Math-Simple Approach

Book: Agarwal
Math no 70

A and B together can do a piece of work in 12 days.which B and C together can do in 16 days. After A has been working at it for 5 days and B for 7 days, C finishes it in 13 days. In how many days C alone will do the work ?

A এবং B একসাথে একটি কাজ করতে পারে ২ দিনে। B এবং C একসাথে ঐ কাজটি করতে পারে ১৬ দিনে। A কাজটি ৫ দিন করার পর B একা ৭ দিন করলো এবং বাকি কাজটি C ১৩ দিনে সম্পন্ন করল। C একা সম্পূর্ণ কাজটি করলে কতদিন সময় লাগতো?
(a) 16
(b) 24
C) 36
(d) 48



Total work (Least Common Multiple-LCM /ল.সা.গু of 12 & 16) = 48 units

In 1 day A and B can complete (48/12)=4 units
In 1 day B and Ccan complete (48/16)=3 units

As A did 5 days B did 7 days and C did 13 days
we can table the time in the following sequence.

A এবং B একসাথে ৫ দিন কাজ করেছে। B বাকি ২ দিন C এর সাথে করেছে। C বাকি ১১ দিন সে একাই কাজটি করেছে।

Let's consider, A and B did together for 5 days and completed (4*5)= 20 units ( as A+B together complete 4 units in a day)

B remaining (7-5)= 2 days did together with C and completed (3*2)=6 units ( as B+C together complete 3 units in a day)

Remaining work (48-26)= 22 units

And C remaining 11 days did alone. And completed 22 units.

C completed 22 units for 11 days
Thus C could complete 48 units (48/2)=24 days

: b. 24 days

দ্রুত ম্যাথ উত্তর করার জন্য শর্টকাট সুত্র মুখস্থ নয় বরং ব্যাসিক ডেভলাপমেন্ট করা জরুরি।
কিন্তু পরিক্ষার হলে সুত্র ভুলে গেলে বসে বসে নক কাটা ছাড়া উপায় থাকবে না।
আর গনিতের ব্যাসিক হলো গানিতিক ঘটনাকে বিভিন্নভাবে কানেক্ট করতে পারা।

Book: Agarwal
Chapter: Time and Work
Math no: 39

A can build a wall in the same time in which B and C together can do it. If A and B together could do it in 25 days and C alone in 35 days, in what time could B alone do it?

A একটি দেওয়াল নির্মাণ করে যত সময়ে Bএবং Cএকত্রে তত সময়ে দেয়ালটি নির্মাণ করে। যদি A এবং B একত্রে দেয়ালটি ২৫ দিনে নির্মাণ করত এবং C একা ৩৫ দিনে নির্মাণ করে, তাহলে B একা দেয়ালটি নির্মাণ করতে কত দিন সময় লাগত?

A. 90
B. 100
C. 175
D. None of these



মোট কাজ (২৫ ও ৩৫ এর লসাগু ১৭৫) = ১৭৫ ইউনিট

A ও B একত্রে একদিনে করতে পারবে (১৭৫/২৫)=৭ ইউনিট
C একদিনে করতে পারবে ( ১৭৫/৩৫) = ৫ ইউনিট

তাহলে A, B ও C একত্রে এক দিনে করতে পারবে (৭+৫)= ১২ ইউনিট।

A একদিনে করতে পারে (১২/২)= ৬ ইউনিট [প্রথম লাইনে বলে দেয়া আছে B ও C এর কাজ সমান A এর একার কাজ। তাই A, B ও C এর কাজের অর্ধেক A এর একার কাজ ]

B একা একদিনে করতে পারে (৭+৬)=১ ইউনিট। [ A ও Bএর কাজ থেকে A এর কাজ বিয়োগ]

সুতরাং B ১ ইউনিট কাজ করতে পারে ১ দিনে
১৭৫ ইউনিট কাজ করতে পারে (১৭৫/১)=১৭৫ দিনে

উত্তর: ১৭৫ দিন।

বি.দ্র. যদি উপরের প্রসেসটি ফলো করতে পারেন তাহলে এই ম্যাথটি সমাধান করতে মাত্র ৩০ থেকে ৪৫ সেকেন্ড সময় লাগবে।

আর যদি ১ বা X ধরে সমাধান করতে চান তাহলে সময় কত লাগবে আন্দাজ করেন। 🙂

A, B and C can complete a job alone in 20, 30, 60 days respectively. In how many days A can do the job if he is assisted by Band C ?

Written: (Bangladesh Bank AD-2013)

As A was assisted by B and C that means the trio worked together to complete the work.

Total work (Least Common Multiple-LCM of 20,30,60) = 60 units

In 1 day A can complete (60/20)=3 units
In 1 day B can complete (60/30)=2 units
In 1 day B can complete (60/60)=1 units
In 1 day A,B and C can complete (3+2+1)=6 units

6 units they can complete in 1 day
60 units they can complete in (60/6)= 10 days

Answer:10 days

A একটি কাজ করতে পারে ৪০ দিনে। A ৮ দিন কাজটি করার পর চলে গেল। এবং B বাকি কাজটি ১৬ দিনে করতে পারে। তাহলে আমি কোন কাজটি তারা একত্র করলে কতদিন সময় লাগবে?

A. ১৩.৩৩
B. ১৫
C. ২২
D. ১৮

#সমাধান

A ৮ দিন কাজ করার পর বাকি থাকে A এর ৩২ দিনের কাজ।
B ৩২( A এর কাজের) দিনের কাজ করে ১৬ দিনে।
তাই, B ৪০ দিনের কাজ করতে পারবে ২০ দিনে।
সুতরাং,
A কাজটি করতে পারে ৪০ দিনে।
B কাজটি করতে পারে ২০ দিনে।

মোট কাজ (২০ ও ৪০ এর লসাগু ৪০) = ৪০ ইউনিট

A একদিনে করতে পারবে (৪০/৪০)=১ ইউনিট
B একদিনে করতে পারবে ( ৪০/২০)= ২ ইউনিট
Aও B একত্রে এক দিনে করতে পারবে (১+২)= ৩ ইউনিট

তাদের ৩ ইউনিট কাজ করতে সময় লাগে ৩ দিন
৪০ ইউনিট কাজ করতে সময় লাগবে (৪০/৩)=১৩.৩৩ দিন।

উত্তর: ১৩.৩৩ দিন।

#সমাধান

যেহেতু, দুইটা নল একসাথে ৮ মিনিটে চৌবাচ্চাটি পূর্ণ করতে পারে।
তাই ৪ মিনিটে অর্ধেক পূর্ণ হবে।
বাকি অর্ধেক ২য় নল দ্বারা পূর্ণ হয় ৬ মিনিটে।
২ য় নল‌ দিয়ে সম্পূর্ণ চৌবাচ্চা পূর্ণ হবে ১২ মিনিটে।

Method -1,
৮ ও ১২ এর লসাগু ২৪ লিটার (আনুমানিক চৌবাচ্চায় পানি ধরে)
১ম ও ২য় নল দিয়ে ৮ মিনিটে ২৪ লিটার পানি প্রবেশ করে।
১ম ও ২য় নল দিয়ে একসাথে ১ মিনিটে (২৪/৮)=৩ লিটার পানি প্রবেশ করে।
২য় নল‌দিয়ে পানি পানি যাবে ১ মিনিটে (২৪/১২)=২ লিটার।
১ম নল দিয়ে ১ মিনিটে পানি যাবে (৩-২)= ১ লিটার।
সুতরাং ১ম নল দিয়ে ২৪ লিটার যেতে সযময় লাগবে ২৪ মিনিট।

উত্তর:
১ম নল ২৪ মিনিট
২য় নল ১২ মিনিট

Method -2,
১ম ও ২ য় নল একসাথে ৮ মিনিটে পূর্ণ করে ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ করে ১/৮ অংশ

২য় নল ১২ মিনিটে পূর্ণ করে ১ অংশ
১ মিনিটে পূর্ণ করে ১/১২ অংশ
১ম নল দিয়ে ১মিনিটে পূর্ণ হবে (১/৮ - ১/১২)=১/২৪ অংশ।
১ অংশ পূর্ণ হতে সময় লাগবে ২৪ মিনিট।

উত্তর:
১ম নল ২৪ মিনিট
২য় নল ১২ মিনিট

A can complete a work in 20 days, B can complete the same work in 30 days. A started work and after few days B joined with A then they completed the remaining work in 3 days. How many days they took to complete the work?

A. 15
B. 18
C. 24
C. 12


The total work in unit (ল.সা.গু- LCM of 20 &30) = 60 units

A can complete (60/20)=3 units per day
B can complete (60/30)=2 units per day
A and B together can do (3+2)= 5 units per day

A and B together did for 3 days
In 3 days they completed 5*3=15 units
Remaining units (60-15)=45 units , A did alone

We know
A completes 3 unit in 1 day
So A did 45 units (45/3)= 15 days.

Total time taken, (3+15)=18 days
N.B. together (A+B) did for 3 days and A did alone for 15 days.

Answer : 18 days.

#সমাধান

এধরনের ম্যাথ সলভ করার সযময় আমরা সাধারণত সম্পূর্ণ কাজটিকে ১ বা X ধরে করে থাকি। তো ম্যাথটা সমাধান করার সময় এর কোনো কিছু ধরে নিবনা/মনে করবনা।

আগে আমরা এই ম্যাথটাকে ভিজুয়ালাইজ করব। ঝুড়িতে কতগুলো আপেল আছে সেটা বের করব।
তারা একেকজন প্রতিদিন কতগুলো আপেল খেতে পারে সেটা বের করব।

আমরা এই ম্যাথগুলো করার সময় ভগ্নাংশের সম্মুখীন হই, কারণ আমরা ১ ও X ধরে ম্যাথগুলো সমাধান করে থাকি। আপনাকে শিখতে হবে কিভাবে ১ এবং X কে উপেক্ষা করা যায়।

এখানে ১ ও X হলো কল্পিত সংখ্যা, মাথায় রাখতে হবে ১ ও X পরিবর্তে যে কোন সংখ্যাকেই ধরা যাবে। এমন একটা সংখ্যা ধরতে হবে সাথে ভগ্নাংশের ঝামেলায় পড়তে না হয়।

এখন ম্যাথে আসি।
আপেলের সংখ্যা: ১৫ ও ১০ এর গ.সা.গু.= ৩০। ( অথবা এর ৩০ গুণিতক (৬০/৯০/১২০) যে কোন সংখ্যা ধরলেই হবে)

গ.সা.গু অনুযায়ী মোট আপেল খাবে ৩০ টি।

রাকিব ১০ দিনে খেতে পারে ৩০ টি। তাহলে ১ দিনে খেতে পারবে ৩ টি।
একইভাবে মনির ১৫ দিনে খেতে পারে ৩০ টি। তাহলে ১ দিনে খেতে পারবে ২ টি।

যেহেতু একা রাকিব প্রথম দুইদিন আপেল খাবে পরের একদিন মনির খাবে।

তাই, রাকিব ১ম দুইদিনে খাবে ৩+৩=৬ টি
মনির ৩য় দিনে খাবে ২ টি,

সুতরাং ১ম তিন দিনে তারা মোট আপেল খাবে (৩+৩+২)= ৮ টি।
পরের ৩দিনে ৮টি ও তার পরের ৩ দিনে আরও ৮ টি আপেল খাবে।
তাহলে ১ম ৯ দিনে তারা মোট আপেল খাবে (৮+৮+৮)=২৪

আপেল বাকি থাকবে (৩০-২৪)=৬ টি।

যেহেতু, রাকিব ১ম দুইদিন (মনিরের পরের ২ দিন) আপেল খায় তাই পরের দুই দিনে (৩+৩)= ৬ টি আপেল রাকিব খাবে।

তাহলে মোট সময় লাগলো (৯+২)=১১ দিন।

উত্তর: ১১ দিন।

গণিতের আলোচনা শুনলেই আমরা ভয়ে আতঙ্কিত হয়ে যাই। এখানে অনেক জটিল হিসাব নিকাশ ও হিসাবের মারপ্যাচ রয়েছে। কিন্তু আসলে কি তাই?

গণিত সহজ না কঠিন তা আপনার স্বাভাবিক চিন্তার ফলাফল। আপনি এটাকে যত কঠিন করে চিন্তা করবেন গণিত তত কঠিন বলে মনে হবে।

একটা উদাহরণ দেয়া যাক।
১. মনে করি একটি ঝুড়িতে ৩০ টি আপেল আছে, মনির এবং রাকিবকে বলা হলো তারা একসাথে এই আপেলগুলো খেতে কতদিন লাগবে। যেখানে মনির একদিনে ২ টি আপেল খেতে পারে অন্যদিকে রাকিব দিনে ৩ টি আপেল খেতে পারে।

এটা কিন্তু খুব সহজেই বের করা যাবে কারণ এখানে একটি গণিতের যে বাস্তব চিত্র বা ভিজুয়ালাইজেশন পুরোপুরিভাবে ফুটে উঠেছে। আমি মনে করি যারা যোগ বিয়োগ গুণ ভাগ পারে তারা সবাই এই ম্যাথটি পারবে।

মনির ও রাকিব একদিনে একত্রে খেতে পারবে ২+৩=৫ টা আপেল।
৩০ টা আপেল খেতে তাদের সময় লাগবে ৩০/৫=৬ দিন।

কিন্তু যখনই ম্যাথ টিকে একটু ঘুরিয়ে দেয়া হবে তখনই কিন্তু আপনাদের অনেকেই ঝামেলার সম্মুখীন হবেন।

যদি ম্যাথটি এমন থাকে।
২. মনির কিছু আপেল ১৫ দিনে খেতে পারে এবং রাকিব ১০ দিনে খেতে পারে। তারা একত্রে ওই আপেল গুলো কতদিনে খেয়ে শেষ করতে পারবে?

এই ম্যাথটি দেখে হয়তো অনেক কঠিন মনে হচ্ছে আসলে কি তাই? কিন্তু দুইটা ম্যাথই এক যদি নিচের ম্যাথটিকেও ভিজুয়ালাইজ করতে পারেন। আমি মূলত এই ভিজুয়ালাইজিং প্রসেসটাই আলোচনা করব। খন প্রশ্ন হতে পারে কিভাবে একটা ম্যাথকে বাস্তবে ভিজুয়ায়ালাইজ করব?

যেকোনো ম্যাথকে ভিজুয়ালাইজ করতে হলে অবশ্যই ১ অথবা X ধরার ধারণা থেকে বেরিয়ে আসতে। আমি মনে করিএইটাই হল ম্যাথের বেসিক। ম্যাথ কি ভিজুয়ালাইজ করার কিছু ক্লু ম্যাথের মধ্যেই পাবেন।

চলেন ২ নং ম্যাথটি ভিজুয়ালাইজ করি। চোখের সামনে গল্পটা ফুটিয়ে তুলি।

২নং ম্যাথে ১৫ ও ১০ দুটি সংখ্যা দেওয়া আছে। এই সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. ৩০। ধরে নিতে হবে এই সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু. ই আপেলের সংখ্যা।
এখন মনির ১ দিনে খায়(৩০/১৫)= ২ টা আপেল।
রাকিব ১ দিনে খায় (৩০/১০)= ৩ টি আপেল।
দুইজন ১ দিনে খায় (২+৩)=৫ টি আপেল।
তাই, ৩০ টি আপেল খেতে তাদের সময় লাগবে ৩০/৫=৬ দিন।
উত্তর: ৬ দিন।

এখন এই ম্যাথটা যেভাবেই ঘুরিয়ে দেয়া হোক আশা করি যে কেউ পারবে। যেযন: একদিন মনির খেয়েছে অন্যদিন মনির খেয়েছে। তাহলে আপেল গুলো খেতে তাদের কত দিন সময় লাগবে?

৩. মনির কিছু আপেল ১৫ দিনে খেতে পারে এবং রাকিব ১০ দিনে খেতে পারে। ১ম দুই দিন রাকিব আপেল খায় এবং প্রতি ৩য় দিন মনির আপেল খায়। এভাবে আপেল গুলো খেতে তাদের কতদিন সময় লাগবে?

উত্তর কমেন্ট করুন।