SF Tutorials Point - SFTP

#গনিতের পরিমাপ সম্পর্কে কিছু তথ্যঃ -
1 ফুট = 12 ইঞ্চি
1 গজ = 3 ফুট
1 মাইল = ১৭৬০ গজ
1 মাইল ≈ 1.61 কিলোমিটার
1 ইঞ্চি = 2.54 সেন্টিমিটার
1 ফুট = 0.3048 মিটার
1 মিটার = 1,000 মিলিমিটার
1 মিটার = 100 সেন্টিমিটার
1 কিলোমিটার = 1,000 মিটার
1 কিলোমিটার ≈ 0.62 মাইল
# ক্ষেত্রঃ
1 বর্গ ফুট = 144 বর্গ ইঞ্চি
1 বর্গ গজ = 9 বর্গ ফুট
1 একর = 43560 বর্গ ফুট
# আয়তনঃ
1 লিটার ≈ 0.264 গ্যালন
1 ঘন ফুট = 1.728 ঘন ইঞ্চি
1 ঘন গজ = 27 ঘন ফুট
# ওজনঃ
1 আউন্স ≈ 28.350 গ্রাম
1 cvDÛ= 16 আউন্স
1 cvDÛ ≈ 453.592 গ্রাম
1 এক গ্রামের এর্কসহস্রাংশ = 0.001
গ্রাম
1 কিলোগ্রাম = 1,000 গ্রাম
1 কিলোগ্রাম ≈ 2.2 পাউন্ড
1 টন = 2,200 পাউন্ডের
===========================
#যারা মিলিয়ন, বিলিয়ন, ট্রিলিয়ন হিসাব জানেন না।:-
১ মিলিয়ন=১০ লক্ষ
১০ মিলিয়ন=১ কোটি
১০০ মিলিয়ন=১০ কোটি
১,০০০ মিলিয়ন=১০০ কোটি
আবার,
১,০০০ মিলিয়ন= ১ বিলিয়ন
১ বিলিয়ন=১০০ কোটি
১০ বিলিয়ন=১,০০০ কোটি
১০০ বিলিয়ন=১০,০০০ কোটি
১,০০০ বিলিয়ন=১ লক্ষ কোটি
আবার,
১,০০০ বিলিয়ন=১ ট্রিলিয়ন
১ ট্রিলিয়ন=১ লক্ষ কোটি
১০ ট্রিলিয়ন=১০ লক্ষ কোটি
১০০ ট্রিলিয়ন=১০০ লক্ষ কোটি
১,০০০ ট্রিলিয়ন=১,০০০ লক্ষ কোটি।
===========================
১ কুড়ি = ২০টি
১ রিম = ২০ দিস্তা = ৫০০ তা
১ ভরি = ১৬ আনা ;
১ আনা = ৬ রতি
১ গজ = ৩ ফুট = ২ হাত
১ কেজি = ১০০০ গ্রাম
১ কুইন্টাল = ১০০ কেজি
১ মেট্রিক টন = ১০ কুইন্টাল = ১০০০ কেজি ১ লিটার = ১০০০ সিসি
১ মণ = ৪০ সের
১ বিঘা = ২০ কাঠা( ৩৩ শতাংশ) ;
১ কাঠা = ৭২০ বর্গফুট (৮০ বর্গ গজ) 1 মিলিয়ন = 10 লক্ষ
1 মাইল = 1.61 কি.মি ;
1 কি.মি. = 0..62
1 ইঞ্চি = 2.54 সে..মি ;
1 মিটার = 39.37 ইঞ্চি
1 কে.জি = 2.20 পাউন্ড ;
1 সের = 0.93 কিলোগ্রাম
1 মে. টন = 1000 কিলোগ্রাম ;
1 পাউন্ড = 16 আউন্স
1 গজ= 3 ফুট ;
1 একর = 100 শতক
1 বর্গ কি.মি.= 247 একর
===========================
★ #সুত্র-১)সমান্তর ধারার ক্রমিক সংখ্যার যোগফল-
(যখন সংখ্যাটি1 থেকে শুরু)
1+2+3+4+......+n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি= [n(n+1)/2]
n=শেষ সংখ্যা বা পদ সংখ্যা
s=যোগফল
#প্রশ্নঃ 1+2+3+4+…………+100 =?
#সমাধানঃ[n(n+1)/2] = [100(100+1)/2] = 5050
★ #সুত্রঃ2)সমান্তর ধারার বর্গ যোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে,-
প্রথম n পদের বর্গের সমষ্টি
S= [n(n+1)2n+1)/6]
(যখন 1² + 2²+ 3² + 4²........ +n²)
#প্রশ্নঃ(1² + 3²+ 5² + ....... +31²) সমান কত?
#সমাধানঃS=[n(n+1)2n+1)/6]
= [31(31+1)2x31+1)/6] (এখানে n=শেষ সংখ্যা,31)
★ #সুত্রঃ3)সমান্তর ধারার ঘনযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে-
প্রথম n পদের ঘনের সমষ্টি
S= [n(n+1)/2]2
(যখন 1³+2³+3³+.............+n³)
#প্রশ্নঃ1³+2³+3³+4³+…………+10³=?
#সমাধানঃ [n(n+1)/2]2 = [10(10+1)/2]2 = 3025(উঃ)
★ #সুত্রঃ4)পদ সংখ্যা ও পদ সংখ্যার সমষ্টি নির্নয়ের ক্ষেত্রেঃ
পদ সংখ্যা N= [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] +১
#প্রশ্নঃ5+10+15+…………+50=?
#সমাধানঃ পদসংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথমপদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি]+ ১
= [(50 – 5)/5] + 1 =10
সুতরাং পদ সংখ্যার সমষ্টি = [(5 + 50)/2] x 10 = 275(উঃ)
★ #সুত্রঃ৫)n তম পদ=a + (n-1)d
এখানে, n =পদসংখ্যা, a = ১ম পদ, d= সাধারণ অন্তর
#প্রশ্নঃ 5+8+11+14+.......ধারাটির কোন পদ 302?
#সমাধানঃধরি, n তম পদ =302
বা, a + (n-1)d=302
বা, 5+(n-1)3 =302
বা, 3n=300
বা, n=100(উঃ)
★ #সুত্রঃ6)সমান্তর ধারার ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল-S=M² এখানে,M=মধ্যেমা=(১ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা)/2
#প্রশ্নঃ1+3+5+.......+19=কত?
#সমাধানঃS=M²={(1+19)/2}²=(20/2)²=100(উঃ)
===========================
ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে ভাগ করার একটি effective টেকনিক!
❖ ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 5 দিয়ে ভাগ করার একটি effective টেকনিক
(০১) 13/5= 2.6 (ক্যালকুলেটর ছাড়া মাত্র ৩ সেকেন্ডে এটি সমাধান করা যায়)
টেকনিকঃ 5 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 2 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 1 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 13*2=26, তারপর থেকে 1 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 2.6 ।
(০২) 213/5=42.6 (213*2=426)
0.03/5= 0.006 (0.03*2=0.06 যার একঘর আগে দশমিক বসালে হয় 0.006) 333,333,333/5= 66,666,666.6 (এই গুলা করতে আবার ক্যালকুলেটর লাগে না কি!)
(০৩) 12,121,212/5= 2,424,242.4
এবার নিজে ইচ্ছেমত 5 দিয়ে যে কোন সংখ্যাকে ভাগ করে দেখুন, ৩.৫ সেকেন্ডের বেশি লাগবে না!!
❖ ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 25 দিয়ে ভাগ করার একটি effective টেকনিক
০১. 13/25=0.52 (ক্যালকুলেটর ছাড়া মাত্র ৩ সেকেন্ডে এটিও সমাধান করা যায়)
টেকনিকঃ 25 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 4 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 2 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 13*4=52, তারপর থেকে 2 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 0.52 ।
০২. 210/25 = 8.40
০৩. 0.03/25 = 0.0012
০৪. 222,222/25 = 8,888.88
০৫. 13,121,312/25 = 524,852.48

**
তবে আসুন শুরু করা যাক। শুরুতে ১ থেকে ৯ পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ মুখস্থ করে নিই। আশা করি এগুলো সবাই জানেন। সুবিধার জন্যে আমি নিচে লিখে দিচ্ছি-
1 square = 1
2 square = 4
3 square = 9
4 square = 16
5 square = 25
6 square = 36
7 square = 49
8 square = 64
9 square = 81
এখানে প্রত্যেকটা বর্গ সংখ্যার দিকে খেয়াল করলে দেখবেন, সবার শেষের অংকটির ক্ষেত্রে -
*১ আর ৯ এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে (1, 81);
*২ আর ৮ এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে(4, 64);
*৩ আর ৭ এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে (9, 49);
*৪ আর ৬ এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে(16, 36);
এবং ৫ একা frown emoticon
এদ্দুর পর্যন্ত বুঝতে যদি কোন সমস্যা থাকে তবে আবার পড়ে নিন।
উদাহরণ ১ঃ 576 এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।
১ম ধাপঃ যে সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে তার এককের ঘরের অংকটি দেখবেন। এক্ষেত্রে তা হচ্ছে '6' ।
২য় ধাপঃ উপরের লিস্ট থেকে সে সংখ্যার বর্গের শেষ অংক 6 তাদের নিবেন। এক্ষেত্রে 4 এবং 6 । আবার বলি, খেয়াল করুন- 4 এবং 6 এর বর্গ যথাক্রমে 16 এবং 36; যাদের এককের ঘরের অংক কিনা '6' । বুঝতে পেরেছেন? না বুঝলে আবার পড়ে দেখুন।
৩য় ধাপঃ 4 / 6 লিখে রাখুন খাতায়। (আমরা উত্তরের এককের ঘরের অংক পেয়ে গেছি, যা হচ্ছে 4 অথবা 6; কিন্তু কোনটা? এর উত্তর পাবেন ৮ম ধাপে, পড়তে থাকুন ...)
৪র্থ ধাপঃ প্রশ্নের একক আর দশকের অংক বাদ দিয়ে বাকি অংকের দিকে তাকান। এক্ষেত্রে এটি হচ্ছে 5 ।
৫ম ধাপঃ উপরের লিস্ট থেকে 5 এর কাছাকাছি যে বর্গ সংখ্যাটি আছে তার বর্গমূলটা নিন। এক্ষেত্রে 4, যা কিনা 2 এর বর্গ। (আমরা উত্তরের দশকের ঘরের অংক পেয়ে গেছি, যা হচ্ছে 2 )
৬ষ্ঠ ধাপঃ 2 এর সাথে তার পরের সংখ্যা গুন করুন। অর্থাৎ 2*3=6
৭ম ধাপঃ চতুর্থ ধাপে পাওয়া সংখ্যাটা (5) ষষ্ঠ ধাপে পাওয়া সংখ্যার (6) চেয়ে ছোট নাকি বড় দেখুন। ছোট হলে ৩য় ধাপে পাওয়া সংখ্যার ছোটটি নেব, বড় হলে বড়টি। (বুঝতে পেরেছেন? নয়ত আবার পড়ুন)
৮ম ধাপঃ আমাদের উদাহরণের ক্ষেত্রে 5 হচ্ছে 6 এর ছোট, তাই আমরা 4 / ৬ মধ্যে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ 4 নেব।
৯ম ধাপঃ মনে আছে, ৫ম ধাপে দশকের ঘরের অংক পেয়েছিলাম 2? এবার পেয়েছি এককের ঘরের অংক 4 । তাই উত্তর হবে 24 !
কঠিন মনে হচ্ছে? একদমই না, কয়েকটা প্র্যাকটিস করে দেখুন। আমার মতে ১০ সেকেন্ডের বেশি লাগার কথা না।
উদাহরণ ২ঃ 4225 এর বর্গমূল বের করুন।
মনে আছে 5 যে একা ছিল? সে একা থাকায় আপনার কাজ কিন্তু অনেক সোজা হয়ে গেছে। দেখুন কেন -
- প্রশ্নের শেষ অংক 5 হওয়ায় উত্তরের এককের ঘরের অংক হবে অবশ্যই 5 ।
- প্রশ্নের একক ও দশকের ঘরের অংক বাদ দিয়ে দিলে বাকি থাকে 42 ।
- 42 এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হচ্ছে 36, যার বর্গমূল হচ্ছে 6 ।
- তাই উত্তর হচ্ছে 65 !
===========================
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ২৫ টিঃ
২,৩,৫,৭,১১,১৩,১৭,১৯,২৩,২৯,৩১,৩
৭,৪১,৪৩,৪৭,৫৩,৫
৯,৬১,৬৭,৭১,৭৩,৭৯,৮৩,৮৯, এবং ৯৭।
১-১০০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল
১০৬০।
১-১০ পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা ৪ টি।
এভাবে ১-১০,১১-২০...... ১০০ পর্যন্ত
মৌলিক
সংখ্যা হল ৪,৪,২,২,৩,২,২,৩,২,১
-
প্রশ্নঃ ১ কিমি সমান কত মাইল ?
উত্তরঃ ০.৬২ মাইল।
প্রশ্নঃ ১ নেটিক্যাল মাইলে কত মিটার ?
উত্তরঃ ১৮৫৩.২৮ মিটার।
প্রশ্নঃ সমুদ্রের পানির গভীরতা মাপার
একক ?
উত্তরঃ ফ্যাদম।
প্রশ্নঃ ১.৫ ইঞ্চি ১ ফুটের কত অংশ?
উত্তরঃ ১/৮ অংশ।
১মাইল =১৭৬০ গজ।]
প্রশ্নঃ এক বর্গ কিলোমিটার কত একর?
উত্তরঃ ২৪৭ একর।
প্রশ্নঃ একটি জমির পরিমান ৫ কাঠা হলে,
তা কত বর্গফুট হবে?
উত্তরঃ ৩৬০০ বর্গফুট।
প্রশ্নঃ এক বর্গ ইঞ্চিতে কত বর্গ
সেন্টিমিটার?
উত্তরঃ ৬.৪৫ সেন্টিমিটার।
প্রশ্নঃ ১ ঘন মিটার = কত লিটার?
উত্তরঃ ১০০০ লিটার।
প্রশ্নঃ এক গ্যালনে কয় লিটার?
উত্তরঃ ৪.৫৫ লিটার।
প্রশ্নঃ ১ সের সমান কত কেজি?
উত্তরঃ ০.৯৩ কেজি।
প্রশ্নঃ ১ মণে কত কেজি?
উত্তরঃ ৩৭.৩২ কেজি।
প্রশ্নঃ ১ টনে কত কেজি?
উত্তরঃ ১০০০ কেজি।
প্রশ্নঃ ১ কেজিতে কত পাউন্ড??
উত্তরঃ ২.২০৪ পাউন্ড।
প্রশ্নঃ ১ কুইন্টালে কত কেজি?
উত্তরঃ ১০০কেজি।
British & U.S British U.S
1 gallons = 4.5434 litres = 4.404
litres
2 gallons = 1 peck = 9.8070 litres
= 8.810 litres

ক্যারেট কি?

উত্তরঃ মূল্যবান পাথর ও ধাতুসামগ্রী
পরিমাপের একক ক্যারেট ।

1 ক্যারেট = 2 গ্রাম

বেল কি?

উত্তরঃ পাট বা তুলা পরিমাপের সময় ‘বেল’
একক হিসাবে ব্যবহৃত হয় ।

1 বেল = 3.5 মণ (প্রায়) ।
=
সূক্ষ্ণকোণ : এক সমকোণ (৯০º) অপেক্ষা ছোট
কোণকে সূক্ষ্ণকোণ বলে।
০৩. স্থুলকোণ : ৯০º অপেক্ষা বড় কিন্তু
১৮০º
অপেক্ষা ছোট কোণকে স্থুলকোণ বলে।
০৪. সমকোণ : একটি রেখা অপর একটি রেখার
উপর লম্ব হলে সমকোণ সৃষ্টি হয়।
০৫. সরলকোণ : যে কোণের পরিমাণ ১৮০º
কোণের সমান তাকে সরল কোণ বলে।
০৬. পূরক কোণ : দুটি কোণের সমষ্টি ৯০º
এর
সমান হয় তবে একটি কোণকে অপর কোণের
পূরক কোণ বলে।
০৭. সম্পূরক কোণ : দুটি কোণের সমষ্টি
১৮০º
এর সমান হলে, একটি কোণকে অপর কোণের
সম্পূরক কোণ বলে।
০৮. পৃবৃদ্ধ কোণ : দুই সমকোণ (১৮০º)
অপেক্ষা
বড় কিন্তু চার সমকোণ (৩৬০º) অপেক্ষা
ছোট
কোণকে প্রবৃদ্ধ কোণ বলে।
===========================
বৃত্ত সম্পর্কিত তথ্য:-
1. পূর্ণ বক্ররেখার দৈর্ঘ্য কে বলা হয়? =
পরিধি
2. পরিধির যেকোন অংশকে বলা হয় = চাপ
3. পরিধির যেকোন দুই বিন্দুর সংযোগ
সরলরেখাকে বলা হয় = জ্যা ( বৃত্তের ব্যাস
হচ্ছে বৃত্তের বৃহত্তম জ্যা)
4. বৃত্তের কেন্দ্রগামী সকল জ্যা-ই = ব্যাস
5. কেন্দ্র থেকে পরিধি পর্যন্ত দূরত্বকে
বলা
হয় = ব্যাসার্ধ

#বৃত্ত সম্পর্কিত কিছু সূত্র:
1. বৃত্তের ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = πr²
( যেখানে r বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
2. বৃত্তের পরিধির সূত্র = 2πr
3. গোলকের পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল = 4πr²
4. গোলকের আয়তন = 4πr³÷3
===========================
#ত্রিভূজের_ক্ষেত্রফল:-
সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২
ভূমিXউচ্চতা

সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ১/২
সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয়ের গুণফল

সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = a/4√
(4b2-
a2) যেখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু

সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √(3/4)a2
যেখানে, a = যে কোন বাহুর দৈর্ঘ্য

চতুর্ভূজের ক্ষেত্রফল
===========================
আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = দৈর্ঘ্য x প্রস্থ

বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (বাহু)২

সামন্তরিক ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = ভূমি x
উচ্চতা

অন্যান্য সূত্রাবলী

আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = ২ (দৈর্ঘ্য +
প্রস্থ)

বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 x এক বাহুর
পরিমাণ
===========================
সহজভাবে মনে রাখার কিছু সুত্রঃ

১) জোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা ; যেমনঃ ৪ + ৮ = ১২

২) জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা =
বিজোড় সংখ্যা ; যেমনঃ ৪ + ৭ = ১১

৩) বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা =
জোড় সংখ্যা ; যেমনঃ ৫ + ৭ = ১২

৪) জোড় সংখ্যা × জোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা ; যেমনঃ ৮ × ৪ = ৩২

৫) জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা ; যেমনঃ ৮ × ৩ = ২৪

৬) বিজোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা =
বিজোড় সংখ্যা ; যেমনঃ ৫ × ৭ = ৩৫

BODMAS – যে নিয়মটা প্রায়ই ভুলভাবে শেখানো হয় আমাদের
-------------------------------------------------------

পাটীগণিত বা বীজগণিতের সরল অঙ্কে যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ এমন অপারেশনগুলো কোনটার পরে কোনটা করতে হবে (Order of Operation), সেটা প্রায়ই আমাদেরকে শেখানো হয় একটা ছোট্ট স্মরণসূত্র (mnemonic) দিয়ে: BODMAS। সাধারণত এটা শেখানো হয় এভাবে: B=Bracket, O=Of, D=Division, M=Multiply, A=Addition, S=Subtraction। এবং শেখানো হয় আগে ব্রাকেটের কাজ , তারপর ‘Of’, তারপর Division, তারপর Multiplication, এরপর Addition এরপর Subtraction। এখানে বেশকিছু সমস্যা আছে। এক এক করে সমসাগুলো বলি।

-------------------------------------------------------------------
কথা ১: জেনে রাখুন আগে 'ভাগ', পরে 'গুণ' এমন কোনো নিয়ম আসলে নাই
-------------------------------------------------------------------

এটা অনেকেরই বিশ্বাস করতে কষ্ট হবে আমি জানি। সারা জীবনের শিক্ষা কি তবে ভুল হয়ে গেল? হ্যাঁ। BODMAS এর ভেতরে আগে D আছে, তাই Division বা ভাগের কাজ আগে হবে, এটাই সবাইকে শেখানো হয়, যেটা অপ্রয়োজনীয়। আসলে গুণ ও ভাগের অগ্রাধিকার একই। যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকারও একই। তবে গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার যোগ-বিয়োগের থেকে বেশি।

অগ্রাধিকারের ক্রমটা এই রকম:
1) বন্ধনী বা Bracket(B)
2) সূচক বা Order (O) [এটাকে Of শেখানো হয়, সেটা নিয়ে শেষে লিখেছি]
৩) গুণ-ভাগ, Division/Multiplication (D/M)
৪) যোগ-বিয়োগ, (Addition/Subtraction)

দেখুন, ৩ আর ৪ এ কায়দা করে আমি দুটো দুটো করে একসাথে লিখেছি। এই ব্যাপারটা আমিও জানতাম না অনেকদিন। এটা নিয়ে খটকা লাগল যখন দেখলাম আমেরিকাতে BODMAS এর মতো আরও একটা মনে রাখার কৌশল আছে: PEMDAS [Parenthesis, Exponent, Multiplication, Division, Addition, Subtraction ]। PEMDAS এর ভিতরে গুণ (M) আছে ভাগের (D) আগে। তাহলে তো দুই রকম নিয়ম হয়ে গেল। পরে যখন জানলাম গুণ আর ভাগের অগ্রাধিকার একই, তখন বুঝলাম দুটো নিয়ম আসলে একই কথা বলে।

তাহলে যদি এমন একটা অঙ্ক থাকে 2×8÷2÷2 কীভাবে করব? যারা জানেন যে ভাগ আগে করতে হয়, তারা এবারে একটু দ্বিধাগ্রস্ত হয়ে যাবেন কেননা এখানে দুইটা ভাগের অপারেশন আছে। আগে 8÷2 হিসেব করতে হবে, নাকি আগে 2÷2? করে দেখুন, দুইবার দুইরকম ফল পাবেন। তবে মূল নিয়মটা জানলে চিন্তার কিছু নেই। মূল নিয়মটা দুটো-

-------------------------------------------------------------------
১. যে অপারেশনের অগ্রাধিকার বেশি, তাকে আগে হিসেব করতে হবে।
২. যদি একই অগ্রাধিকারের অনেকগুলো অপারেশন থাকে তাহলে ‘বাম থেকে ডানে’ হিসেব করতে হবে
-------------------------------------------------------------------

যেমন এখানে আছে শুধু গুণ আর ভাগ, যাদের অগ্রাধিকার একই। ২ নম্বর নিয়মটা এখানে খাটবে। তাহলে বাম থেকে ডানে হিসেব করে যেতে হবে।
2×8÷2÷2
= 16÷2÷2
= 8÷2
= 4

এটা জানলে কোন ভাগটা আগে করব, তা নিয়ে সন্দেহ থাকবে না। এমনকি এখানে ভাগের আগে গুণ করা হয়েছে সেটাও খেয়াল রাখতে পারেন। আর উত্তর বিশ্বাস না হলে পৃথিবীর যেকোনো ক্যালকুলেটরে পরীক্ষা করে দেখতে পারেন।

আরেকটু চিন্তাশীল মানুষদের জন্য বলতে পারি, গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার যে কারণ নেই সেটা আপনারা অনুভব করতে পারবেন ভাগ কী সেটা বুঝলে। আদতে field theory তে ভাগ বলে কিছু নাই, ভাগকে ভাবা যায় বিপরীতকের গুণ হিসাবে। 8÷2=8×½ । যত জায়গায় ÷2 আছে, সব জায়গায় ×½ বসিয়ে ভাবতে পারেন। আর সব যদি গুণ হয়ে যায়, তখন তো আর আগে-পরের ব্যাপার থাকবে না।

-------------------------------------------------------------------
কথা ২: যোগ আগে, বিয়োগ পরে এমন কোনো কথা নাই
-------------------------------------------------------------------

গুণভাগের কথাটা যোগ আর বিয়োগের জন্যেও সত্যি। একটা অঙ্কের কথা ভাবুন।
13-5+3-2+2
এমন অঙ্ক দেখলে আমি ছোটবেলায় প্রায়ই দ্বিধান্বিত হয়ে যেতাম। যেহেতু আমি জানতাম যোগ আগে, তাই মাঝে 5 আর 3 কিংবা শেষের 2 আর 2 আগে যোগ করে ফেলতাম। পরে অবশ্য স্যারেরা শিখিয়েছিলেন আগে যোগগুলো একসাথে করে নিতে
13-5+3-2+2
= 13+3+2-5-2
= 18-7
= 11

এটাতে ঠিক উত্তর পাওয়া যায়, সন্দেহ নেই। কিন্তু কম্পিউটার যখন হিসেব করে সে কিন্তু এমন সাজিয়ে নেয় না। কারণ পদ্ধতিটা আরও সহজ। যেহেতু যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার একই, আপনি স্রেফ বাম থেকে ডানে হিসেব করে যান।
13-5+3-2+2
= 8+3-2+2
= 11-2+2
= 9+2
= 11

লক্ষ করুন, এখানে শুরুতেই আমি বিয়োগ করে ফেলেছি, তাতে উত্তর ভুল কিছুই আসেনি।
এখানেও চিন্তাশীল মানুষদের জন্য বলতে পারি, যোগ-বিয়োগের অগ্রাধিকার আলাদা হবার কারণ নেই। বিয়োগকে ভাবা যায় ঋণাত্মকের যোগ হিসাবে 13-5=13+(-5) । যত জায়গায় -2 আছে, সব জায়গায় +(-2) বসিয়ে ভাবতে পারেন। 13-5+3-2+2=13+(-5)+3+(-2)+2। সবাই এখন যোগ।

-------------------------------------------------------------------
কথা ৩: যোগ-বিয়োগ আর গুণ-ভাগ দুটোই থাকলে?
-------------------------------------------------------------------

চিন্তা কী? উপরের ১ নম্বর নিয়মটা ভাবুন। যার অগ্রাধিকার বেশ সে আগে। গুণ-ভাগের অগ্রাধিকার বেশি তাই গুণ-ভাগ আগে করবেন। তারপর যোগ-বিয়োগ। বাম থেকে ডানে যাওয়ার নিয়মটা শুধুমাত্র তাদের জন্য সত্যি যেখানে অগ্রাধিকার একই। একটা উদাহরণ দেখা যাক।
12÷2÷3×4-6+5×7

এখানে গুণভাগ-ওয়ালা অংশগুলোকে যেমন (12÷2÷3×4) এবং (5×7) কে আগে আলাদা করে নিন। প্রয়োজনে ব্র্যাকেট দিয়ে নিতে পারেন। সেগুলোর ভিতরে যদি গুণভাগ দুই-ই থাকে তাহলে বাম থেকে ডানে যেতে পারেন।
12÷2÷3×4-6+5×7
= (12÷2÷3×4)-6+(5×7)
= (6÷3×4)-6+35
= (2×4)-6+35
= 8-6+35

খেয়াল করুন গুণ-ভাগের কাজ শেষ হলে, পড়ে থাকবে যোগ-বিয়োগ। যাদের অগ্রাধিকার একই। সুতরাং বাম থেকে ডানে যেতে পারেন।
8-6+35
= 2+35
= 37

এটা জানলে আর খুব একটা দ্বিধায় পড়তে হবে না কাউকে।

-------------------------------------------------------------------
কথা ৪: O তে Of নাকি Order
-------------------------------------------------------------------

সত্যি হলো Of বলে কোনো অপারেশন গণিতের কোনো তত্ত্বে নেই। এই উপমহাদেশীয় গণিতের বইগুলোতে ‘এর’ বলে একটা কথা আছে, যেটা আদতে ‘গুণ’ অপারেশন। যেমন (১২ এর ১/ ৩)=১২ x ১/৩ = ৪। এই ‘এর’ এর ইংরেজি ‘of’ ।

‘10 এর ½’ এটা মানে যে 10 × ½, এমন করে বাচ্চাদের শেখানোর চিন্তাটা আসলে খারাপ না। এর দিয়ে গুণ বোঝানো হয় এটা তারা জানল। একইভাবে ‘10 আর 6’ মানে হলো 10+6, ‘10 থেকে বাদ 6’ এটার মানে হলো 10-6 । তাহলে ‘এর’, ‘আর’, ‘থেকে বাদ’ এগুলো হচ্ছে কথা বলার বা লেখার ভাষা, যেটাকে গণিতে আমরা গুণ, যোগ, বা বিয়োগ অপারেশনগুলো দিয়ে ভাবছি।

আলাদা করে একটা ‘এর’ অপারেশন রাখা অর্থহীন। অনেকে যুক্তি দিতে পারেন ‘এর’ একটা গুণ যেটা সাধারণ গুণের থেকে বেশি ক্ষমতার অধিকারী (অগ্রাধিকার বেশি, আগে হিসেব করতে হবে)। সেটাও ধোপে টিকবে না কারণ আপনি 10 এর ½ না লিখে একটা ব্র্যাকেটসমেত (10× ½ ) লিখলেই সেটা হয়।

আমাদের উপমহাদেশে O তে ‘Of’ যদিও প্রচলিত, বিশ্বের আর সব জায়গায় কিন্তু এমন না। অস্ট্রেলিয়া এবং পশ্চিম আফ্রিকার দেশগুলোতেও BODMAS প্রচলিত। সেখানে তারা O মানে জানে Order বা সূচক। ইংল্যান্ডে এটাকে বলে BIDMAS, সেখানে দ্বিতীয় অক্ষরটা অর্থাৎ ‘I’ এর মানে হলো Indices বা সূচক। কানাডা, নিউজিল্যান্ডে প্রচলিত হলো BEDMAS, যেখানে E এর মানে Exponent বা সূচক, যুক্ররাষ্ট্রে প্রচলিত হলো PEMDAS , সেখানেও E মানে Exponent বা সূচক। অর্থাৎ বাকি সবাই জানে ব্র্যাকেটের পর সূচকের কাজ, অর্থহীন ‘এর’কে কেউই রাখেনি।

আমরা of জানায় সমস্যা যা হয়েছে- O দিয়ে Order-ও বোঝায় সেই ব্যাপারটা অনেকের জানা হয়নি। BODMAS এর এই Order বলছে যে গুণ/ভাগ কিংবা যোগ/বিয়োগের আগে সূচকের কাজ করতে হবে।

যেমন:
2³÷4+3
= 8÷4+3
= 2+3
= 5

-------------------------------------------------------------------
বাম থেকে ডানের ব্যতিক্রম
-------------------------------------------------------------------

উপরে যেহেতু সূচকের ব্যপারটা এসেছে , তাই সে সংক্রান্ত একটা কথা বলে রাখি। আগে বলেছি যে যোগ-বিয়োগ বা গুণ-ভাগের বেলায় একই অগ্রাধিকার-ওয়ালা অপারেশনের ক্ষেত্রে ‘বাম থেকে ডান’ যেতে হবে। এই ব্যাপারটার একটা ছোট্ট ব্যতিক্রম আছে সূচকের ক্ষেত্রে।

যখন পাওয়ারের উপর পাওয়ার থাকে তখন সবার উপরের পাওয়ারটা আগে হিসাব করতে হয়। আমরা যেহেতু পাওয়ারগুলোকে কোনো সংখ্যার উপরে ডানদিকে লিখি তাই এক্ষেত্রে ডান থেকে বাম আসতে হয়। যেমন 2^1^3^2 এটাকে ভাবুন ২ এর মাথায় পাওয়ার ১, সেই ১ এর মাথায় ৩, সেই ৩ এর মাথায় ২। এবারে আগে হিসেব করা হয় 3^2 কে। পুরো হিসেবটা হবে এমন: 2^1^3^2 = 2^1^9 = 2^1 = 2, এখানে বাম থেকে ডানে গেলে চৌষট্টি পেয়ে যাবেন, যেটা ঠিক না।

-------------------------------------------------------------------
6÷2(1+2) = ?
-------------------------------------------------------------------

শেষ করা যাক অনলাইন কাঁপানো একটা বিখ্যাত সমস্যা দিয়ে। 6÷2(1+2) = ?
BODMAS এর নিয়ম জানলে এটা করা খুবই সহজ।
6÷2(1+2)
= 6÷2×(1+2)
= 6÷2×3 [আগে ব্র্যাকেটের কাজ]
= 3 × 3 [গুণ-ভাগ একই অগ্রাধিকার, তাই বাম থেকে ডানে]
= 9

আমি প্রায়ই ইনবক্সে প্রশ্ন পাই- কেন Casio-র দুই মডেলের Scientific Calculator এ 6/2(1+2) এর মান দুই রকম দেখায়।

প্রথমে বলে নিই, 2(1+2) এই 2 আর (1+2) এর মাঝে যে গুণটা আছে, সেটা যদি আমরা স্পষ্ট করে বসিয়ে দিই, তাহলে সব ক্যালকুলেটর একই মান দেয়। 6/2×(1+2) এটা লিখলে সবাই উত্তর দেবে 9। কারও তখন কোনো দ্বিধা থাকে না।

যখন 2 আর (1+2) এর ভিতরে গুণ চিহ্নটা স্পষ্ট করে দেয়া থাকে না, তখন Algorithm এ ঝামেলাটা হয়। এটাকে তখন বলে Implicit multiplication। এটার অগ্রাধিকার সাধারণ গুণ-ভাগ থেকে বেশি হবে, এমন একটা ধারণা প্রচলিত আছে। যেমন 1/2a লিখলে অধিকাংশ মানুষই বোঝে 2 আর a একসাথে আছে, এটা 1/ (2a)। এই প্রচলিত চিন্তাটা কিন্তু BODMAS এর নিয়ম মানে না। BODMAS মতে, 1/2a= (1/2) × a = ½ a ।

Implicit multiplication কে অগ্রাধিকার দিলে উপরের অঙ্কের হিসেবটা দাঁড়ায় এমন: 6÷2(1+2)= 6÷2(3) = 6÷6 = 1। কিন্তু এমন Implicit multiplication এর ক্ষেত্রে অগ্রাধিকার আগে হবে, এমন কোনো নিয়ম কোথাও আসলে নেই। ফলে এটাকে সাধারণ গুণ হিসেবে বিবেচনা করে হিসেব করাই সঙ্গত। তাতে পাবেন, 6÷2(1+2)= 6÷2×3= 3×3=9।

Google, WolframAlpha, Desmos ইত্যাদি নির্ভরযোগ্য সাইটগুলোতে 6/2(1+2) এভাবে লিখে খোঁজ করুন, উত্তর সবসময় 9-ই পাবেন। আর যদি 6/2*(1+2) এমন গুণ-চিহ্ন সমেত লিখে খোঁজ করেন, তাহলে তো কথাই নেই। সব সাইট, সব ক্যালকুলেটর, MATLAB, Python সব Programming Language উত্তর দেবে 9।

তাই 6/2(1+2) এর সঠিক উত্তর 9 , এটাই জেনে রাখুন।

শুভ হোক গণিতযাত্রা। :)

চমক হাসান
২৭ জুন, ২০২০
সান্তা ক্লারিটা

#কলমে_কলরব_অনলাইন_রচনা_লেখনী_প্রতিযোগিতা_২০২১

#ক্যাটাগরি-১ঃ #আমার_চোখে_মায়ের_ভাষা

মনের ভাব প্রকাশের মাধ্যম হচ্ছে ভাষা। ভাষা না থাকলে সুন্দরভাবে মনের কথা অন্যের কাছে বলা সম্ভব ছিল না। মা,মাতৃভূমি ও মাতৃভাষা প্রতিটি মানুষের কাছেই অমূল্য সম্পদ। যেকোনাে সন্তানের কাছে মায়ের ঋণ অপরিশােধযােগ্য। সন্তানকে লালন পালন করতে গিয়ে একজন মা অনেক ত্যাগ স্বীকার করেন। তাই সন্তানের কাছে মা সবসময়ই মঙ্গলময়ী, স্নেহময়ী, মহিমাময়ী। তেমনি মাতৃভাষাও মানুষের অস্তিত্বের এক অপরিহার্য অনুষঙ্গ। মা ছাড়া কোনাে শিশুর জীবন পরিপূর্ণ হয় না। তেমনি মাতৃভাষা ছাড়াও কোনাে জাতির পূর্ণ পরিচয় ফুটে ওঠে না। মাতৃভাষার এই মাধুর্যে গর্বিত হয়ে কবি অতুলপ্রসাদ সেন লিখেছেন,

"মােদের গরব, মােদের আশা
আ-মরি বাংলা ভাষা।
তােমার কোলে, তােমার বলে
কতােই শান্তি ভালােবাসা। "

বিদেশি ভাষা কারাে মন বা প্রাণের মুক্তি দিতে পারে না। মানুষ কথা বলে মায়ের ভাষায়, স্বপ্ন দেখে মায়ের ভাষায়, তাই মাতৃভাষা অদ্বিতীয়। মায়ের অপমান বা অমর্যাদা যেমন কোনাে সন্তান সহ্য করতে পারে না তেমনি মাতৃভাষার অপমানও কোনাে জাতি মেনে নেয় না। তাই ১৯৫২ সালে বাংলাকে রাষ্ট্রভাষা করার দাবিতে প্রাণ দিতেও পিছপা হয়নি এদেশের সাহসী সন্তানেরা। ব্যর্থ হয়নি কবিদের কবিতা, ছাত্রদের ত্যাগ, জনতার আকাঙ্ক্ষা। এরই স্বীকৃতি হিসেবে ২০০০ সাল থেকে ২১ শে ফেব্রুয়ারী পালিত হচ্ছে আন্তর্জাতিক মাতৃভাষা দিবস। এ দিবসের তাৎপর্য উল্লেখ করতে গিয়ে ভাষাবিজ্ঞানী ড. হুমায়ুন আজাদ বলেছেন,

"আমি মুগ্ধ আমি প্রীতি, আমাকে দিয়েছ স্বীকৃতি, আমার প্রাণের কথা আমার ভাষায় জানাতে পারব বলে আমার হৃদয় স্পন্দন বেড়েছে, সত্যিই গর্বিত আমি।"

সত্যিই গর্বিত আমরা বাঙালি জাতি। শহীদরা আমাদের পৌঁছে দিয়েছে বিশ্বের সম্মানজনক স্থানে। তাই আজ বিশ্ব দরবারে সহস্র প্রাণে বেঁজে ওঠে -

"আমার ভাইয়ের রক্তে রাঙানাে একুশে ফেব্রুয়ারি,
আমি কি ভুলিতে পারি?

বাংলার মতাে সমৃদ্ধ ইতিহাস, সংগ্রামী ইতিহাস আর কোন ভাষার রয়েছে? যতই শাসকের রাজভাষা হােক সংস্কৃত, ফারসি, ইংরেজি, উর্দু। ব্রাত্যজনের ভাষা, প্রাকৃতজনের ভাষা মায়ের ভাষা বাংলাকে কি গণমানুষের কবিরা অমর করে রাখেননি? এ ভূখন্ডের মানুষ যুগে যুগে বাংলাভাষা রক্ষার জন্য সংগ্রাম করেছে, মুখের ভাষায়, সাহিত্যে ও লােকসাহিত্যে তাকে অমর করে রেখেছে। মাতৃভাষার প্রতি এত ভালােবাসা আর কাদের রয়েছে? তাই মনিষীদের ভাষায় বলতে চাই -

"মানুষের ভাষা হলো তার আত্মা আর আত্মাই হলো তার ভাষা"।

"এই মাতৃভাষা আমার গর্ব, আমার অহংকার"

"জীবন আছে যতদিন, কথা বলে যাবাে এ ভাষায় ততদিন "

মাতৃভাষার মান উন্নত করার সংকল্প ব্যক্ত করে আগামী দিনে এই অর্জনকে নিয়ে যেতে হবে অনেক দূরে। মায়ের কোলের মতাে নিরাপদ করতে হবে এই বাংলাকে। ছড়াকারের ভাষায় তবেই বলতে পারবাে -

কাটলাে বুঝি আপদ এবার, শঙ্কা শত ভয়।
মায়ের কোলে একুশ এলাে, বিশ্ব করে জয়

নামঃ শামীম মিয়া
বিভাগঃ পরিসংখ্যান
সেশনঃ ২০১৭-১৮

ইভেন্ট লিংকঃ
https://fb.me/e/1SkmzBExe