Eshad Sir

গণিতের সংক্ষিপ্ত ইতিহাস। দীর্ঘ লেখা। ধৈর্য ধরে পড়ার ইচ্ছে নিয়ে শুরু করলে ভালো লাগবে আশা করি।

#যেভাবে_গণিতের_জন্ম

🔰🔰
গণিত ও সংখ্যাকে বলা হয় মহাজগতের ভাষা। গণিত আছে বলেই আমরা জগতের অনেক কিছুর ব্যাখ্যা জানি। গণিতের যথার্থ ব্যবহার ও প্রয়োগের মাধ্যমে আমরা পেয়েছি একটি আধুনিক ও উন্নত সভ্যতা। প্রাগৈতিহাসিক মানুষ গণনা করতে পারত না, হিসাব কষা তো দূরে থাক। তাহলে কালের ঠিক কোন দিগন্ত থেকে আবির্ভাব হলো সংখ্যার ধারণা? কে বা কারা প্রথম পরিচয় করিয়ে দিল গণিতের সঙ্গে, যার স্পর্শে পাল্টে গেল মানব সভ্যতার ইতিহাস?

গল্পের শুরুটা হয়েছিল আনুমানিক ৫৫০০ খ্রিষ্টপূর্বাব্দে। বর্তমান ইরাকের দক্ষিণ অংশ তৎকালীন সময়ে মেসোপটেমিয়া নামে পরিচিত ছিল। মেসোপটেমিয়ার বাসিন্দা ছিল সুমেরীয়রা, যেটাকে আমরা অনেকে প্রাচীন সুমেরীয় সভ্যতা নামে চিনি। তারা ছিল পৃথিবীর প্রথম সংগঠিত ও শহুরে বসবাসকারী মানবসম্প্রদায়। দৈনন্দিন প্রয়োজন ও ক্রয়-বিক্রয়ের চাহিদা থেকে সেখানে গণনা করার রীতি প্রচলিত হয়। যেহেতু তখনো কেউ লিখিত পদ্ধতির প্রচলন শুরু করেনি, তাই তারা একধরনের মাটির তৈরি টোকেন উদ্ভাবন করে (দেখতে কিছুটা পেরেক আকৃতির) এবং প্রতিটি টোকেন দ্বারা একটি অঙ্ক বোঝানো হতো। শহুরে নাগরিকদের কর, রাজস্ব আদায়ের হিসাব-নিকাশ, পণ্যদ্রব্যের হিসাব, পশু গণনা ইত্যাদি কাজে ব্যবহার করা হতো এগুলো। এটাই ছিল গণিতের সূচনা।

✅এভাবে পেরিয়ে যায় প্রায় এক হাজার বছর। সুমেরীয় সভ্যতা ধীরে ধীরে কালের ধ্বংসলীলায় মিলিয়ে যেতে থাকে। নতুন সাম্রাজ্যের বিকাশ ঘটে আর সুমেরীয়দের অর্জিত জ্ঞানের শিখা ছড়িয়ে পরে দূরবর্তী নীলনদের কোল ঘেঁষে যাওয়া আরবের আরেক বিখ্যাত ভূখণ্ডে, যেটি আজকের মিসর। জ্ঞান পিপাসু মিসরীয়রা গণিত ভালোবাসত। প্রাচীন মিসরের শিশুরা বালুতে দাগ কেটে সংখ্যার কাল্পনিক প্রতিকৃতি একে খেলা করত। এই সভ্যতার বিশেষ বৈশিষ্ট্য ছিল সুবিশাল ও মনোমুগ্ধকর অট্টালিকা নির্মাণের পারদর্শিতা। নিখুঁত ও সুন্দর স্থাপত্য নির্মাণের জন্য প্রয়োজন নির্ভুল পরিমাপ। আর নির্ভুল পরিমাপের জন্য প্রয়োজন সংখ্যার সঠিক হিসাব। হিসাব ও পরিমাপকে অপররে কাছে প্রকাশ করার জন্য তারা বিভিন্ন চিত্রলিপি যেমন বস্তু ও প্রাণীর প্রতিমূর্তি ব্যবহার করত, যার কিছু নমুনা মিসরিয়ান হায়ারোগ্লিপে পাওয়া যায়।

✅কাটল আরও কয়েক হাজার বছর। সুদূর গ্রিস থেকে এক বিদ্যানুরাগী মিসরে আসলেন অধ্যয়ন করতে। প্রাচীন গ্রিসের মানুষ তখন গণনা করতে শেখেনি। আরব বিশ্বের চেয়ে তারা কয়েক হাজার বছর পিছিয়ে। বিদ্যানুরাগী সেই ব্যক্তিটি মিসরীয়দের প্রযুক্তি জ্ঞান দেখে অভিভূত হন। গণিতকে তিনি মনে প্রাণে ভালোবাসতে থাকেন এবং নিজ দেশ গ্রিসে ফিরে এসে গণিত শিক্ষার একটি স্কুল প্রতিষ্ঠা করেন। তিনি হলেন পিথাগোরাস। পিথাগোরাস মনে করতেন মহাবিশ্বের সব লুকায়িত সৌন্দর্যের রহস্য হচ্ছে সংখ্যা। তিনি লক্ষ্য করেন দুটি আলাদা বস্তুর ওজন যদি কাছাকাছি কোনো পূর্ণ সংখ্যার অনুপাত হয় (যেমন ১: ২ অনুপাত ওজনের দুটি আলাদা মাটির পাত্র) তাহলে তাদের আঘাত করলে সাদৃশ্যপূর্ণ সুরেলা আওয়াজ উৎপন্ন হয়। সংগীতের এই মাধুর্যপূর্ণ ধ্বনির মিলনের পেছনে আছে সংখ্যার অপূর্ব বিন্যাস। জোড় ও বিজোড় সংখ্যার ধারণাও পিথাগোরাস সর্ব প্রথম বের করেন। এমনকি তিনি সংখ্যার লিঙ্গও নির্ধারণ করে দেন; এক পুরুষ এবং দুই নারী। সংখ্যার ব্যবহার পিথাগোরাস এতটা জনপ্রিয় করে তোলেন যে গ্রিকরা এক–কে তাদের দেবতার প্রতিমূর্তি বানিয়ে পূজা শুরু করে দেয়।
পিথাগোরাসের মৃত্যুর ২০০ বছর পর গ্রিসে জন্ম হয় আর্কিমিডিসের। তাকে প্রাচীন যুগের সেরা গণিতজ্ঞ ও দার্শনিক মনে করা হয়।

সংখ্যা নিয়ে তার এত প্রখর জ্ঞান ছিল যে, তিনিই প্রথম প্রমাণ করেন একটি বৃত্তের ক্ষেত্রফল তার ব্যাসার্ধের বর্গ ও পাইয়ের গুণফলের সমান। এ ছাড়া আধুনিক ইন্টিগ্রাল ক্যালকুলাসে ব্যবহৃত অতিক্ষুদ্র সংখ্যার ধারণা ও অতি বৃহৎ কোনো সংখ্যাকে ছোট আকারে প্রকাশ করার পদ্ধতিও তিনি বের করেন। ৭৫ বছর বয়সে আর্কিমিডিস এক রোমান সৈন্যের হাতে মৃত্যুবরণ করেন। আর্কিমিডিসের মৃত্যুর পরও ক্ষমতালোভী রোমানরা বহু শতাব্দী জুড়ে ইউরোপ, আফ্রিকা ও এশিয়ার একটি বড় অংশ জুড়ে সাম্রাজ্য বিস্তার ঘটায়।
গ্রিকদের উদ্ভাবিত গাণিতিক পন্থাকে রোমানরা পুরোদমে ব্যবহার করে গাণিতিক সফলতাকে আরও একধাপ এগিয়ে নিয়ে যায়। রোমানদের ব্যবহৃত রোমান সংখ্যার প্রচলন আজও আছে।

✅যাই হোক, গণিত বিপ্লবের এত সহস্র বছর পেরিয়ে গেলেও একটি সংখ্যার ব্যবহার মানুষ তখন জানত না, সেটি হলো শূন্য। যদিও প্রাচীন মিসরীয়রা শূন্যকে কেবলমাত্র একটি প্রতীক হিসেবে ব্যবহার করত এবং তারা এটাকে নফর (nfr) নামে ডাকত, যার অর্থ সুন্দর। কিন্তু শূন্য তখনো সংখ্যার মর্যাদা পায়নি। মূলত শূন্য হলো সকল সংখ্যার ভিত্তি ও শূন্যের ব্যবহার ছাড়া বীজ গাণিতিক সমীকরণ লেখা সম্ভব নয়। শূন্যকে সংখ্যা হিসেবে প্রথম ব্যবহার করেন প্রাচীন ভারতীয় গণিতবিদেরা। তারাই শূন্যকে বাকি বিশ্বের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দেন। ভারতীয়রা বহু প্রাচীনকাল থেকে জ্যোতির্বিজ্ঞান ও সংখ্যা বিদ্যায় বেশ পারদর্শী ছিল। পৃথিবী নিজ অক্ষকে কেন্দ্র করে সূর্যের চারপাশে ঘুর্নায়মান এটা তারা নিকোলাস কোপার্নিকাসের জন্মের প্রায় এক হাজার বছর আগে তত্ত্ব প্রদান করেন। সর্ব প্রথম পৃথিবীর ব্যাস নির্ণয় করেন ভারতীয়রা, যেটা এতটাই সূক্ষ্ম ছিল যে আজকের হিসাবের সঙ্গে শতকরা ৯৯ ভাগেরও বেশি মিলে যায়। আর এগুলো সবই সম্ভব হয়েছিল সংখ্যার নির্ভুল গণনার মাধ্যমে।

✅আনুমানিক ৭৭৩ খ্রিষ্টাব্দে একজন ভারতীয় বার্তাবাহকের ইরাকে আগমনের মধ্য দিয়ে আরবের মানুষ শূন্যের সঙ্গে পরিচিতি লাভ করে। রাজধানী বাগদাদ ছিল সেসময় মনীষীদের জ্ঞানচর্চার প্রধান কেন্দ্র। দূর-দুরান্ত এমনকি চীন ও ভারত উপমহাদেশ থেকে প্রচুর ব্যবসায়ী ও বিজ্ঞানী বাগদাদে পাড়ি জমান। তাদের মধ্যে একজন ছিলেন আল খোয়ারিজমি, যার জন্মস্থান নিয়ে ইতিহাসবিদদের মধ্যে মতভেদ আছে। আল খোয়ারিজমিকে আধুনিক বীজগণিতের জনক বলা হয়। তিনি সর্ব প্রথম গুন ও ভাগ করার জন্য সহজ প্রক্রিয়া উদ্ভাবন করেন যেটাকে আমরা অ্যালগরিদম বলি। আর সেই অ্যালগরিদম ব্যবহার করে আজকের কম্পিউটার তার যাবতীয় জটিল গাণিতিক সমস্যার সমাধান করে। এক কথায় আমাদের আজকের আধুনিক ডিজিটাল দুনিয়া পরিচালিত হচ্ছে অ্যালগরিদমিক ফর্মুলাকে কাজে লাগিয়ে।
সেই সময় আরবের বণিকেরা আশপাশের অঞ্চলে ব্যবসা-বাণিজ্যের জন্য প্রচুর যাতায়াত করতেন। আরবিয় বণিকদের কাছ থেকে শূন্যের ব্যবহার সম্পর্কে অবগত হন তৎকালীন উত্তর আফ্রিকার বণিকেরা। আর তারাও ভারতীয়দের আবিষ্কৃত সংখ্যা পদ্ধতিকে নিজেদের মধ্যে বেশ জনপ্রিয় করে তোলেন।

✅১১০০ সালের শেষের দিকে সালে উত্তর আফ্রিকার দেশ আলজেরিয়াতে বেড়ে ওঠা এক তরুণ গণিতবিদের প্রচেষ্টায় শূন্যের ব্যবহার ছড়িয়ে পরে ইউরোপে। সেই তরুণের নাম ফিবোনাচ্চি (Fibonacci)। গণিতের জন্য পৃথিবীতে যে কজন পূর্ণ অবদান রেখে গেছেন তিনি ছিলেন তাদের মধ্যে অন্যতম। ফিবোনাচ্চি জন্মসূত্রে ইতালির নাগরিক হলেও বাবার সঙ্গে ব্যবসার সুবাদে এসেছিলেন আলজেরিয়াতে। তিনি ১২০০ সালে নিজ দেশ ইতালিতে ফিরে প্রকাশ করেন লিবার আবাচি (Liber Abaci), ইংরেজি নাম The Book of Calculation, যেখানে তিনি সর্ব প্রথম আল খোয়ারিজমির উদ্ভাবিত বীজগাণিতিক ধারণাকে ইউরোপিয়ানদের সঙ্গে পরিচয় করিয়ে দেন।

✅এরপর থেকে মানবসভ্যতাকে আর পেছনে ফিরে তাকাতে হয়নি। আধুনিক গণিত ও প্রযুক্তি চর্চার মাত্রা ধীরে ধীরে উন্নত হতে থাকে। সপ্তদশ শতকে গটফ্রিড ভিলহেল্ম নামের একজন জার্মান গণিতবিদ বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি উদ্ভাবন করেন যাতে সকল সংখ্যাকে কেবলমাত্র ০ ও ১ দিয়ে প্রকাশ করা হয়। এই সংখ্যা পদ্ধতির ভিত্তি দুই। ডিজিটাল ইলেকট্রনিক যন্ত্রপাতির লজিক গেটে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতির ব্যাপক প্রয়োগ রয়েছে। আধুনিক কম্পিউটারে বাইনারি সংখ্যা পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়। বাইনারি পদ্ধতিতে প্রতিটি অঙ্ককে বিট বলা হয়। এ রকম ৮টি বিট মিলে গঠিত হয় এক বাইট। ১০০০ বাইটে এক কিলোবাইট। কিলোবাইট থেকে মেগাবাইট, মেগাবাইট থেকে গিগাবাইট ইত্যাদি। আজকের পৃথিবীর প্রতিটি ডিজিটাল যন্ত্রের মেমরিই বিট আকারে জমা থাকে। এভাবেই সংখ্যার জাদুকরী স্পর্শে আমরা পাল্টাতে পেরেছি আমাদের জীবনব্যবস্থা। সুদূর অতীতে কোনো এক আদি পিতামহের ক্ষুদ্র প্রয়াসই আমাদের এই আজকের নবীন সভ্যতার সার্থক জনক।

Graphical Representation of some parent function

√ Root এর কেরামতি🙃

https://drive.google.com/drive/folders/1tx1gymxce_FdL-hsyqHVZudDqVGtxFwK?fbclid=IwAR3aa73xnW5L2WEmZ6Wfazuu01T5FF5X__WBC_8RNIBTZcuszao2Lm0xIHs

HSC Syllabus - Google Drive

ঈদ মুবারক সকলকে

1.🤩 (a+b)²= a²+2ab+b²
2.🥰 (a+b)²= (a-b)²+4ab
3.😍 (a-b)²= a²-2ab+b²
4.🥰 (a-b)²= (a+b)²-4ab
5.😍 a² + b²= (a+b)²-2ab.
6.🥰 a² + b²= (a-b)²+2ab.
7.🤩 a²-b²= (a +b)(a -b)
8.🥰 2(a²+b²)= (a+b)²+(a-b)²
9.😍 4ab = (a+b)²-(a-b)²
10.🤩 ab = {(a+b)/2}²-{(a-b)/2}²
11.🥰 (a+b+c)² = a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
12.🤩 (a+b)³ = a³+3a²b+3ab²+b³
13.🥰 (a+b)³ = a³+b³+3ab(a+b)
14.😍 a-b)³= a³-3a²b+3ab²-b³
15.🥰 (a-b)³= a³-b³-3ab(a-b)
16.😍 a³+b³= (a+b) (a²-ab+b²)
17.🤩 a³+b³= (a+b)³-3ab(a+b)
18.🥰 a³-b³ = (a-b) (a²+ab+b²)
19.😍 a³-b³ = (a-b)³+3ab(a-b)
20. (a² + b² + c²) = (a + b + c)² – 2(ab + bc + ca)
21.🤩 2 (ab + bc + ca) = (a + b + c)² – (a² + b² + c²)
22.🥰 (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3 (a + b) (b + c) (c + a)
23.😍 a³ + b³ + c³ – 3abc =(a+b+c)(a² + b²+ c²–ab–bc– ca)
24.😍 a3 + b3 + c3 – 3abc =½ (a+b+c) { (a–b)²+(b–c)²+(c–a)²}
25.🤩(x + a) (x + b) = x² + (a + b) x + ab
26.🥰 (x + a) (x – b) = x² + (a – b) x – ab
27.😍 (x – a) (x + b) = x² + (b – a) x – ab
28.🥰 (x – a) (x – b) = x² – (a + b) x + ab
29.🤩 (x+p) (x+q) (x+r) = x³ + (p+q+r) x² + (pq+qr+rp) x +pqr
30.😍 bc (b-c) + ca (c- a) + ab (a - b) = - (b - c) (c- a) (a - b)
31.🥰 a² (b- c) + b² (c- a) + c² (a - b) = -(b-c) (c-a) (a - b)
32.🥰 a (b² - c²) + b (c² - a²) + c (a² - b²) = (b - c) (c- a) (a - b)
33.🤩 a³ (b - c) + b³ (c-a) +c³ (a -b) =- (b-c) (c-a) (a - b)(a + b + c)
34.😍 b²-c² (b²-c²) + c²a²(c²-a²)+a²b²(a²-b²)=-(b-c) (c-a) (a-b) (b+c) (c+a) (a+b)
35.🥰 (ab + bc+ca) (a+b+c) - abc = (a + b)(b + c) (c+a)
36.😶 (b + c)(c + a)(a + b) + abc = (a + b +c) (ab + bc + ca)
❤️🥰আয়তক্ষেত্র😍🥰
1.আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (দৈর্ঘ্য × প্রস্থ) বর্গ একক
2.আয়তক্ষেত্রের পরিসীমা = 2 (দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)একক
3.আয়তক্ষেত্রের কর্ণ = √(দৈর্ঘ্য²+প্রস্থ²)একক
4.আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য= ক্ষেত্রফল÷প্রস্ত একক
5.আয়তক্ষেত্রের প্রস্ত= ক্ষেত্রফল÷দৈর্ঘ্য একক
🤩❣️বর্গক্ষেত্র😍🥰
1.বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = (যে কোন একটি বাহুর দৈর্ঘ্য)² বর্গ একক
2.বর্গক্ষেত্রের পরিসীমা = 4 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক
3.বর্গক্ষেত্রের কর্ণ=√2 × এক বাহুর দৈর্ঘ্য একক
4.বর্গক্ষেত্রের বাহু=√ক্ষেত্রফল বা পরিসীমা÷4 একক
🥰🤩ত্রিভূজ🥰😍
1.সমবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = √¾×(বাহু)²
2.সমবাহু ত্রিভূজের উচ্চতা = √3/2×(বাহু)
3.বিষমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = √s(s-a) (s-b) (s-c)
এখানে a, b, c ত্রিভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য, s=অর্ধপরিসীমা
★পরিসীমা 2s=(a+b+c)
4সাধারণ ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ½
(ভূমি×উচ্চতা) বর্গ একক
5.সমকোণী ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = ½(a×b)
এখানে ত্রিভুজের সমকোণ সংলগ্ন বাহুদ্বয় a এবং b.
6.সমদ্বিবাহু ত্রিভূজের ক্ষেত্রফল = 2√4b²-a²/4 এখানে, a= ভূমি; b= অপর বাহু।
7.ত্রিভুজের উচ্চতা = 2(ক্ষেত্রফল/ভূমি)
8.সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ =√ লম্ব²+ভূমি²
9.লম্ব =√অতিভূজ²-ভূমি²
10.ভূমি = √অতিভূজ²-লম্ব²
11.সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা = √b² - a²/4
এখানে a= ভূমি; b= সমান দুই বাহুর দৈর্ঘ্য।
12.★ত্রিভুজের পরিসীমা=তিন বাহুর সমষ্টি
🤩🥰🥰রম্বস😍
1.রম্বসের ক্ষেত্রফল = ½× (কর্ণদুইটির গুণফল)
2.রম্বসের পরিসীমা = 4× এক বাহুর দৈর্ঘ্য
❣️❤️সামান্তরিক😍
1.সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল = ভূমি × উচ্চতা =
2.সামান্তরিকের পরিসীমা = 2×(সন্নিহিত বাহুদ্বয়ের সমষ্টি)
❣️❤️ট্রাপিজিয়াম🧡
1. ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল =½×(সমান্তরাল বাহু দুইটির যােগফল)×উচ্চতা
❣️🤩ঘনক😍
1.ঘনকের ঘনফল = (যেকোন বাহু)³ ঘন একক
2.ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 6× বাহু² বর্গ একক
3.ঘনকের কর্ণ = √3×বাহু একক
🥰🥰আয়তঘনক😍
1.আয়তঘনকের ঘনফল = (দৈৰ্ঘা×প্রস্ত×উচ্চতা) ঘন একক
2.আয়তঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(ab + bc + ca) বর্গ একক
[ যেখানে a = দৈর্ঘ্য b = প্রস্ত c = উচ্চতা ]
3.আয়তঘনকের কর্ণ = √a²+b²+c² একক
4. চারি দেওয়ালের ক্ষেত্রফল = 2(দৈর্ঘ্য + প্রস্থ)×উচ্চতা
😍🥰বৃত্ত🥰
1.বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr²=22/7r² {এখানে π=ধ্রুবক 22/7, বৃত্তের ব্যাসার্ধ= r}
2. বৃত্তের পরিধি = 2πr
3. গোলকের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল = 4πr² বর্গ একক
4. গোলকের আয়তন = 4πr³÷3 ঘন একক
5. h উচ্চতায় তলচ্চেদে উৎপন্ন বৃত্তের ব্যাসার্ধ = √r²-h² একক
6.বৃত্তচাপের দৈর্ঘ্য s=πrθ/180° ,
এখানে θ =কোণ
🤩সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার / বেলন😍
সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডারের ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,
1.সিলিন্ডারের আয়তন = πr²h
2.সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল (সিএসএ) = 2πrh।
3.সিলিন্ডারের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল (টিএসএ) = 2πr (h + r)
🥰সমবৃত্তভূমিক কোণক😍
সমবৃত্তভূমিক ভূমির ব্যাসার্ধ r এবং উচ্চতা h আর হেলানো তলের উচ্চতা l হলে,
1.কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফল= πrl বর্গ একক
2.কোণকের সমতলের ক্ষেত্রফল= πr(r+l) বর্গ একক
3.কোণকের আয়তন= ⅓πr²h ঘন একক
🥰✮বহুভুজের কর্ণের সংখ্যা= n(n-3)/2
✮বহুভুজের কোণগুলির সমষ্টি=(2n-4)সমকোণ
এখানে n=বাহুর সংখ্যা
★চতুর্ভুজের পরিসীমা=চার বাহুর সমষ্টি
🥰🤩ত্রিকোণমিতির সূত্রাবলীঃ😍🥰
1. sinθ=लম্ব/অতিভূজ
2. cosθ=ভূমি/অতিভূজ
3. taneθ=लম্ব/ভূমি
4. cotθ=ভূমি/লম্ব
5. secθ=অতিভূজ/ভূমি
6. cosecθ=অতিভূজ/লম্ব
7. sinθ=1/cosecθ, cosecθ=1/sinθ
8. cosθ=1/secθ, secθ=1/cosθ
9. tanθ=1/cotθ, cotθ=1/tanθ
10. sin²θ + cos²θ= 1
11. sin²θ = 1 - cos²θ
12. cos²θ = 1- sin²θ
13. sec²θ - tan²θ = 1
14. sec²θ = 1+ tan²θ
15. tan²θ = sec²θ - 1
16, cosec²θ - cot²θ = 1
17. cosec²θ = cot²θ + 1
18. cot²θ = cosec²θ - 1
🤩🥰 বিয়ােগের সূত্রাবলি😍
1. বিয়ােজন-বিয়োজ্য =বিয়োগফল।
2.বিয়ােজন=বিয়ােগফ + বিয়ােজ্য
3.বিয়ােজ্য=বিয়ােজন-বিয়ােগফল
🥰🤩 গুণের সূত্রাবলি😍
1.গুণফল =গুণ্য × গুণক
2.গুণক = গুণফল ÷ গুণ্য
3.গুণ্য= গুণফল ÷ গুণক
😍🤩 ভাগের সূত্রাবলি🥰
নিঃশেষে বিভাজ্য না হলে।
1.ভাজ্য= ভাজক × ভাগফল + ভাগশেষ।
2.ভাজ্য= (ভাজ্য— ভাগশেষ) ÷ ভাগফল।
3.ভাগফল = (ভাজ্য — ভাগশেষ)÷ ভাজক।
*নিঃশেষে বিভাজ্য হলে।
4.ভাজক= ভাজ্য÷ ভাগফল।
5.ভাগফল = ভাজ্য ÷ ভাজক।
6.ভাজ্য = ভাজক × ভাগফল।
🤩😍ভগ্নাংশের ল.সা.গু ও গ.সা.গু সূত্রাবলী 🥰
1.ভগ্নাংশের গ.সা.গু = লবগুলাের গ.সা.গু / হরগুলাের ল.সা.গু
2.ভগ্নাংশের ল.সা.গু =লবগুলাের ল.সা.গু /হরগুলার গ.সা.গু
3.ভগ্নাংশদ্বয়ের গুণফল = ভগ্নাংশদ্বয়ের ল.সা.গু × ভগ্নাংশদ্বয়ের গ.সা.গু.
🤩গড় নির্ণয় 🥰
1.গড় = রাশি সমষ্টি /রাশি সংখ্যা
2.রাশির সমষ্টি = গড় ×রাশির সংখ্যা
3.রাশির সংখ্যা = রাশির সমষ্টি ÷ গড়
4.আয়ের গড় = মােট আয়ের পরিমাণ / মােট লােকের সংখ্যা
5.সংখ্যার গড় = সংখ্যাগুলাের যােগফল /সংখ্যার পরিমান বা সংখ্যা
6.ক্রমিক ধারার গড় =শেষ পদ +১ম পদ /2
❣️🤩সুদকষার পরিমান নির্নয়ের সূত্রাবলী🥰
1. সুদ = (সুদের হার×আসল×সময়) ÷১০০
2. সময় = (100× সুদ)÷ (আসল×সুদের হার)
3. সুদের হার = (100×সুদ)÷(আসল×সময়)
4. আসল = (100×সুদ)÷(সময়×সুদের হার)
5. আসল = {100×(সুদ-মূল)}÷(100+সুদের হার×সময় )
6. সুদাসল = আসল + সুদ
7. সুদাসল = আসল ×(1+ সুদের হার)× সময় |[চক্রবৃদ্ধি সুদের ক্ষেত্রে]।
🤩🤩লাভ-ক্ষতির এবং ক্রয়-বিক্রয়ের সূত্রাবলী😍🥰
1. লাভ = বিক্রয়মূল্য-ক্রয়মূল্য
2.ক্ষতি = ক্রয়মূল্য-বিক্রয়মূল্য
3.ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য-লাভ
অথবা
ক্রয়মূল্য = বিক্রয়মূল্য + ক্ষতি
4.বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য + লাভ
অথবা
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্য-ক্ষতি
🤩🤩1-100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যামনে রাখার সহজ উপায়ঃ🥰😍
শর্টকাট :- 44 -22 -322-321
★1থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=25টি
★1থেকে10পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=4টি 2,3,5,7
★11থেকে20পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=4টি 11,13,17,19
★21থেকে30পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 23,29
★31থেকে40পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 31,37
★41থেকে50পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=3টি 41,43,47
★51থেকে 60পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 53,59
★61থেকে70পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 61,67
★71থেকে80 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=3টি 71,73,79
★81থেকে 90পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=2টি 83,89
★91থেকে100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা=1টি 97
🥰1-100 পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যা 25 টিঃ
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97
🤩1-100পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার যোগফল
1060।
❣️1.কোন কিছুর
গতিবেগ= অতিক্রান্ত দূরত্ব/সময়
2.অতিক্রান্ত দূরত্ব = গতিবেগ×সময়
3.সময়= মোট দূরত্ব/বেগ
4.স্রোতের অনুকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতিবেগ + স্রোতের গতিবেগ।
5.স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার কার্যকরী গতিবেগ = নৌকার প্রকৃত গতিবেগ - স্রোতের গতিবেগ
😍সরল সুদ🥰
যদি আসল=P, সময়=T, সুদের হার=R, সুদ-আসল=A হয়, তাহলে
1.সুদের পরিমাণ= PRT/100
2.আসল= 100×সুদ-আসল(A)/100+TR
🤩🤩নৌকার গতি স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় 10 কি.মি. এবং স্রোতের প্রতিকূলে 2 কি.মি.। স্রোতের বেগ কত?
★টেকনিক-
স্রোতের বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ - স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ) /2
= (10 - 2)/2=
= 4 কি.মি.
❣️একটি নৌকা স্রোতের অনুকূলে ঘন্টায় 8 কি.মি.এবং স্রোতের প্রতিকূলে ঘন্টায় 4 কি.মি.
যায়। নৌকার বেগ কত?
★ টেকনিক-
নৌকার বেগ = (স্রোতের অনুকূলে নৌকার বেগ+স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ)/2
= (8 + 4)/2
=6 কি.মি.
🤩নৌকা ও স্রোতের বেগ ঘন্টায় যথাক্রমে 10 কি.মি. ও 5 কি.মি.। নদীপথে 45 কি.মি. পথ একবার গিয়ে ফিরে আসতে কত সময় লাগবে?
টেকনিক-
★মােট সময় = [(মােট দূরত্ব/ অনুকূলে বেগ) + (মােট দূরত্ব/প্রতিকূলে বেগ)]
উত্তর:স্রোতের অনুকূলে নৌকারবেগ = (10+5) = 15 কি.মি.
স্রোতের প্রতিকূলে নৌকার বেগ = (10-5) = 5কি.মি.
[(45/15) +(45/5)]
= 3+9
=12 ঘন্টা
🤩★সমান্তর ধারার ক্রমিক সংখ্যার যোগফল-
(যখন সংখ্যাটি1 থেকে শুরু)1+2+3+4+......+n হলে এরূপ ধারার সমষ্টি= [n(n+1)/2]
n=শেষ সংখ্যা বা পদ সংখ্যা s=যোগফল
🥰 প্রশ্নঃ 1+2+3+....+100 =?
😍 সমাধানঃ[n(n+1)/2]
= [100(100+1)/2]
= 5050
🧡★সমান্তর ধারার বর্গ যোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে,-
প্রথম n পদের বর্গের সমষ্টি
S= [n(n+1)2n+1)/6]
(যখন 1² + 2²+ 3² + 4²........ +n²)
🧡প্রশ্নঃ(1² + 3²+ 5² + ....... +31²) সমান কত?
🤍সমাধানঃ S=[n(n+1)2n+1)/6]
= [31(31+1)2×31+1)/6]
=31
🥰★সমান্তর ধারার ঘনযোগ পদ্ধতির ক্ষেত্রে-
প্রথম n পদের ঘনের সমষ্টি S= [n(n+1)/2]2
(যখন 1³+2³+3³+.............+n³)
😍প্রশ্নঃ1³+2³+3³+4³+…………+10³=?
🤩সমাধানঃ [n(n+1)/2]2
= [10(10+1)/2]2
= 3025
🤩★পদ সংখ্যা ও পদ সংখ্যার সমষ্টি নির্নয়ের ক্ষেত্রেঃ
পদ সংখ্যা N= [(শেষ পদ – প্রথম পদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি] +1
😶প্রশ্নঃ5+10+15+…………+50=?
🥰সমাধানঃ পদসংখ্যা = [(শেষ পদ – প্রথমপদ)/প্রতি পদে বৃদ্ধি]+1
= [(50 – 5)/5] + 1
=10
সুতরাং পদ সংখ্যার সমষ্টি
= [(5 + 50)/2] ×10
= 275
😶★ n তম পদ=a + (n-1)d
এখানে, n =পদসংখ্যা, a = 1ম পদ, d= সাধারণ অন্তর
😶প্রশ্নঃ 5+8+11+14+.......ধারাটির কোন পদ 302?
🤩 সমাধানঃ ধরি, n তম পদ =302
বা, a + (n-1)d=302
বা, 5+(n-1)3 =302
বা, 3n=300
বা, n=100
😍★6)সমান্তর ধারার ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার যোগফল-S=M² এখানে,M=মধ্যেমা=(1ম সংখ্যা+শেষ সংখ্যা)/2
🙄প্রশ্নঃ1+3+5+.......+19=কত?
😍 সমাধানঃ S=M²
={(1+19)/2}²
=(20/2)²
=100
🥰🥰 বর্গ😍
(1)²=1,(11)²=121,(111)²=12321,(1111)²=1234321,(11111)²=123454321
🥰নিয়ম-যতগুলো 1 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে 1 থেকে শুরু করে পর পর সেই সংখ্যা পর্যন্ত লিখতে হবে এবং তারপর সেই সংখ্যার পর থেকে অধঃক্রমে পরপর সংখ্যাগুলো লিখে 1 সংখ্যায় শেষ করতে হবে।
🥰(3)²=9,(33)²=1089,(333)²=110889,(3333)²=11108889,(33333)²=1111088889
🤍যতগুলি 3 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 9 এবং 9 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 3 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 8, তার পর বাঁদিকে একটি 0 এবং বাঁদিকে 8 এর সমসংখ্যক 1 বসবে।
🧡(6)²=36,(66)²=4356,(666)²=443556,(6666)²=44435556,(66666)²=4444355556
🧡যতগুলি 6 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 6 এবং 6 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 6 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 5, তার পর বাঁদিকে একটি 3 এবং বাঁদিকে 5 এর সমসংখ্যক 4 বসবে।
❤️(9)²=81,(99)²=9801,(999)²=998001,(9999)²=99980001,(99999)²=9999800001
😍😍যতগুলি 9 পাশাপাশি নিয়ে বর্গ করা হবে, বর্গ ফলে এককের ঘরে 1 এবং 1 এর বাঁদিকে তার চেয়ে (যতগুলো 9 থাকবে) একটি কম সংখ্যক 0, তার পর বাঁদিকে একটি 8 এবং বাঁদিকে 0 এর সমসংখ্যক 9 বসবে।
🥰🥰🥰জনক≠Father
1)Numerology (সংখ্যাতত্ত্ব)- Pythagoras(পিথাগোরাস)
2) Geometry(জ্যামিতি)- Euclid(ইউক্লিড)
3) Calculus(ক্যালকুলাস)- Newton(নিউটন)
4) Matrix(ম্যাট্রিক্স) - Arthur Cayley(অর্থার ক্যালে)
5)Trigonometry(ত্রিকোণমিতি)Hipparchus(হিপ্পারচাস)
6) Arithmetic(পাটিগণিত) Brahmagupta(ব্রহ্মগুপ্ত)
7) Algebra(বীজগণিত)- Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi(মােহাম্মদ মুসা আল খারিজমী)
🥰🥰🥰 Logarithm(লগারিদম)- John Napier(জন নেপিয়ার)
9) Set theory(সেট তত্ত্ব)- George Cantor(জর্জ ক্যান্টর)
10) Zero(শূন্য)- Brahmagupta(ব্রহ্মগুপ্ত)
🤩🤩🤩অঙ্কের ইংরেজি শব্দ
পাটিগণিত ও পরিমিতি
অঙ্ক-Digit, অনুপাত-Ratio, মৌলিক সংখ্যা—Prime number, পূর্ণবর্গ-Perfect square,উৎপাদক-Factor,ক্রমিক সমানুপাতী—Continued proportion, ক্রয়মূল্য -Cost price, ক্ষতি-Loss, গড়-Average, গতিবেগ-Velocity, গুণফল-Product, গ,সা,গু-Highest Common Factor, ঘাত-Power, ঘনমূল—Cube root, ঘনক-Cube, ঘনফল-Volume, পূর্নসংখ্যা-Integer, চাপ-Arc, চোঙ-Cylinder, জ্যা-Chord, জোড় সংখ্যা-Even number, ধ্রুবক-Constant, পরিসীমা-Perimeter, বাস্তব-Real, বর্গমূল-Square root, ব্যস্ত অনুপাত—Inverse ratio, বিজোড়সংখ্যা—Odd number, বিক্রয়মূল্য -Selling price, বীজগণিত—Algebra, মূলদ Rational, মধ্য সমানুপাতী -Mean proportional, যােগফল=Sum
ল,সা,গু-Lowest Common Multiple, লব-Numerator, শতকরা-Percentage, সমানুপাত-Proportion, সমানুপাতী-Proportional, সুদ-Interest, হর-Denominator,
🥰জ্যামিতি
অতিভূজ—Hypotenuse, অন্তঃকোণ-Internal angle, অর্ধবৃত্ত-Semi-circle, অন্ত ব্যাসার্ধ-In-radius, আয়তক্ষেত্র-Rectangle, উচ্চতা-Height, কর্ণ–Diagonal, কোণ-Angle, কেন্দ্র-Centre, গােলক-Sphere, চতুর্ভুজ-Quadrilateral, চোঙ-Cylinder,জ্যামিতি-Geometry,দৈর্ঘ্য-Length, পঞ্চভূজ -Pentagon, প্রস্থ-Breadth
পূরককোন-Complementary angles, বাহু-Side, বৃত্ত-Circle, ব্যাসার্ধ-Radius, ব্যাস-Diameter, বহুভূজ-Polygon, বর্গক্ষেত্র—Square, বহি:স্থ External, শঙ্কু-Cone, সমকোণ-Right angle, সমবাহু ত্রিভূজ-Equilateral triangle, অসমবাহু ত্রিভূজ—Scalene triangle, সমদ্বিবাহু ত্রিভূজ-isosceles Triangle,সমকোণী ত্রিভুজ Right angled triangle, সূক্ষ্মকোণী-Acute angled triangle, স্থূলকোণী ত্রিভুজ Obtuse angled triangle, সমান্তরাল—Parallel, সরলরেখা—Straight line, সম্পূরক কোণ—Supplementary angles, সদৃশকোণী-Equiangular
🤩রোমান সংখ্যা≠ Roman numerals )
1:I
2: II
3: III
4: IV
5: V
6: VI
7: VII
8: VIII
9: IX
10: X
11: XI
12: XII
13: XIII
14: XIV
15: XV
16: XVI
17: XVII
18: XVIII
19: XIX
20: XX,30: # # #,40: XL,50: L,60: LX,70: LXX,80: L # # #
,90: XC,100: C,200: CC,300: CCC,400: CD,500: D,600: DC
, 700: DCC,800: DCCC,900: CM,1000:M
🥰🥰1. জোড় সংখ্যা + জোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা।
যেমনঃ 2 + 6 = 8.
❤️2. জোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা =
বিজোড় সংখ্যা।
যেমনঃ 6 + 7 = 13.
😍3. বিজোড় সংখ্যা + বিজোড় সংখ্যা =
জোড় সংখ্যা।
যেমনঃ 3 + 5 = 8.
😊4. জোড় সংখ্যা × জোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা।
যেমনঃ 6 × 8 = 48.
🙃5.জোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা = জোড়
সংখ্যা।
যেমনঃ 6 × 7 = 42
😊6.বিজোড় সংখ্যা × বিজোড় সংখ্যা =
বিজোড় সংখ্যা।
যেমনঃ 3 × 9 = 27
🤩🤩ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে ভাগ করার একটি effective টেকনিক!
🤩 ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 5 দিয়ে ভাগ করার একটি effective টেকনিক
1.🥰 13/5= 2.6 (ক্যালকুলেটর ছাড়া মাত্র ৩ সেকেন্ডে এটি সমাধান করা যায়)
🥰★টেকনিকঃ
5 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 2 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 1 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ!!! 13*2=26, তারপর থেকে 1 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 2.6 ।
2.😍 213/5=42.6 (213*2=426)
0.03/5= 0.006 (0.03*2=0.06 যার একঘর আগে দশমিক বসালে হয় 0.006) 333,333,333/5= 66,666,666.6 (এই গুলা করতে আবার ক্যালকুলেটর লাগে না কি!)
3.🥰 12,121,212/5= 2,424,242.4
এবার নিজে ইচ্ছেমত 5 দিয়ে যে কোন সংখ্যাকে ভাগ করে দেখুন
🤩 ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 25 দিয়ে ভাগ করার একটি effective টেকনিক
1.🥰 13/25=0.52 (ক্যালকুলেটর ছাড়া এটিও সমাধান করা যায়)
😍★টেকনিকঃ
25 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 4 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 2 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। 13*4=52, তারপর থেকে 2 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 0.52 ।
02.🥰 210/25 = 8.40
03.😍 0.03/25 = 0.0012
04.😍 222,222/25 = 8,888.88
05😍. 13,121,312/25 = 524,852.48
🥰🥰 ক্যালকুলেটর ছাড়া যে কোন সংখ্যাকে 125 দিয়ে ভাগ করার একটি effective টেকনিক
01.🥰 7/125 = 0.056
😍★টেকনিকঃ
125 দিয়ে যে সংখ্যাকে ভাগ করবেন তাকে 8 দিয়ে গুণ করুন তারপর ডানদিক থেকে 3 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিন। কাজ শেষ! 7*8=56, তারপর থেকে 3 ঘর আগে দশমিক বসিয়ে দিলে 0.056 ।
02.🤩111/125 = 0.888
03.🥰600/125 = 4.800
🤩🤩🤩আসুন সহজে করি
টপিকঃ 10 সেকেন্ডে বর্গমূল নির্ণয়।
বিঃদ্রঃ যে সংখ্যাগুলোর বর্গমূল 1 থেকে 99 এর মধ্যে এই পদ্ধতিতে তাদের বের করা যাবে খুব সহজেই। প্রশ্নে অবশ্যই পূর্ণবর্গ সংখ্যা থাকা লাগবে। অর্থাৎ উত্তর যদি দশমিক ভগ্নাংশ আসে তবে এই পদ্বতি কাজে আসবেনা।
অবশ্যই মনোযোগ দিয়ে পড়তে হবে এবং প্র্যাকটিস করতে হবে। নয়ত ভুলে যাবেন।
তবে আসুন শুরু করা যাক। শুরুতে 1 থেকে 9 পর্যন্ত সংখ্যার বর্গ মুখস্থ করে নিই। আশা করি এগুলো সবাই জানেন। সুবিধার জন্যে আমি নিচে লিখে দিচ্ছি-
1 square = 1, 2 square = 4
3 square = 9, 4 square = 16
5 square = 25, 6 square = 36
7 square = 49, 8 square = 64
9 square = 81
এখানে প্রত্যেকটা বর্গ সংখ্যার দিকে খেয়াল করলে দেখবেন, সবার শেষের অংকটির ক্ষেত্রে -
★1 আর 9 এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে (1, 81)
★2 আর 8 এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে(4, 64)
★3 আর 7 এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে (9, 49);
★4 আর 6 এর বর্গের শেষ অংক মিল আছে(16, 36);
এবং 5 একা frown emoticon
এদ্দুর পর্যন্ত বুঝতে যদি কোন সমস্যা থাকে তবে আবার পড়ে নিন।
😍উদাহরণ:- 576 এর বর্গমূল নির্ণয় করুন।
🥰প্রথম ধাপঃ যে সংখ্যার বর্গমূল নির্ণয় করতে হবে তার এককের ঘরের অংকটি দেখবেন। এক্ষেত্রে তা হচ্ছে '6' ।
😍 দ্বিতীয় ধাপঃ উপরের লিস্ট থেকে সে সংখ্যার বর্গের শেষ অংক 6 তাদের নিবেন। এক্ষেত্রে 4 এবং 6 । আবার বলি, খেয়াল করুন- 4 এবং 6 এর বর্গ যথাক্রমে 16 এবং 36; যাদের এককের ঘরের অংক কিনা '6' । বুঝতে পেরেছেন? না বুঝলে আবার পড়ে দেখুন।
🤩তৃতীয় ধাপঃ 4 / 6 লিখে রাখুন খাতায়। (আমরা উত্তরের এককের ঘরের অংক পেয়ে গেছি, যা হচ্ছে 4 অথবা 6; কিন্তু কোনটা? এর উত্তর পাবেন অষ্টম ধাপে, পড়তে থাকুন ...)
😍 চতুর্থ ধাপঃ প্রশ্নের একক আর দশকের অংক বাদ দিয়ে বাকি অংকের দিকে তাকান। এক্ষেত্রে এটি হচ্ছে 5 ।
🥰পঞ্চম ধাপঃ উপরের লিস্ট থেকে 5 এর কাছাকাছি যে বর্গ সংখ্যাটি আছে তার বর্গমূলটা নিন। এক্ষেত্রে 4, যা কিনা 2 এর বর্গ। (আমরা উত্তরের দশকের ঘরের অংক পেয়ে গেছি, যা হচ্ছে 2 )
❣️ষষ্ঠ ধাপঃ 2 এর সাথে তার পরের সংখ্যা গুন করুন। অর্থাৎ 2*3=6
🧡সপ্তম ধাপঃ চতুর্থ ধাপে পাওয়া সংখ্যাটা (5) ষষ্ঠ ধাপে পাওয়া সংখ্যার (6) চেয়ে ছোট নাকি বড় দেখুন। ছোট হলে তৃতীয় ধাপে পাওয়া সংখ্যার ছোটটি নেব, বড় হলে বড়টি। (বুঝতে পেরেছেন? নয়ত আবার পড়ুন)
🤩অষ্টম ধাপঃ আমাদের উদাহরণের ক্ষেত্রে 5 হচ্ছে 6 এর ছোট, তাই আমরা 4 / 6 মধ্যে ছোট সংখ্যা অর্থাৎ 4 নেব।
😍নবম ধাপঃ মনে আছে, পঞ্চম ধাপে দশকের ঘরের অংক পেয়েছিলাম 2 এবার পেয়েছি এককের ঘরের অংক 4 । তাই উত্তর হবে 24
কঠিন মনে হচ্ছে? একদমই না, কয়েকটা প্র্যাকটিস করে দেখুন। আমার মতে খুব বেশি সময় লাগার কথা না।
🥰উদাহরণ:- 4225 এর বর্গমূল বের করুন।
মনে আছে 5 যে একা ছিল? সে একা থাকায় আপনার কাজ কিন্তু অনেক সোজা হয়ে গেছে। দেখুন কেনো প্রশ্নের শেষ অংক 5 হওয়ায় উত্তরের এককের ঘরের অংক হবে অবশ্যই 5 ।
- প্রশ্নের একক ও দশকের ঘরের অংক বাদ দিয়ে দিলে বাকি থাকে 42 ।
- 42 এর সবচেয়ে কাছের পূর্ণবর্গ সংখ্যা হচ্ছে 36, যার বর্গমূল হচ্ছে 6 । তাই উত্তর হচ্ছে 65
: Collected.
মেগা পোস্টঃ ভুল ত্রুটি,ক্ষমাপ্রার্থী।
ভালো লাগলে বন্ধুদের সঙ্গে শেয়ার করতে পারেন
#পরবর্তী_পোষ্ট_পেতে_ফলো_দিয়ে_সাথেই_থাকুন।
---------।। ধন্যবাদ ।।---------

দেখা যাক কে এটি সমাধান করতে পারে...

ইউক্লিডকে আমরা কে না চিনি??আমাদের দৈনিন্দন জীবনে আমরা যে ব্যবহারিক জামিতি মাপঝোক এর জন্য ব্যবহার করি তার অনেকাংশেই রয়েছে এই ইউক্লিড সাহেবের অবদান।শুধু জ্যামিতিই নয় ইউক্লিড গণিতের অন্যান্য শাখায় ও অবদান রেখছেন।ইউক্লিডীয় পদ্ধতিতে গ সা গু, ল সা গু নির্ণয়ের কথা ও তোমাদের নিশ্চয়ই মনে আছে!

আমাদের আজকের এই পর্বে গণিতবিদ ইউক্লিড সম্পর্কে জেনে নেওয়া যাক!!

প্রাচীন গ্রিক গণিতবিদ ইউক্লিড। তিনি জ্যামিতি শাস্ত্রের জনক হিসেবে পরিচিত। তাঁর জন্ম ও জীবন সম্পর্কে প্রামাণ্য তথ্য পাওয়া যায় না। ধারণা করা হয়, খ্রিস্টপূর্ব ৩৬৫ সালের কাছাকাছি সময়ে তাঁর জন্ম হয়। বেঁচে ছিলেন প্রায় খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ সাল পর্যন্ত। তিনি প্লেটোর ছাত্র ছিলেন। প্লেটোর স্কুলে পড়াশোনা করেছেন বলেও বিশেষজ্ঞদের ধারণা। গণিতের বিভিন্ন শাখায় তাঁর অবদান রয়েছে। তাঁর লেখা গ্রন্থগুলোর মধ্যে মাত্র তিনটির সন্ধান পাওয়া গেছে। এগুলোর মধ্যে বিখ্যাত বই #এলিমেন্টস। বইটি প্রকাশিত হয় মোট ১৩ খণ্ডে। খ্রিস্টপূর্ব ৩০০ সালে রচিত বইটিতে রয়েছে সংজ্ঞা, স্বতঃসিদ্ধ, সূত্র ও অনুসিদ্ধান্ত এবং বিভিন্ন প্রস্তাবনার গাণিতিক প্রমাণ। ১৩টি বইয়ে অন্তর্ভুক্ত রয়েছে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি এবং প্রাথমিক সংখ্যাতত্ত্ব। ছাপাখানা আবিষ্কারের (১৪৮২) পর সর্বপ্রথম মূদ্রিত বইগুলোর মধ্যে এলিমেন্টস অন্যতম। এক হাজারেরও বেশিসংখ্যকবার মুদ্রিত হওয়ার জন্য মুদ্রণ সংখ্যার দিক থেকে বাইবেলের পরেই এর অবস্থান। বইটি প্রভাবিত করেছে বিজ্ঞানী গ্যালিলিও গ্যালিলি, নিকোলাস কোপারনিকাস, জোহানেস কেপলার ও বিশেষভাবে আইজাক নিউটনকে।

তোমরা কমেন্টে জানাবে ইউক্লিড সম্পর্কে জেনে কেমন লাগলো?তুমিও নতুন কিছু জানলে কমেন্ট সেকশনে জানিও।

আ সা গ শি ❤️

আনন্দের সাথে গণিত শিখি

কিভাবে এলো এই ত্রিকোণমিতি??

ত্রিকোণমিতির প্রথম চর্চা খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় সহস্রাব্দে মিশরীয় (রিন্দ ম্যাথমেটিক্যাল প্যাপিরাস) এবং ব্যাবিলনীয় গণিতে (রিহিন্ড ম্যাথমেটিক্যাল পাপাইরাস) পাওয়া যায়। কুশ যুগের গণিতেও ত্রিকোণমিতির চর্চা ছিল।হেলিনীয় গণিতে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন সম্বন্ধে পদ্ধতিগত অধ্যয়ন শুরু হয়েছিল, যা হেলিনীয় জ্যোতির্বিদ্যার অংশ হিসেবে ভারতে পৌঁছে যায়।ভারতীয় জ্যোতির্বিজ্ঞানে, গুপ্ত সাম্রাজ্যে ত্রিকোণমিতিক ফাংশন চর্চা প্রসারিত হয়, বিশেষত আর্যভট্টের (খ্রিস্টিয় ষষ্ঠ শতাব্দী) মাধ্যমে, যিনি সাইন ফাংশন আবিষ্কার করেছিলেন। মধ্যযুগে আল খোয়ারিজমি এবং আবু আল-ওয়াফার মতো গণিতবিদরা ইসলামী গণিতে ত্রিকোণমিতির অধ্যয়ন অব্যাহত রেখেছিলেন। এটি মুসলিম বিশ্বে একটি স্বাধীন শিক্ষাধারায় পরিণত হয়েছিল, যেখানে পুরো ছয়টি ত্রিকোণমিতিক ফাংশনই পরিচিত ছিল। আরবি এবং গ্রিক গ্রন্থগুলির অনুবাদের ফলে রেজিওমন্টানাসের সাথে রেনেসাঁর শুরুতে লাতিন পশ্চিম অঞ্চলে ত্রিকোণমিতিকে একটি বিষয় হিসাবে গ্রহণ করা হয়। পরবর্তী কালে পশ্চিমা আলোকিত যুগেও আধুনিক ত্রিকোণমিতি বিকাশ লাভ করে, যার শুরু হয় ১৭ শতাব্দীর গণিতে (আইজাক নিউটন এবং জেমস স্টার্লিং) এবং লেওনার্ড অয়লারের মাধ্যমে (১৭৪৮) তা আধুনিক রূপে পৌঁছোয়।

তবে আজকের যে নবম-দশম একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণির ত্রিকোণমিতি এই পর্যায়ে আসতে গণিতবিদদের অপেক্ষা করতে হয়েছিলো প্রায় হাজার বছর!

𝐒𝐞𝐭 𝐓𝐡𝐞𝐨𝐫𝐲 𝐒𝐲𝐦𝐛𝐨𝐥𝐬...

গণিত সম্পর্কিত যেকোনো সমস্যার সমাধান পেতে কিংবা যেকোনো প্রশ্ন জিজ্ঞেস করতে চাইলে অথবা স্যার এর কাছে পড়তে চাইলে

৯ম -১০ম( বিজ্ঞান শাখা)
১১শ-১২শ ( গণিত,পদার্থ) শ্রেণি পর্যন্ত কল করতে পারেন এই নাম্বার এ -

01748-827232

বর্তমান করোনা পরিস্থিতির কারণে Zoom Interactive Board এ ক্লাস নেয়া হয়।এসব ডিজিটাল বোর্ডের সুবিধা অনেক। ক্লাস করার সময় সবাই স্পষ্ট পার্থক্য বুঝতে পারবে।

বর্তমান পরিস্থিতিতে ঘরে বসে পড়তে চাইলে উপরে দেয়া নাম্বার এ যোগাযোগ করুন যেকোনো সময়ে অথবা আমাদের পেইজ এ মেসেজ দিন ।

ধন্যবাদ

আমরা অনেকেই Mathematics এর পূর্ণরূপ জানি না আসুন জেনে নিই...😊