Matemáticos de 2015 Escola Superior Pedagógica da Lunda-Norte

Aula:Matemática
Tema:Radiciação

Olá! Saudações de Acordo ao Periodo pessoal Queres aprender sobre Radiciação??

Então e faça os exercícios...
ߑ͊ߑVamos abordar hj acerca desse tema começando por definí-la:

Preste Atenção:

A é uma operação
matemática, sendo a
raiz uma forma de se representar a potenciação com expoente fracionário.

Para um número real a, a expressão ⁿ√a representa o único número real 'x' que verifica xⁿ=a e tem o mesmo sinal que 'a' (quando existe).

Quando n é omitido(não apresentam o seu valor), significa que n=2 e o símbolo de radical refere-se à raiz quadrada.


Onde:

'x' é a raiz,
ⁿ→ índice,
'a' radicando e
'√' radical.

Para saber o que é Radiciação é preciso conhecer também apotenciação, que é a operação inversa da radiciação.

Vamos então entrar nas propriedades:

a) ⁿ√aⁿ = a

Exemplo: √2² = 2
³√4³=4


b) ⁿ√(a•b) = ⁿ√(a)•ⁿ√(b)

Exemplo:³√(3•4)=³√(3)•³√(4)


c) ⁿ√(a/b)=ⁿ√(a)/ⁿ√(b)

Exemplo: √(2/5)=(√2)/(√5)


d) ⁿ√(a^m) = a^(m/n)

Exemplo: ⁴√(7^5) = 7^(5/4)


e) ⁿ√[m^√a]
= (n•m)^√a

Exemplo: √√3 = ²•²√3 = ⁴√3


f) (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)

Exemplo: (√23)³ = √(23³)


Vamos Agora Conhecer Soma e Subtração de Radicais com o mesmo radicando:

A) a√( w ) ± b√( w )

→(a±b)√( w )

Exemplo:

Ex¹: 3√2 + 5√2

= (3+5)√2

= 7√2


Ex²: 3³√5 — ³√5

= (3—1)³√5

= 2³√5


Produto de uma soma de Radicais:

(√a ± √b)²=

Atravéz do Conceito de Quadrado Perfeito teremos:
(a+b)²= (a+b)(a+b)

a²+ab+ab+b²

a²+2ab+b²,,


1° caso:

Desenvolvendo teremos:

(√a+√b)= (√a)² + 2(√a)(√b) + (√b)²

Para (√a)² e (√b)² recordas a propriedade 1??

É pois!!!...ambos sairão:

a e b logo teremos:

(√a+√b)²=a + b + 2√(a•b),,


Então para : (√a—√b)²= a + b —2√(a•b),,


Importa Também muito No Estudo da Radiciação entender A

....


Acompanhe:

Existem três conceitos muito impartante na racionalização de uma determinada expressão.
:
Sendo assim vamos para o primeiro caso.
:
:
1°
:
a/√b
:
P

Disciplina: Matemática
Tema: Equação do quarto grau
Subtema: Artifícios " Método de Ferrari"

Hoje teremos uma dica que ajudar- nos - á a resolver equações do quarto grau, "Artifícios de Ferrari"

O objectivo é transformar uma equação do quarto grau na forma:
(x + β)² = (x + α)², ou seja achar o quadrado perfeito nos dois membros. "Não vamos deduzir o artifício em forma canónica" vamos passar logo pra um exemplo porque com um exemplo entenderemos melhor:

Exemplo:
x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 2 = 0
x⁴ - 2x³ = -3x² + 2x - 2

Vou colocar (bx/2a)² no dois membros, colocando em ambos os membros não altera nada:

(x²)² - 2x³ + (bx/2a)²= (bx/2a)²-3x² + 2x - 2

[x² - (bx/2a)]² = (bx/2a)² - 3x² + 2x - 2

Olhando na equação nos apecebemos que b=2 e o a = 1 então teremos:

(x²- x)² = x² - 3x² + 2x - 2
(x²- x)² = - 2x² + 2x - 2

Conseguimos completar o quadrado do primeiro membro, Agora vamos usar artifícios pra ajustar o quadrado do segundo membro.
Vamos colocar y² + 2y(x² - x) nos dois membros, teremos:

y²+2y(x²-x)+(x²-x)² =y²+2y(x²-x) - 2x² +2x - 2
se reparares bem no primeiro membro temos:
(a + b)²= a² + 2ab + b²
onde:

{a = y
{b = (x² - x)

Já reparaste né?.. Pois então teremos:
[y+(x²-x)]² =y² + 2yx² - 2yx - 2x²+2x - 2

Agrupando os termos semelhantes e factorizando teremos

[y+(x²- x)]²= (2y - 2)x²+(2 - 2y)x+y²-2

Nota que no membro direito já temos uma equação do segundo grau. O objectivo é torna-lo em um quadrado perfeito assim como fizemos com o primeiro membro.
Para que o quadrado seja perfeito o delta deve ser igual à zero. "Δ= 0"

Δ = b² - 4ac

No segundo membro temos:
{a = (2y - 2)
{b = (2 - 2y)
{c = y² - 2

Δ = (2 - 2y)² - 4·(2y - 2)·(y² - 2)
Δ = 4 - 8y + 4y² - 4(2y³-4y-2y²+4)
Δ = 4 - 8y + 4y² - 8y³ + 16y + 8y² - 16
Δ = - 8y³+ 12y² + 8y - 12

Como Δ = 0; teremos:
-8y³+12y²+8y-12 = 0
Nota que y=1 é uma das raízes da equação, nem sempre vai nos dar uma equação do terceiro grau em que será fácil achar a raiz:

Vamos colocar o valor de y na expressão:

[y+(x²- x)]²= (2y - 2)x²+(2 - 2y)x+y²-2

(1+x²-x)² = [2(1) - 2]x²+[2-2(1)]x+1-2

(1+x²-x)² = -1

(1 + x² - x) =±i

{ x² - x + 1 + i = 0
{ x² - x + 1 - i = 0

É só resolver as duas equações do segundo grau e o caso termina.
Nota: há várias maneiras de resolver equação do quarto grau, as outras maneiras e Tema: Equação do quarto grau
Subtema: Artifícios " Método de Ferrari"

Hoje teremos uma dica que ajudar- nos - á a resolver equações do quarto grau, "Artifícios de Ferrari"

O objectivo é transformar uma equação do quarto grau na forma:
(x + β)² = (x + α)², ou seja achar o quadrado perfeito nos dois membros. "Não vamos deduzir o artifício em forma canónica" vamos passar logo pra um exemplo porque com um exemplo entenderemos melhor:

Exemplo:
x⁴ - 2x³ + 3x² - 2x + 2 = 0
x⁴ - 2x³ = -3x² + 2x - 2

Vou colocar (bx/2a)² no dois membros, colocando em ambos os membros não altera nada:

(x²)² - 2x³ + (bx/2a)²= (bx/2a)²-3x² + 2x - 2

[x² - (bx/2a)]² = (bx/2a)² - 3x² + 2x - 2

Olhando na equação nos apecebemos que b=2 e o a = 1 então teremos:

(x²- x)² = x² - 3x² + 2x - 2
(x²- x)² = - 2x² + 2x - 2

Conseguimos completar o quadrado do primeiro membro, Agora vamos usar artifícios pra ajustar o quadrado do segundo membro.
Vamos colocar y² + 2y(x² - x) nos dois membros, teremos:

y²+2y(x²-x)+(x²-x)² =y²+2y(x²-x) - 2x² +2x - 2
se reparares bem no primeiro membro temos:
(a + b)²= a² + 2ab + b² : onde

{a = y
{b = (x² - x)

Já reparaste né?.. Pois então teremos:
[y+(x²-x)]² =y² + 2yx² - 2yx - 2x²+2x - 2

Agrupando os termos semelhantes e factorizando teremos

[y+(x²- x)]²= (2y - 2)x²+(2 - 2y)x+y²-2

Nota que no membro direito já temos uma equação do segundo grau. O objectivo é torna-lo em um quadrado perfeito assim como fizemos com o primeiro membro.
Para que o quadrado seja perfeito o delta deve ser igual à zero. "Δ= 0"

Δ = b² - 4ac

No segundo membro temos:
{a = (2y - 2)
{b = (2 - 2y)
{c = y² - 2

Δ = (2 - 2y)² - 4·(2y - 2)·(y² - 2)
Δ = 4 - 8y + 4y² - 4(2y³-4y-2y²+4)
Δ = 4 - 8y + 4y² - 8y³ + 16y + 8y² - 16
Δ = - 8y³+ 12y² + 8y - 12

Como Δ = 0; teremos:
-8y³+12y²+8y-12 = 0
Nota que y=1 é uma das raízes da equação, nem sempre vai nos dar uma equação do terceiro grau em que será fácil achar a raiz:

Vamos colocar o valor de y na expressão:

[y+(x²- x)]²= (2y - 2)x²+(2 - 2y)x+y²-2

(1+x²-x)² = [2(1) - 2]x²+[2-2(1)]x+1-2

(1+x²-x)² = -1

(1 + x² - x) =±i

{ x² - x + 1 + i = 0
{ x² - x + 1 - i = 0

É só resolver as duas equações do segundo grau e o caso termina:
Nota: há variad maneiras de resolver equação do quarto grau, as outras maneiras exigem muito pensamento.

Sumário: EQUAÇÕES MODULARES

Equações modulares: são equações onde a incógnita aparece em módulo. Uma equação modular normalmente é resolvida fundamentando-se na equação modular mais simples que é: .………….…{ x = a, se x ≥ 0
|x| = a ⇔ {
………………{—x = a, se x < 0

Exemplos: Resolve as seguintes equações modulares:

a) | x—3 | = 5
Para resolve essa equação vamos estabelecer as duas condições assim teremos: .
1ª x —3 = 5
2ª —(x—3) = 5

Em seguida vamos resolver cada uma das equações e depois fazer a reunião das soluções encontradas em cada condição, assim vem: .
1ª x —3 = 5 ⇔ x = 5+3 ⇔ x = 8

2ª —(x—3) = 5 ⇔ x —3 = —5
x = —5+3 ⇔ x = —2

Assim a solução é S={ —2; 8}

b) | (3x+2)/4 | = 2

1ª (3x+2)/4 = 2
2ª —[(3x+2)/4 ]= 2

1ª (3x+2)/4 = 2 ⇔ 3x+2 = 8
3x = 8—2 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2

2ª —[(3x+2)/4 ]= 2
(3x+2)/4 = —2
3x+2 =—8 ⇔
3x =—8—2⇔3x=—10 ⇔ x=—10/3

S ={ —10/3; 2}

c) |x|² — 3|x| + 2 = 0

1º parte

Se x ≥ 0, então |x|²=x² e |x|=x assim temos:

x²—3x+2=0

x = [3±√(9—8)]/2

x = (3±1)/2

x = (3—1)/2= 1

x = (3+1)/2= 2

2ª parte se x < 0, então |x|²=x² e |x|=—x assim temos:

x²+3x+2=0

x = [—3±√(9—8)]/2

x = (—3±1)/2

x = (—3—1)/2 = —2

x = (—3+1)/2 = —1

Assim a solução é:

S={—2; —1; 1; 2 }

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Resolve as seguintes equações modulares

a) | 4 + x | = 2
b) |2 + x | = 3
c) |4x—6|= x—3
d) |x²| + 3|x| +2 = 0

Sumário:

Trigonometria

Teorema de Pitágoras:

Em qualquer triângulo retângulo o quadrado da ipotenuza é igual a soma dos quadrados dos Catetos (oposto + adjacente tudo ao quadrado)

c²=a²+b²

Onde:

C - é a hipotenuza e é o lado maior de um triângulo retângulo

a - é o cateto oposto de alfa do
mesmo modo que é cateto adjacente de beta

b - é o cateto adjacente de alfa
do mesmo modo que é cateto oposto de beta

Fórmulas básicas:

c²=a²+b² cálculo da hipotenuza

a²=c²-b² cálculo do cateto oposto de alfa (adjacente de Beta)

b²=c²-a² cálculo do cateto adjacente de alfa (oposto de Beta)

Cálculo básico:

c=?
a=4
b=3

Fórmula

c²=a²+b²

c²=4²+3²
c²=16+9
c²=25
c= √25
c=5,,

Caso peçam para calcular catetos utilizam as outras duas fórmulas dependentemente do cateto

Obrigado pela atenção

Disciplina:Matemática
Partilhando um pouco o meu conhecimento.

atenção, principalmente quem ainda está no ensino de base, é algo que os professores de matemática raramente ensinam...
Durante muito tempo venho procurando formas de tornar a tabuada de multiplicação mais fácil.
Nesta publicação apenas farei uma demonstração do que estou falando...
Já se perguntou como rapidamente achar o valor de
9x7 ?.
Pois bem, na tabuada de multiplicação, na casado 9 descubri o seguinte:.
Quando te derem um número qualquer(1 a 12) para multiplicar por 9, faz seguinte:.
Multiplica o mesmo número por 10, e em seguida subtrai esse mesmo número do valor que é achado.. Detesto muito teoria, vamos na prática que acoisa é mais fácil..
Por exemplo:.
Quanto é 9x5 ?.
De acordo com a explicação á cima:.
Multiplique 5x10 = 50.
Em seguida faz:
50-5=45..
Logo
9x5= 45..
Percebeu ?.
Então resolve esses:.
9x4
9x7
9x11
9x12.

Bons estudos!

TEMA: Números e operações

SUBTEMA: Notação científica


Muitos estudantes encontram muitas dificuldades para transformar um número decimal ou mesmo um número inteiro em notação científica.


Um número está escrito em notação científica quando apresenta-se na forma: a×10 ⁿ
Em que 1 ≤ a ≤ 10

Ou seja o número aparece como produto de dois factores onde:

O 1º factor é um número que pertence ao intervalo [1 ; 10 [

O 2º factor é uma potência de base 10 e expoente inteiro.

I –

1,2×10²

1º factor = 1,2

2º factor = 10²

: Para transformar um número qualquer em notação científica deve se ter em conta a posição da vírgula e o número de casa que você quer passar.
Ou seja quando a vírgula sair da direita para esquerda o expoente será positivo. E se a vírgula sair da esquerda para direita o expoente será positivo.

Exemplos

Quando a vírgula sai da direita para esquerda

a) 10 = 0,1×10²

b) 100 = 0,1×10³

c) 260 = 2,6×10²

d) 127,3 = 1,273×10²

Quando a vírgula sai da esquerda para direita

a) 0,1 = 10¬-¹

b) 0,01 = 10-²

c) 0,002 = 2×10-³

d) 5,14 = 514×10-²

e) 0,0028 = 28×10-⁴

f) 0,0000012652 = 12652×10-¹º



Calcular :

a) 0,024×3000

= (24×10-³) × (3×10³)

= 24×3.(10-³ × 10³)

= 72


b) 3,6×10¹⁴ ÷1,2×10¹¹

= 36×10¹³ ÷ 12×10¹º

= (36÷12)×(10¹³-¹º)

= 3×10³


c)

2,08×10⁴ ÷ 0,000016×10²º

= 208×10² ÷ 16×10¹⁴

= ( 208÷16)×10²-¹⁴

= 13×10-¹²


e Subtração

d)

9,2×10²¹ + 0,542×10²³

= 92×10²º + 542×10²º

= (92 + 542)×10²º

= 634×10²º


e)

6,0198×10² - 500,2×10-²

= 60198×10-² - 500,2×10-²

= (60198 – 500,2)×10-²

= 59797,8×10-²


g)

0,0042 + 6,3×10-⁴

= 42×10-⁴ + 6,3×10-⁴

(42 + 6,3)×10-⁴

48,3×10-⁴

h)

76,1×10³º - 3,26×10³²

= 76,1×10³º - 326×10³º

= (76,1 - 326)×10³º

= - 249,9×10³º

OBS : Na adição ou subtração de números escritos na forma de notação científica os expoentes das bases 10 tem de ser iguais para ambas expressões, caso contrário não será possível adicionar ou subtrair.


PROPOSTOS


Calcular:

a) 20,4×10⁴ ÷ 102×10³

b) 0,00000001×10² × 42×10¹º

c)
53,2×10¹³ + 70×10¹¹

d)
62×10²² - 0,09×10²⁴


Espero que entendam essa aula, em caso dúvidas perguntem.

NOVA AULA DE

TEMA: Números e operações

SUBTEMA: Notação científica


Muitos estudantes encontram muitas dificuldades para transformar um número decimal ou mesmo um número inteiro em notação científica.


Um número está escrito em notação científica quando apresenta-se na forma: a×10 ⁿ
Em que 1 ≤ a ≤ 10

Ou seja o número aparece como produto de dois factores onde:

O 1º factor é um número que pertence ao intervalo [1 ; 10 [

O 2º factor é uma potência de base 10 e expoente inteiro.

I –

1,2×10²

1º factor = 1,2

2º factor = 10²

: Para transformar um número qualquer em notação científica deve se ter em conta a posição da vírgula e o número de casa que você quer passar.
Ou seja quando a vírgula sair da direita para esquerda o expoente será positivo. E se a vírgula sair da esquerda para direita o expoente será positivo.

Exemplos

Quando a vírgula sai da direita para esquerda

a) 10 = 0,1×10²

b) 100 = 0,1×10³

c) 260 = 2,6×10²

d) 127,3 = 1,273×10²

Quando a vírgula sai da esquerda para direita

a) 0,1 = 10¬-¹

b) 0,01 = 10-²

c) 0,002 = 2×10-³

d) 5,14 = 514×10-²

e) 0,0028 = 28×10-⁴

f) 0,0000012652 = 12652×10-¹º



Calcular :

a) 0,024×3000

= (24×10-³) × (3×10³)

= 24×3.(10-³ × 10³)

= 72


b) 3,6×10¹⁴ ÷1,2×10¹¹

= 36×10¹³ ÷ 12×10¹º

= (36÷12)×(10¹³-¹º)

= 3×10³


c)

2,08×10⁴ ÷ 0,000016×10²º

= 208×10² ÷ 16×10¹⁴

= ( 208÷16)×10²-¹⁴

= 13×10-¹²


e Subtração

d)

9,2×10²¹ + 0,542×10²³

= 92×10²º + 542×10²º

= (92 + 542)×10²º

= 634×10²º


e)

6,0198×10² - 500,2×10-²

= 60198×10-² - 500,2×10-²

= (60198 – 500,2)×10-²

= 59797,8×10-²


g)

0,0042 + 6,3×10-⁴

= 42×10-⁴ + 6,3×10-⁴

(42 + 6,3)×10-⁴

48,3×10-⁴

h)

76,1×10³º - 3,26×10³²

= 76,1×10³º - 326×10³º

= (76,1 - 326)×10³º

= - 249,9×10³º

OBS : Na adição ou subtração de números escritos na forma de notação científica os expoentes das bases 10 tem de ser iguais para ambas expressões, caso contrário não será possível adicionar ou subtrair.


PROPOSTOS


Calcular:

a) 20,4×10⁴ ÷ 102×10³

b) 0,00000001×10² × 42×10¹º

c)
53,2×10¹³ + 70×10¹¹

d)
62×10²² - 0,09×10²⁴


Espero que entendam essa aula, em caso dúvidas perguntem.

AULA DE

TEMA : Números e operações

SUBTEMA : Divisão de números decimais usando a transformação de fracção.

Para qualquer estudante, que deseja aprender a matemática tem de ter o domínio das quatro operações básicas da matemática, que são : Adição, Subtração, Multiplicação e Divisão.

Tendo em conta esse ponto e as dificuldades que muitos têm em dividir qualquer número decimal, levou-nos a estruturar essa aula para o domínio do leitor.

1º - Caso
Para começarmos com a divisão, temos primeiro que aprender a transformar número decimal em número fraccionário.

Para trasnfomarmos um número decimal em número fraccionário, temos que ter em conta a parte inteira e a parte decimal do mesmo número.

: Todos número decimal resulta numa fracção cuja a parte inteiro como a parte decimal serão o numerador sem a vírgula e o denominador será igual ao total da parte decimal na forma de casas de 10.

1º - Exemplo : Número 1,5
Sua parte inteira = 1
Sua parte decimal = 5

Para :
1,5 = 15/10

Nota : O número de casa decimal vai corresponder ao total de números de casa em 000 para o denominador.

2º - Exemplo : 3,2
Sua parte inteira = 3
Sua parte decimal = 2

Para :
3,2 = 32/10
Outros exemplos :

0,8 = 8/10

23,2 = 232/10

Com mais casas decimais

1,22 = 122/100

62,934 = 62934/1000

0,202 = 202/1000

2º - Caso



Agora que já aprendemos a transformar podemos aprender a dividir.

A divisão de duas fracções resulta numa multiplicaão cuja a primeira fracção é multiplicada pelo o inverso da segunda fracção.

1 -

1,2 ÷ 0,2

= (12/10) ÷ (2/10)

= (12/10) × (10/2)

= 12/2

= 6

Logo : 1,2 ÷ 0,2 = 6

2 -

5,5 ÷ 1,1

= (55/10) ÷ (11/10)

= (55/10) × (10/11)

= 55/11

= 5

Logo : 5,5 ÷ 1,1 = 5

3 -

1,5 ÷ 3,2

= (15/10) ÷ (32/10)

= (15/10) × (10/32)

= 15/32

Logo : 1,5 ÷ 3,2 = 15/32

4 -

2,34 ÷ 1,8

= (234/100) ÷ (18/10)

= (234/100) × (10/18)

= (234/10) × (1/18)

= (234/180) -- Reduzindo por 18

= 13/10

Logo : 2,34 ÷ 1,8 = 13/10

5 -

62,28 ÷ 0,36

= (6228/100) ÷ (36/100)

= (6228/100) × (100/36)

= (6228/36)

= 173

Logo : 62,28 ÷ 0,36 = 173



Transformar os seguintes números em fracções :

a) 9,4 = ?

b) 142,303 = ?

c) 0,007 = ?

d) 20,0358 = ?

Divide os seguintes números :

a) 16,02 ÷ 0,02

b) 72,6 ÷ 28,4

c) 0.0006 ÷ 1,004

Boa sorte!

Logaritmos
Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.
Sendo: , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade
Exemplo:
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade
Exemplo:
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça .
A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
se, e somente se,
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a)
Resolução:
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução:
c)
Resolução:
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.
Uma curiosidade da Química:
Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH0, y>0, b>0 e , temos:
1)
2)
3)
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Propriedade - Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e
Exemplos:
1)
2) Dado que , determine
Resolução:
Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.
Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina - UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução:
b) log9
Resolução:
c) log5
Resolução:
d)
Resolução:
(UEL) O valor de um automóvel (em unidades monetárias) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 unidades monetárias, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidade monetárias? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3.
(a) 3
(b) 6
(c) 10
(d) 15
(e) 20
Resolução:
Sendo x, o tempo em anos:

Logaritmos
Antes de iniciarmos o estudo de logaritmos, é importante revermos alguns pequenos conceitos de exponeciais.
Sendo: , dizemos que c é o expoente, b é a base e a é a potência.
Dependendo dos valores de a e b:
- poderá não haver valores de c que satisfaçam a igualdade
Exemplo:
- poderá haver um único valor de c que satisfaça a igualdade
Exemplo: (No caso, o único valor de c = 0)
- poderá haver infinitos números que satisfaça a igualdade
Exemplo:
Deduzimos assim que sendo b>0, e a>0, existe um único valor real c que satisfaça .
A partir disso, podemos definir o que é logaritmo, bem como iniciar o estudo de suas propriedades.
se, e somente se,
Onde b>0, e a>0
Não decore a definição de logaritmo, procure compreender. Para tanto, vamos ver alguns exemplos baseados em simples exercícios.
Ex.1) Transforme as seguintes potências em logaritmos e vice-versa.
a)
Resolução:
Notem que 3>0, e 9>0
b) 2³ = 8
Resolução:
c)
Resolução:
Notem que 10>0, e 100>0
Estejam sempre atendos a tais propriedades. Caso seja vestibulando, o exame tentará te "pegar" neste ponto, pois é comum os estudantes se esquecerem disso.
Muitos devem estar pensando... Mas que inutilidade? Afinal, para que servem os logaritmos?
O logaritmo foi desenvolvido para agilizar as contas de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação. Ele é fundamental, também, em outras matérias como por exemplo na Química para o cálculo do pH (potencial de hidrogênio). A análise, permite-nos saber se uma solução é ácida, básica ou neutra. Na física, utilizamos logaritmos em acústica para determinarmos a intensidade (decibel) de um som. Não entraremos nestes detalhes.
Uma curiosidade da Química:

Em uma solução de 1 litro, encontramos 0,01 mol de íons hidrogênio. Esta solução é ácida, básica ou neutra?
A concentração de íons hidrogênio é de 0,01 mol/l, ou seja, [H] =
Assim, concluímos que . Trata-se, portanto, de uma solução ácida, pois o pH0, y>0, b>0 e , temos:
1)
2)
3)
Exemplos:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Propriedade - Mudança de base
Sendo x>0, b>0, , c >0 e

Exemplos:
1)
2) Dado que , determine
Resolução:
Observação: Os logaritmos de base 10 são chamados de logaritmos decimais. Quando a base do logaritmo não é indicada, trata-se de um logaritmo decimal.

Para finalizarmos, vamos ver alguns exercícios resolvidos e uma questão da Universidade Estadual de Londrina - UEL, presente no nosso simulado.
Exercícios resolvidos:
Ex.R.1) Dados log2=0,3 e log3=0,4, calcule:
a) log6
Resolução:
b) log9
Resolução:
c) log5
Resolução:
d)
Resolução:
(UEL) O valor de um automóvel (em unidades monetárias) sofre uma depreciação de 4% ao ano. Sabendo-se que o valor atual de um carro é de 40.000 unidades monetárias, depois de quantos anos o valor desse carro será de 16.000 unidade monetárias? Use o valor de 0,3 para log2 e o valor de 0,48 para log3.
(a) 3
(b) 6
(c) 10
(d) 15
(e) 20
Resolução:
Sendo x, o tempo em anos:

MATEMÁTICA 23/01/2017
Tema : polinómios
Sumário: monômios
Para falarmos dos
monômios, temos de
primeiramente nos apegar na
definição de termos que são
composições de de números
e variáveis que podem ser
formadas por meio das
operações elementares.

Veja o seguinte exemplos :

(3ab);(x+y);(2m/­n);(4a+1);5;
[√(3x-2)]; (4x²);(zx²);x
[(-2x² yz²)÷( ax²b²)]

Como podes observar, há
termos que neles só intervêm
as operações de
multiplicação e divisão.

Estes chamam-se monômios.

E do exemplo anterior, são
monômios os seguintes
termos :

(3ab);5; (2m/n); (4x²);(zx²);x
[(-2x² yz²)÷( ax²b²)]

Observação ;

Um monômio tem duas
partes que são ;o coeficiente
e parte literal.

A parte do Coeficiente
relaciona-se com os números
e a parte literal é constituída
pelas variáveis.

Por exemplo :

(3ab)--> o coeficiente é(3) e a
parte literal é (ab) .

(X)--> o coeficiente é( 1) e a
parte literal é (x).

[(-2x² yz²)÷( ax²b²)] -->o
coeficiente é (-2) e a parte
literal é [(x² yz²)÷( ax²b²)]

(5)-->É um termo
independente, pois não tem
parte literal, ou seja, não tem
variável (mas é um
monômio).




Dados termos ;
a)(2w);
b)(4xyz);
c)[(-7x² yz²)÷(5ax²bx²)]

1-Dizer qual deles e um
monômio.

2-dizer qual é o coeficiente e
a parte literal dos monômios
identificados.