একইভাবে ‘10 আর 6’ মানে হলো 10+6, ‘10 থেকে বাদ 6’ এটার মানে হলো 10-6 । তাহলে ‘এর’, ‘আর’, ‘থেকে বাদ’ এগুলো হচ্ছে কথা বলার বা লেখার ভাষা, যেটাকে গণিতে আমরা গুণ, যোগ, বা বিয়োগ অপারেশনগুলো দিয়ে ভাবছি।

আলাদা করে একটা ‘এর’ অপারেশন রাখা অর্থহীন। অনেকে যুক্তি দিতে পারেন ‘এর’ একটা গুণ যেটা সাধারণ গুণের থেকে বেশি ক্ষমতার অধিকারী (অগ্রাধিকার বেশি, আগে হিসেব করতে হবে)। সেটাও ধোপে টিকবে না কারণ আপনি 10 এর ½ না লিখে একটা ব্র্যাকেটসমেত (10× ½ ) লিখলেই সেটা হয়।

আমাদের উপমহাদেশে O তে ‘Of’ যদিও প্রচলিত, বিশ্বের আর সব জায়গায় কিন্তু এমন না। অস্ট্রেলিয়া এবং পশ্চিম আফ্রিকার দেশগুলোতেও BODMAS প্রচলিত। সেখানে তারা O মানে জানে Order বা সূচক। ইংল্যান্ডে এটাকে বলে BIDMAS, সেখানে দ্বিতীয় অক্ষরটা অর্থাৎ ‘I’ এর মানে হলো Indices বা সূচক। কানাডা, নিউজিল্যান্ডে প্রচলিত হলো BEDMAS, যেখানে E এর মানে Exponent বা সূচক, যুক্ররাষ্ট্রে প্রচলিত হলো PEMDAS , সেখানেও E মানে Exponent বা সূচক। অর্থাৎ বাকি সবাই জানে ব্র্যাকেটের পর সূচকের কাজ, অর্থহীন ‘এর’কে কেউই রাখেনি।

আমরা of জানায় সমস্যা যা হয়েছে- O দিয়ে Order-ও বোঝায় সেই ব্যাপারটা অনেকের জানা হয়নি। BODMAS এর এই Order বলছে যে গুণ/ভাগ কিংবা যোগ/বিয়োগের আগে সূচকের কাজ করতে হবে।

যেমন:
2³÷4+3
= 8÷4+3
= 2+3
= 5

-------------------------------------------------------------------
বাম থেকে ডানের ব্যতিক্রম
-------------------------------------------------------------------

উপরে যেহেতু সূচকের ব্যপারটা এসেছে , তাই সে সংক্রান্ত একটা কথা বলে রাখি। আগে বলেছি যে যোগ-বিয়োগ বা গুণ-ভাগের বেলায় একই অগ্রাধিকার-ওয়ালা অপারেশনের ক্ষেত্রে ‘বাম থেকে ডান’ যেতে হবে। এই ব্যাপারটার একটা ছোট্ট ব্যতিক্রম আছে সূচকের ক্ষেত্রে।

যখন পাওয়ারের উপর পাওয়ার থাকে তখন সবার উপরের পাওয়ারটা আগে হিসাব করতে হয়। আমরা যেহেতু পাওয়ারগুলোকে কোনো সংখ্যার উপরে ডানদিকে লিখি তাই এক্ষেত্রে ডান থেকে বাম আসতে হয়। যেমন 2^1^3^2 এটাকে ভাবুন ২ এর মাথায় পাওয়ার ১, সেই ১ এর মাথায় ৩, সেই ৩ এর মাথায় ২। এবারে আগে হিসেব করা হয় 3^2 কে। পুরো হিসেবটা হবে এমন: 2^1^3^2 = 2^1^9 = 2^1 = 2, এখানে বাম থেকে ডানে গেলে চৌষট্টি পেয়ে যাবেন, যেটা ঠিক না।

-------------------------------------------------------------------
6÷2(1+2) = ?
-------------------------------------------------------------------

শেষ করা যাক অনলাইন কাঁপানো একটা বিখ্যাত সমস্যা দিয়ে। 6÷2(1+2) = ?
BODMAS এর নিয়ম জানলে এটা করা খুবই সহজ।
6÷2(1+2)
= 6÷2×(1+2)
= 6÷2×3 [আগে ব্র্যাকেটের কাজ]
= 3 × 3 [গুণ-ভাগ একই অগ্রাধিকার, তাই বাম থেকে ডানে]
= 9

আমি প্রায়ই ইনবক্সে প্রশ্ন পাই- কেন Casio-র দুই মডেলের Scientific Calculator এ 6/2(1+2) এর মান দুই রকম দেখায়।

প্রথমে বলে নিই, 2(1+2) এই 2 আর (1+2) এর মাঝে যে গুণটা আছে, সেটা যদি আমরা স্পষ্ট করে বসিয়ে দিই, তাহলে সব ক্যালকুলেটর একই মান দেয়। 6/2×(1+2) এটা লিখলে সবাই উত্তর দেবে 9। কারও তখন কোনো দ্বিধা থাকে না।

যখন 2 আর (1+2) এর ভিতরে গুণ চিহ্নটা স্পষ্ট করে দেয়া থাকে না, তখন Algorithm এ ঝামেলাটা হয়। এটাকে তখন বলে Implicit multiplication। এটার অগ্রাধিকার সাধারণ গুণ-ভাগ থেকে বেশি হবে, এমন একটা ধারণা প্রচলিত আছে। যেমন 1/2a লিখলে অধিকাংশ মানুষই বোঝে 2 আর a একসাথে আছে, এটা 1/ (2a)। এই প্রচলিত চিন্তাটা কিন্তু BODMAS এর নিয়ম মানে না। BODMAS মতে, 1/2a= (1/2) × a = ½ a ।

Implicit multiplication কে অগ্রাধিকার দিলে উপরের অঙ্কের হিসেবটা দাঁড়ায় এমন: 6÷2(1+2)= 6÷2(3) = 6÷6 = 1। কিন্তু এমন Implicit multiplication এর ক্ষেত্রে অগ্রাধিকার আগে হবে, এমন কোনো নিয়ম কোথাও আসলে নেই। ফলে এটাকে সাধারণ গুণ হিসেবে বিবেচনা করে হিসেব করাই সঙ্গত। তাতে পাবেন, 6÷2(1+2)= 6÷2×3= 3×3=9।

Google, WolframAlpha, Desmos ইত্যাদি নির্ভরযোগ্য সাইটগুলোতে 6/2(1+2) এভাবে লিখে খোঁজ করুন, উত্তর সবসময় 9-ই পাবেন। আর যদি 6/2*(1+2) এমন গুণ-চিহ্ন সমেত লিখে খোঁজ করেন, তাহলে তো কথাই নেই। সব সাইট, সব ক্যালকুলেটর, MATLAB, Python সব Programming Language উত্তর দেবে 9।

তাই 6/2(1+2) এর সঠিক উত্তর 9 , এটাই জেনে রাখুন।

শুভ হোক গণিতযাত্রা। :)